III e Journées (CD)AMPERES 20 et 21 mai 2010 INRP & ADIREM.

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1 III e Journées (CD)AMPERES 20 et 21 mai 2010 INRP & ADIREM

2 LES « N » TEMPS DE LA CONSTRUCTION DES PER 1. Préalables épistémologiques et didactiques 2. Construction a priori 3. Observation de la passation en classe 4. Analyse après passation 5, …, n,... Retours, retouches, passations, etc. EXEMPLES DEPUIS LES PER « MARSEILLAIS »

3 AVERTISSEMENT « Le modèle abstrait que l’on doit construire […] ne vaut complètement que si on le donne pour ce qu’il est, un artefact théorique totalement étranger à la pratique – bien qu’une pédagogie rationnelle puisse lui faire servir des fonctions pratiques en permettant à celui qui en possède l’équivalent pratique de s’approprier réellement les principes de sa pratique, soit pour les porter à leur plénitude, soit pour tâcher de s’en libérer. » Pierre Bourdieu, Le sens pratique, 1980

4 LA QUESTION DE LA QUESTION ou LES PRÉALABLES ÉPISTÉMOLOGIQUES (1) Avant tout, il faut savoir poser des problèmes. Et quoi qu’on dise, dans la vie scientifique, les problèmes ne se posent pas d’eux-mêmes. C’est précisément ce sens du problème qui donne la marque du véritable esprit scientifique. POUR UN ESPRIT SCIENTIFIQUE, TOUTE CONNAISSANCE EST REPONSE A UNE QUESTION. S’il n’y a pas eu de question, il ne peut y avoir connaissance scientifique. Rien ne va de soi. Rien n’est donné. Tout est construit. » Gaston Bachelard, La formation de l’esprit scientifique, 1938

5 LA QUESTION DE LA QUESTION ou LES PRÉALABLES ÉPISTÉMOLOGIQUES (2) « […] la société se constitue par une accumulation plus ou moins ordonnée d’œuvres, qui donnent chacune des éléments de réponse à quelques questions plus ou moins vitales. […] Mais la plupart des œuvres sont des œuvres anonymes, et des œuvres ouvertes, fruit de l’action d’un collectif innombrable, recrutant dans la suite des générations. » Yves Chevallard La fonction professorale : esquisse d’un modèle didactique, 1995

6 LA QUESTION DE LA QUESTION ou LES PRÉALABLES SOCIOLOGIQUES (3) Certaines œuvres deviennent parfois, objets de savoir. Se constituent autour d’elles, ce que la société appelle des savoirs. La société décide des objets de savoir sur lesquels les nouvelles générations doivent être instruites car : -ces objets de savoir sont susceptibles de fournir des outils pour bâtir des réponses à des questions nouvelles, inédites -Il faudra toujours répondre aux questions anciennes qui continueront de se poser

7 LA QUESTION DE LA QUESTION ou LES PRÉALABLES TRANSPOSITIFS (4) Pour réaliser ce projet, la société organise la mise en contact de certaines populations avec des œuvres, ensembles organisés et fluctuants de réponses qui constituent des savoirs relevant de disciplines scolaires. Des objets de savoir à enseigner ayant été choisis, s’opère un travail de transposition didactique afin de les rendre enseignables ; l’ensemble est consigné dans un programme P. Sont constitués des systèmes didactiques (E, e, P).

8 LA QUESTION DE LA QUESTION ou LES PRÉALABLES PÉDAGOGIQUES (5) L’ostension directe et assumée : le cours magistral L’ostension déguisée : la fiction que l’élève produit le savoir (la plupart des activités des manuels scolaires français) QUID DE LA QUESTION DONT LE SAVOIR CONSTITUE UNE RÉPONSE ? La responsabilité de produire la réponse incombe entièrement au professeur.

9 LA QUESTION DE LA QUESTION ou LES PRÉALABLES ISSUS DES RECHERCHES ET INGÉNIERIES DIDACTIQUES (6) « Si l’on accepte que l’apprentissage est une modification de la connaissance que l’élève doit produire lui-même et que le maître doit seulement provoquer, on est conduit à faire les raisonnements suivants. […] Le travail du professeur consiste donc à proposer à l’élève une situation d’apprentissage afin que l’élève produise ses connaissances comme réponse personnelle à une question et les fasse fonctionner ou les modifie comme réponses aux exigences du milieu et non à un désir du maître. » Guy Brousseau, Théorie des situations didactiques, 1998

10 LA QUESTION DE LA QUESTION ou LES PRÉALABLES ISSUS DES RECHERCHES ET INGÉNIERIES DIDACTIQUES (6’) « Corollaire 1 […] l’enseignant ne peut pas dire à l’avance à l’élève exactement quelle réponse il attend de lui ; il doit donc faire en sorte que ce dernier accepte la responsabilité de chercher à résoudre des problèmes ou des exercices dont il ignore la réponse. » La responsabilité de faire rencontrer la question par les élèves, de leur faire produire la réponse et de l’identifier comme un savoir incombe au professeur.

11 LA QUESTION DE LA QUESTION ou LES PRÉALABLES ISSUS DES RECHERCHES ET INGÉNIERIES DIDACTIQUES (6’’) Ostension directe (cours magistral) ou déguisée (activités des manuels)  La responsabilité de produire la réponse incombe au professeur, qu’est devenue la question ? Enseignement par adaptation (rare, ingénierie didactique)  La responsabilité de faire rencontrer la question par les élèves et de leur faire produire la réponse incombe au professeur

12 LA QUESTION DE LA QUESTION LE MOMENT HISTORIQUE OÙ NOUS NOUS TROUVONS (7) La question qui motivait les ingénieries didactiques conçues par Guy Brousseau s’est déplacée. Pour Alain Mercier (2002), elle n’est plus « Est-il possible d’enseigner cette notion avec toutes les propriétés souhaitées ? », car la preuve en a été administrée pour les mathématiques de l’école primaire, au COREM de l’Ecole Michelet de Talence. Elle devient « Comment pourrait-on créer les conditions d’enseignement de cette notion dans un nombre significatif de classes et auprès d’un nombre significatif d’élèves par classe ? » Ambition plus modeste, mais qui engage vers la prise en compte de questions d’une redoutable difficulté : celles de la conception d’un tel type d’enseignement, de la formation de professeurs capables de le faire vivre, de la continuation des recherches portant sur les contraintes à lever, celles à conserver, les conditions nouvelles à mettre en place.

13 CONSTRUCTION A PRIORI D’UN PER (1) Que trouve-t-on dans les programmes sur cette « notion » ?

14 CONSTRUCTION A PRIORI D’UN PER (2) Qu’est-ce que cette notion au plan mathématique ? Réponse : la symétrisation « classique » (de N) Sur N, on a défini une opération interne + qui est associative, commutative et pour laquelle tout entier naturel n est régulier, c’est-à-dire : x + n = y + n implique x = y. On considère sur N  N la relation R définie par (x, y) R (x’, y’)  x + y’ = x’ + y. Sur N  N / R on définit une opération interne + de la manière suivante : (x, y) + (x,’ y’) = (x + x’, y + y’) On montre que (N  N / R ; +) est un groupe commutatif.

15 CONSTRUCTION A PRIORI D’UN PER (3) Qu’est-ce que cette notion aux plans mathématique et épistémologique ? Réponses mathématiques : -Les structures : groupes, anneaux, corps, extensions, ensembles de nombres -L’algèbre : les polynômes, les fractions rationnelles Qu’est-ce que l’algèbre ? Réponses épistémologiques : -Une arithmétique généralisée -Une modélisation de l’arithmétique

16 CONSTRUCTION A PRIORI D’UN PER (4) 1. Peut-on établir un lien entre entre réponses mathématiques et épistémologiques et la transposition didactique du programme actuel, les connaissances antérieures des élèves ? 2. Si l’algèbre modélise, étend l’arithmétique, c’est à l’aide de quoi ? De quel objet pouvant vivre pour les élèves, ayant du sens par rapport à leurs connaissances antérieures ? Réponse : L’algèbre peut modéliser des programmes de calcul sur des nombres, construits à partir des quatre opérations, aussi bien pour construire de nouveaux nombres (relatifs, décimaux, rationnels, algébriques) que pour enseigner l’algèbre et une partie de l’analyse (sans les fonctions et nombres transcendants) du programme jusqu’en 1 re.

17 CONSTRUCTION A PRIORI D’UN PER (5) 1. Peut-on établir un lien entre entre réponses mathématiques et épistémologiques et la transposition didactique du théorème de Thalès dans le programme actuel, les connaissances antérieures des élèves ? 2. Si la géométrie modélise l’espace physique, sensible, c’est à l’aide de quoi ? De quel objet pouvant vivre pour les élèves, et ayant du sens par rapport à leurs connaissances antérieures ? Réponse : Si la géométrie modélise le réel, c’est aussi à l’aide des transformations, qui opèrent sur un espace affine. La transformation « derrière » le théorème de Thalès est la similitude (directe ou inverse). La faire vivre en acte (puisque le programme « interdit » son étude).

18 CONSTRUCTION A PRIORI D’UN PER (6) Ayant trouvé une raison d’être de la notion, comment la transposer pour ce qu’on doit enseigner ? Quelle vigilance épistémologique exercer ? Une définition provisoire : On appelle opérateur dans N la fonction de N dans N notée O (a, b) définie de la manière suivante : si a ≤ b alors O (a, b) (x) = x + (b – a) et si a > b alors O (a, b) (x) = x - (a – b) On considère sur O la relation R définie par O (a, b) R O (c, d)  quel que soit l’entier naturel x : O (a, b) (x) = O (c, d) (x), c’est- à-dire quel que soit x entier naturel pour lequel les calculs sont possibles dans N : x + b – a = x + d – c. R est-elle d’équivalence ? La poursuite de la construction d’un groupe commutatif O  O / R est-elle possible ?

19 CONSTRUCTION A PRIORI D’UN PER (7) Peut-on poser une question aux élèves qui ait du sens pour eux, dans laquelle ils puissent s’engager pour l’instruire, ou bien peut- on plutôt leur FAIRE RENCONTRER EN ACTE la question et donc leur dévoluer la responsabilité d’y apporter une ou des réponses ? La dynamique d’étude de cette question engendrera-t- elle des sous-questions assez larges, et suffisantes pour engendrer ce qui est à enseigner sur les nombres et l’algèbre, au sein d’une dynamique d’étude portée par les élèves et dirigée par le professeur (directeur d’étude) ? Réponse : on fait rencontrer aux élèves dans un problème qui leur est connu, une tâche problématique puis des tâches du même type, grâce à la nécessité d’y répondre en jouant sur une variable didactique. Calculer mentalement O (a, b) (x) = x + (b – a) quand b < a et b – a ≥ x, pour des « grands » nombres entiers.

20 CONSTRUCTION A PRIORI D’UN PER (8) Le PER commence par une AER (rappel) Activités d’étude et de recherche [AER] 1. Moment de la (première) rencontre avec le type de tâches ; 2. Moment de l’exploration du type de tâches et de l’émergence de la technique ; 3. Moment de la construction du bloc technologico-théorique, ou encore du savoir qui justifie, produit et rend intelligible la technique. Autres moments didactiques 4. Moment de l’institutionnalisation. 5. Moment du travail de l’organisation mathématique (et en particulier de la technique). 6. Moment de l’évaluation.

21 OBSERVATION DE LA PASSATION EN CLASSE (1) 1. Moment de la (première) rencontre avec les négatifs à travers une tâche problématique 2. Moment de l’exploration du type de tâches et de l’émergence de la technique 5 e 6 Séance du 6 novembre 2009 20’15 à 24’ 3. Moment de la construction du bloc technologico-théorique, ou encore du savoir qui justifie, produit et rend intelligible la technique. 5 e 6 Séance du 6 novembre 2009 24’40 à 29’50

22 OBSERVATION DE LA PASSATION EN CLASSE (2) LE TRAVAIL DU PROFESSEUR DIRIGER L’ÉTUDE DES ÉLÈVES ET NON PAS DONNER DES RÉPONSES, NI FAIRE PASSER LES ÉLÈVES PAR DES ACTIVITÉS TYPE « MANUELS » UNE FOIS LA QUESTION POSÉE Dévoluer la responsabilité du travail aux élèves, réguler et accompagner leurs idées, sélectionner parmi elles, faire se remémorer les connaissances anciennes Aider à formuler les questions nouvelles qui émergent de la dynamique de l’étude, et apparaissent « en raison » dans le collectif-classe. 5 e 1 séance de 14 h à 15 h le 20 novembre 2009, 2’00 à 8’ 22 Indiquer des techniques que l’on peut tenter de réutiliser, sans pour autant donner la réponse, gérer l’inattendu, les interactions élèves-savoir 5 e 1 séance de 14 h à 15 h le 20 novembre 2009, 21’18 à 24’ 20

23 Quelques éléments de conclusion (1) A partir des PER construits et observés Ni revenir à une série d’activités « à ostension déguisée », type manuels scolaires, une fois la grande question indiquée aux élèves, ni croire que les élèves peuvent tout inventer ou découvrir par eux- mêmes, ni poser des « problèmes ouverts » ; mais diriger l’étude de plusieurs question pour lesquelles une sérieuse étude a priori, mathématique et DIDACTIQUE, a été menée au préalable. Certaines (la majorité) questions ne peuvent être posées telles quelles aux élèves. Toute question est rencontrée à travers une tâche problématique et ouvre un champ plus ou moins grand de recherche. Des questions du même type peuvent être reprises à plusieurs moments et ouvrent des champs de recherche nouveaux. Entre PER ouverts (questions quasi-ouvertes, SINON PAS DE DÉVOLUTION) et PER finalisés (enseignement d’un programme)

24 Quelques éléments de conclusion (2) Vers un changement radical de la profession enseignante -Mener une enquête sur le savoir (mathématique, épistémologique, transpositive) -S’instruire des outils indispensables fournis par la didactique des mathématiques (les étudier) -Construire par un travail collectif un ensemble de ressources (impossibilité de tout faire tout seul ; quitter l’idéologie de l’individualisme professoral), tout en sachant qu’elles sont ÉVOLUTIVES, observer les passations -En finir avec la traduction pratique des deux extrêmes idéologiques sur l’enseignement (le constructivisme et le magistère) et la position idéologique médiane (les « activités » de l’ostension déguisée) -Apprendre à enseigner par la direction d’étude et de recherche (réticence didactique)