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1 Géométrie à l’articulation Ecole - Collège André PRESSIAT Maître de conférences de mathématiques à l’IUFM d’Orléans-Tours DIDIREM - INRP.

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1 1 Géométrie à l’articulation Ecole - Collège André PRESSIAT Maître de conférences de mathématiques à l’IUFM d’Orléans-Tours DIDIREM - INRP

2 2 Sur ce dessin à main levée (les vraies grandeurs sont écrites en cm), on a représenté un rectangle ABCD et un cercle de centre A qui passe par D. Ce cercle coupe le segment [AB] au point E. Trouve la longueur du segment [EB] : ……………………………………… Explique ta réponse : ……………………………………… (évaluation entrée en 6 e ) Victor : 3,5 cm (explication : le cercle est situé au milieu du segment) Adrien : 1 cm 8 (explication : j’ai mesuré) Lise : 3 cm (explication 7 cm – 4 cm = 3 cm).

3 3 Géométrie de la perception Est vrai ce que je vois Boîte à outil géométrique : l’œil École maternelle, cycle 2 Géométrie instrumentée Est vrai ce qui est contrôlé à l’aide d’instruments Boîte à outil géométrique : règle, compas, équerre, gabarit … Fin du cycle 2, cycle 3 Géométrie déductive Est vrai ce que je démontre Figure distinguée du dessin Boîte à outil géométrique : théorèmes, définitions, axiomes. Collège

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5 5 La géométrie théorique permet de contrôler les résultats de géométrie instrumentée.

6 6 Géométrie perceptive Géométrie instrumentée Géométrie théorique Le monde sensible Le monde graphique La perception des figures est globale et se suffit à elle-même comme moyen de justification. Par exemple, l’objet que j’observe est un carré parce que je le perçois comme tel. La notion de figure s’est peu à peu dégagée de la notion de forme des objets. Les empreintes en sont des intermédiaires pertinents. On pose ici les bases d’un éclairage géométrique du sensible. On approche les premières figures grâce à la manipulation (au sens large) de formes. Dans ma communauté d’apprentissage, la preuve qu’une figure est un carré passe par le développement d’une expérience graphique à l’aide de l’équerre et de la règle graduée. On travaille ici autour d’une expertise graphique intégrant un réseau de justifications appuyé sur de l’expérimental. On appréhende notre espace de vie grâce à un arsenal dont font partie l’outil graphique, mais aussi certains appareils de visée qui sont des outils du géomètre de terrain. Ici, le quadrilatère représenté sur le tableau de la classe est un carré, car certains signes que porte cette représentation lui donnent des propriétés qui le caractérisent (par ex. trois angles droits et deux côtés consécutifs isométriques). La culture (experte) gagnée grâce à une familiarisation expérimentale du monde graphique, devient elle-même objet d’étude. On organise ici des liens logiques entre les différents résultats établis, ce qui permet d’en engendrer de nouveaux. La vérification expérimentale de certaines propriétés déduites de la théorie rendue disponible permet de voir si cette théorie peut encore raisonnablement servir de modèle à notre espace de vie. D’après C. Reymonet Grand N n° 73, pp , 2004.

7 7 Exemple d’une telle vérification expérimentale : Gauss pensait qu’on ne pouvait pas démontrer par le seul raisonnement la nécessité de la géométrie euclidienne. Il fit mesurer les angles d’un triangle formé par trois pics distants de 69, 85 et 197 km : la somme dépassait 180° de près de 15 ’’, ce qui était insuffisant pour conclure. Gauss venait en effet de découvrir une nouvelle géométrie théorique, aussi cohérente que la géométrie euclidienne, dans laquelle la somme des angles d’un triangle est toujours strictement inférieure à 180°. Cette géométrie est la géométrie hyperbolique. Dans cette dernière, par un point A pris hors d’une droite (d), il passe deux droites qui sont parallèles à cette droite.

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9 9 À propos de la médiatrice d’un segment Questionnaire proposé plusieurs fois à des étudiants PE1 : Construisez la médiatrice du segment [MN]. Précisez quelles propriétés de la médiatrice vous utilisez. Indiquez les instruments que vous avez effectivement utilisés pour le tracé Q1 M N Règle Graduation de la règle Rapporteur Compas Angle droit de l’équerre

10 10 Propriétés de la médiatrice Définition La médiatrice d’un segment [AB] est la droite perpendiculaire à ce segment, passant par le milieu de ce segment. Enoncé 1 Si un point M appartient à la médiatrice du segment [AB], alors M est équidistant de A et de B. Enoncé 2 Si un point M du plan est équidistant des points A et B, alors il appartient à la médiatrice du segment [AB]. Enoncé 3 La médiatrice du segment [AB] est l’ensemble des points du plan qui sont équidistant de A et de B.

11 11 Résultats Instruments utilisés Propriété de la médiatrice citée Fréquence en % Commentaires 39% Règle non graduée + compas Définition : droite perpendiculaire au segment en son milieu Règle graduée + équerre Définition : droite perpendiculaire au segment en son milieu 19% Règle non graduée + compas Enoncé 1: Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, il est équidistant des extrémités du segment. 13% OK La définition n’explique en rien cette construction. L’énoncé 1 est vrai, mais il ne permet pas de justifier cette construction.

12 12 Résultats (suite) Instruments utilisés Propriété de la médiatrice citée Fréquence en % Commentaires Compas + équerre (ou rapporteur) Définition : droite perpendiculaire au segment en son milieu 8% La définition n’explique en rien cette construction. 6,5% Règle non graduée + compas Enoncé 2 : Si un point est équidistant de M et de N, alors il appartient à la médiatrice de [MN] OK Règle non graduée + compas Rien4%

13 13 Dans les manuels actuels pour la classe de Sixième, la notion de droite est à peu près entièrement naturalisée, présentée comme allant de soi. Par exemple : « Si, dans le plan, on choisit un point que l’on note A, on peut tracer autant de droites passant par A que l’on veut. Si, maintenant, on choisit deux points distincts notés A et B, il y a une droite, et une seule, qui passe par A et B. Il s’agit de la “droite (AB)” ». A propos de la notion de droite Ainsi, les axiomes, au lieu d’apparaître comme des créations permettant de modéliser l’espace sensible, sont présentés comme des énoncés relevant de l’évidence intuitive.

14 14 Pourtant, alors que la notion sensible de droite est caractérisée par la rectilinéarité – une droite est... droite, c’est-à-dire rectiligne –, la notion de rectilinéarité ne peut pas être caractérisée mathématiquement. Ainsi on peut prendre pour ensemble de « droites » autre chose que les variétés affines  de dimension 1. Si  est une bijection quelconque de R 2, le couple (R 2,  (  )) satisfait l’axiomatique (même celle de Hilbert), par transport de structure. Considérons par exemple la bijection définie par :  (x,y) = (x 1/3,y). Les schémas ci-dessous montrent deux triangles ABC avec leurs médianes dans ce modèle.

15 15 La rectilinéarité, notion physique, ne peut pas être caractérisée en termes mathématiques. Par conséquent, avec des élèves de 6 e notamment, il est indispensable au préalable de (re)construire la notion sensible de droite, qu’aucune théorie mathématique ne peut à elle seule engendrer. Comme dans de nombreux domaines, les mathématiques supposent ici le non-mathématique, qu’il s’agit de mathématiser.

16 16 Retour aux programmes Cycle 2, cycle des apprentissages fondamentaux Compétences - Percevoir un possible alignement de points ou d’objets. - Vérifier si des points ou des objets sont alignés ou non en particulier en utilisant une règle. - Placer des points ou des objets pour qu’ils soient alignés. Commentaires Les activités correspondantes peuvent concerner des objets réels ou des points sur la feuille de papier. L’alignement peut être, selon le cas, réalisé et vérifié à vue (par visée), à l’aide d’un fil tendu ou en utilisant une bande de papier ou une règle. Cycle 3, cycle des approfondissements Compétences - Vérifier, à l’aide de la règle, que des points sont alignés. Commentaires Les relations et propriétés évoquées dans cette rubrique doivent être utilisées dans des activités de résolution de problèmes, situés dans différents espaces : espace ordinaire, feuille de papier, écran d’ordinateur.

17 17 La perception d’un alignement de plusieurs points dans une figure complexe permet de tracer la droite correspondante et de mettre en évidence une propriété de cette figure. Reproduire la figure en disposant au départ seulement de (1). Type d’exemples expérimentés par M-J Perrin à Lille, mobilisant seulement des alignements :

18 18 Cycle 3, cycle des approfondissements (suite) Compétences - Utiliser à bon escient le vocabulaire suivant : points alignés, droite. Commentaires Au cycle 3, le mot “droite” est synonyme de “ligne droite”. D’autres termes peuvent être introduits dans le cadre des activités, mais leur maîtrise n’est pas exigible au cycle 3. Le codage des points et des segments par des lettres sera introduit avec prudence, en s’attachant à faire distinguer la lettre du point qu’elle désigne. L’utilisation des notations (AB) pour la droite et [AB] pour le segment d’extrémités A et B et les symboles // et  ne sont pas exigibles au cycle 3 ; ces notations seront abordées au collège, mais l’enseignant peut commencer à les utiliser à la fin du cycle 3.

19 19 Classe de 6 e Compétences : - Utiliser, en situation (en particulier pour décrire une figure), le vocabulaire suivant : droite, cercle, centre, rayon, diamètre, angle, droites perpendiculaires, droites parallèles, demi-droite, segment, milieu, médiatrice. - Utiliser des lettres pour désigner les points d’une figure ou un élément de cette figure (segment, sous-figure…). Commentaires : La maîtrise du vocabulaire, des notations et des formulations spécifiques du langage géométrique est nécessaire au travail géométrique, mais ce dernier ne doit pas se limiter à la recherche de cette maîtrise. C’est donc dans des problèmes où leur présence s'avère utile, voire indispensable, que ces éléments de langage sont introduits et employés : - figures « téléphonées » ; - description écrite d’une figure pour permettre à un interlocuteur de la reproduire ; - dessin à main levée d’une figure pour permettre à un interlocuteur de la reproduire ; - jeux du portrait : questions successives dans le but de trouver la figure choisie par le meneur de jeu dans un lot de figures.

20 20 Report de longueur Cycle 3 Compétences : - Vérifier à l’aide du compas ou d’un instrument de mesure, que des segments ont la même longueur. - Tracer, avec un compas ou une règle, un segment de même longueur qu’un segment donné. Classe de 6 e Ces compétences sont à développer en priorité sur papier uni, en utilisant les instruments usuels (règle, équerre et compas). Elles prennent leur sens lorsqu’elles sont mobilisées pour résoudre un problème : reproduire une figure, en compléter un agrandissement ou une réduction déjà amorcée, construire une figure d’après une de ses descriptions. Les méthodes doivent varier en fonction de l’espace dans lequel est posé le problème et des instruments laissés à la disposition des élèves : - pour le report de longueurs : usage du compas, d'une bande de papier ou de la règle graduée ; Commentaires : Le compas doit être un instrument privilégié pour comparer ou reporter des longueurs, chaque fois qu’un mesurage n’est pas indispensable.

21 21 Les angles Cycle 3 (Grandeurs) Compétences : - Comparer des angles dessinés, par superposition ou en utilisant un gabarit. -Comparer des angles situés dans une figure (angles intérieurs d’un triangle, d’un quadrilatère). - Reproduire un angle donné en utilisant un gabarit ou par report d’un étalon. - Tracer un angle droit ainsi qu’un angle égal à la moitié, le quart ou le tiers d’un angle droit. Classe de 6 e - pour la reproduction d’un angle : usage d’un gabarit ou du rapporteur ; Le rapporteur est, pour les élèves de 6 e, un nouvel instrument de mesure dont l’utilisation doit faire l’objet d’un apprentissage spécifique. - Comparer des angles. - Utiliser un rapporteur pour : déterminer la mesure en degré d’un angle construire un angle de mesure donnée en degré. Dans la continuité du travail entrepris à l'école élémentaire, il est indispensable de faire un travail sur la comparaison des angles sans avoir recours à leur mesure, en les superposant, et notamment de mettre en évidence que l'égalité des angles est indépendante de la longueur des côtés. Le rapporteur est un nouvel instrument de mesure qu’il convient d’introduire à l’occasion de la construction et de l’étude des figures.

22 22 Droites perpendiculaires, droites parallèles Cycle 3 Compétences : - Vérifier, à l’aide de l’équerre, que deux droites sont perpendiculaires. - Vérifier, à l’aide de la règle et de l’équerre, que deux droites sont parallèles. - Tracer à main levée, une droite perpendiculaire ou parallèle à une droite donnée. - Tracer à l’aide de l’équerre la perpendiculaire à une droite donnée, passant par un point donné (sur ou hors de la droite). - Tracer à l’aide de l’équerre et de la règle une parallèle à une droite donnée. Classe de 6 e - tracer, par un point donné, la perpendiculaire ou la parallèle à une droite donnée.

23 23 Commentaires : (Cycle 3) […] Le travail sur droites perpendiculaires et droites parallèles donne lieu à une synthèse, à partir d’une réflexion sur les positions relatives de deux droites : droites non sécantes (parallèles), droites sécantes en prenant en considération leur inclinaison relative (notion d’angle) et notamment cas des droites qui se coupent en faisant quatre angles égaux (perpendiculaires). Pour les droites parallèles, la propriété d’écart constant entre ces droites sera mise en évidence et utilisée pour des activités de reconnaissance ou de construction. L’utilisation de tracés à main levée joue un rôle important dans la mise en place d’images mentales relatives au parallélisme et à la perpendicularité, de même que la recherche de procédés pour obtenir des droites perpendiculaires ou parallèles par pliage d’une feuille de papier. Commentaires (6 e ) - pour le tracé d’une perpendiculaire : usage de la règle et de l’équerre, puis du compas et de la règle (après le travail sur la médiatrice d’un segment) ; - pour le tracé d’une parallèle : usage de la règle et de l’équerre. En sixième, deux droites parallèles sont caractérisées d’un triple point de vue : elles ne se coupent pas, leur écartement est constant, si l’une est perpendiculaire à une troisième droite, l’autre l’est également. Deux droites perpendiculaires sont caractérisées par le fait qu’elles se coupent à angle droit (elles déterminent quatre angles droits).

24 24 En géométrie absolue (ou neutre), théorie dans laquelle on introduit le plus tard possible l’axiome d’Euclide, on peut démontrer que cet axiome est équivalent à de nombreux énoncés, parmi lesquels figure le suivant : Il existe un rectangle. La figure ci-contre suggère qu’en géométrie hyperbolique, il n’existe pas de rectangle (quadrilatère ayant quatre angles droits).

25 25 Problème pour passer de la géométrie instrumentée à la géométrie théorique. Pourquoi ne peut-on plus utiliser les instruments ? Quelle définition de l’angle droit en géométrie théorique ? Statut des énoncés “classiques” ? Recherche INRP sur ce thème. Publication dans les actes du colloque Inter-IREM de Montpellier “Quelles géométries au collège ? Geste physique, geste virtuel, geste mental”. Publication à venir : “Apprentissages géométriques au début du collège”.

26 26 Cette recherche fait jouer aux changements de milieux (et particulièrement grâce à l'emploi de logiciels d'enseignement de la géométrie tels que « Cabri–Géomètre ») le rôle de catalyseur dans le passage de la géométrie instrumentée à la géométrie théorique. Pour ce qui concerne la géométrie plane, nous avons considéré des problèmes géométriques dont on puisse organiser l'étude et la résolution dans une succession de milieux différents. L'ordre dans cette succession est choisi de manière à amener l'élève à passer de la problématique pratique à la problématique géométrique, et à prendre conscience des différences de modes de validation légitimes dans le cadre de chacune d'elles.

27 27 Plus précisément, c'est en demandant aux élèves de trouver une justification des techniques qui soit indépendante du milieu matériel que nous comptons faire émerger le besoin de géométrie théorique. En d'autres termes, c'est en cherchant à mieux comprendre pourquoi des techniques (différentes selon les milieux) donnent bien le résultat qu'elles sont censées produire que l'on est amené à identifier ou créer l'objet géométrique (ou les propriétés de cet objet) sur lesquels toutes ces techniques, pourtant différentes dans leur mises en œuvre pratiques, sont fondées.

28 28 Cercle Cycle 3 Compétences : - Utiliser, en situation (en particulier pour décrire une figure), le vocabulaire suivant : droite, cercle, centre, rayon, diamètre, angle, droites perpendiculaires, droites parallèles, demi-droite, segment, milieu, médiatrice. (Les constructions à connaître sont précisées en commentaires). Classe de 6 e - Caractériser les points du cercle par le fait que: -tout point qui appartient au cercle est à une même distance du centre ; [énoncé 2] -tout point situé à cette distance du centre appartient au cercle. [énoncé 1] Retour à la recherche INRP : L'appréhension perceptive facile de l'énoncé 2 explique que ce dernier soit davantage disponible pour les élèves, et que son emploi ne pose guère de problème. En revanche, l'énoncé 1 nécessite une prise de distance par rapport à la géométrie perceptive que l'enseignement n'offre que trop rarement l'occasion aux élèves de faire : nous en avons proposé une.

29 29 Symétrie orthogonale Cycle 3 Compétences : - Percevoir qu’une figure possède un ou plusieurs axes de symétrie. - Vérifier, en utilisant différentes techniques (pliage, papier calque, miroir) qu’une droite est axe de symétrie d’une figure. - Compléter une figure par symétrie axiale en utilisant des techniques telles que pliage, papier calque, miroir. - Tracer sur papier quadrillé, la figure symétrique d’une figure donnée par rapport à une droite donnée. Classe de 6 e - Construire le symétrique d’un point, d’une droite, d’un segment, d’un cercle (que l’axe de symétrie coupe ou non la figure) - Construire ou compléter la figure symétrique d'une figure donnée ou de figures possédant un axe de symétrie à l'aide de la règle (graduée ou non), de l'équerre, du compas, du rapporteur.

30 30 Commentaires : (Cycle 3) L’étude systématique de la symétrie axiale relève de la sixième. Au cycle 3, il s’agit de fournir l’occasion aux élèves d’étendre leur champ d’expériences sur cette transformation et de mettre en œuvre quelques-unes de ses propriétés. Les activités conduites peuvent prendre appui sur l’analyse ou la réalisation d’assemblages, de frises, de pavages, de puzzles, en utilisant différentes techniques : pliage, calque, miroir, gabarits. Ces activités sont l’occasion de mettre en évidence des phénomènes de déplacement, avec ou sans retournement, ainsi que de rencontrer d’autres transformations. L’utilisation de l’ordinateur (logiciels de dessin, imagiciels) permet d’enrichir le champ d’expériences des élèves. Sur papier quadrillé, on se limite à l’utilisation d’axes de symétrie qui suivent les lignes du quadrillage ou qui sont des diagonales de ce quadrillage. Les élèves sont confrontés à quelques cas où l’axe de symétrie coupe la figure. Commentaires (6 e ) Dans la continuité du travail entrepris à l'école élémentaire, les activités s'appuient encore sur un travail expérimental (pliage, papier calque) permettant d'obtenir un inventaire abondant de figures simples, à partir desquelles sont dégagées les propriétés de ''conservation'' de la symétrie axiale (conservation des distances, de l'alignement, des angles et des aires). Le rôle de la médiatrice comme axe de symétrie d’un segment est mis en évidence. La symétrie axiale n'a, à aucun moment, à être présentée comme une application du plan dans lui-même. La bissectrice d'un angle est définie en sixième comme la demi-droite qui partage l'angle en deux angles adjacents de même mesure. La justification de la construction de la bissectrice à la règle et au compas est reliée à la symétrie axiale.

31 31 La symétrie orthogonale est mise en jeu le plus fréquemment possible pour justifier les propriétés des quadrilatères usuels. Figures : triangles, quadrilatères usuels Cycle 3 Compétences : - Reconnaître de manière perceptive une figure plane, en donner le nom. - Identifier, de manière perceptive, une figure simple dans une configuration complexe. - Vérifier l’existence d’une figure simple dans une configuration complexe, en ayant recours aux propriétés et aux instruments. - Décomposer une figure complexe en figures plus simples. Classe de 6 e Compétences : - Connaître les propriétés relatives aux côtés, aux angles, aux diagonales pour les quadrilatères suivants : rectangle, losange, cerf-volant, carré. - Connaître les propriétés relatives aux côtés et aux angles des triangles suivants : triangle isocèle, triangle équilatéral, triangle rectangle. - Utiliser ces propriétés pour reproduire ou construire ces figures.

32 32 Un mot sur le cerf-volant Classification des quadrilatères dans l’encyclopédie mathématique Didier

33 33 Quadrilatère (convexe) dont une diagonale est axe de symétrie. Quadrilatère (convexe) ayant deux paires de côtés consécutifs de même longueur. Cette classification est faite en géométrie affine. Pour ce qui concerne le collège, seuls les cerfs-volants “isocèles” de la classification précédente sont considérés, et appelés simplement “cerf-volant”. Définitions (caractérisations) possibles du cerf-volant Remarque : Le deltoïde (quadrilatère ayant les mêmes propriétés, mais qui n’est pas convexe) est également intéressant.

34 34 Il reste à traiter : - la reproduction et la construction de figures (complexes). - la géométrie dans l’espace. - les grandeurs. La géométrie dans l’espace est également travaillée dans la recherche INRP, mais avec une autre problématique. Emploi du matériel ZOME, permettant de visualiser un parallélépipède rectangle, les projetantes et sa représentation en perspective cavalière, tout ceci “d’un seul tenant”.


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