La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

1 Planification de la production : Modèles et algorithmes pour les problèmes de dimensionnement de lots Par : Nadjib BRAHIMI Maître assistant associé,

Présentations similaires


Présentation au sujet: "1 Planification de la production : Modèles et algorithmes pour les problèmes de dimensionnement de lots Par : Nadjib BRAHIMI Maître assistant associé,"— Transcription de la présentation:

1 1 Planification de la production : Modèles et algorithmes pour les problèmes de dimensionnement de lots Par : Nadjib BRAHIMI Maître assistant associé, EMNantes Laboratoire d'Informatique, Tours 17 juin 2005 Ecole des Mines de NantesUniversité de Nantes Institut de Recherche en Communications et Cybernétique de Nantes

2 2 Plan de lexposé Introduction Une classification Introduction des contraintes de fenêtres de temps Problème à un produit sans contraintes de capacité Problèmes avec capacité : Problème à plusieurs produits avec capacité et fenêtres de temps Cas particulier : problème à un produit avec capacité Problème avec temps de préparation Conclusions et perspectives

3 3 Introduction Un problème de dimensionnement de lots dun produit commande n° 814 commande n° 813 commande n° 812 commande n° 811 commande n° 823 commande n° 822 commande n° 821 commande n° 832 commande n° 831 commande n° 843 commande n° 842 commande n° 841 semaine 1semaine 2semaine 3semaine 4 Demande d t (peut être prévisionnelle) Périodes t (semaine, mois) Ex. Palettes

4 4 Introduction Problème de dimensionnement de lots à un produit p3p3 p1p1 p2p2 Coût de production h3h3 h1h1 h2h2 Coût de stockage s3s3 s1s1 s2s2 Coût de lancement (préparation) X3X3 X1X1 X2X2 Quantité à fabriquer I3I3 I1I1 I2I2 Niveau de stock Y3Y3 Y1Y1 Y2Y2 Période de production 312 T d 1 d 2 d 3 O(TlogT) par Wagelmans, Van Hoesel et Colen (1992), Aggarwal et Park (1993) et Federgruen et Tzur (1991) Résolu en O(T 2 ) par Wagner et Whitin (1958)

5 5 Une classification des problèmes de dimensionnement de lots (PDL) PDL un niveau multi niveaux un produit multi produits Ruptures de stock Produits périssables Refabrication Avec capacité Sans capacité Zangwill (1969) Hsu (2000) Golany, Yan, Yu (2001) Florian et Klein (1971) Wagner et Whitin (1958) Kuik et Salomon (1990) Salomon, Kuik, Van Wassenhove (1993) Etat de lart Brahimi et al Etat de lart Brahimi et al Wolsey 1995 multi produits Fenêtres de temps sur les demandes Lee, Cetinkaya, Wagelmans (2001)

6 6 Une classification des problèmes de dimensionnement de lots (PDL) PDL un niveau multi niveaux un produit multi produits Ruptures de stock Produits périssables Refabrication Avec capacité Temps de préparation Préparations communes Manne (1958) Trigeiro et al. (1989) Suerie et Stadtler (2003) Millar et Yang (1993) Friedman et Hoch (1978) Richter et Sonbrutzki (2000) Kuik et Salomon (1990) Salomon et al. (1993) Etat de lart Brahimi et al Etat de lart Brahimi et al Wolsey 1995 multi produits

7 7 d4d4 d5d5 Semaine 1Semaine 2Semaine 3Semaine 4Semaine 5 d3d3 d2d2 d1d1 Hypothèse insuffisante Dans le modèle classique sans fenêtres de temps, toutes les demandes peuvent êtres produites dès la première période. d4d4 d5d5

8 8 Représentation par fenêtres de temps Semaine 1 Semaine 2 Semaine 3 Semaine 4 Semaine 5 d 14 d 34 d 12 d 25 Cas avec clients spécifiques (CS) (Structure générale des fenêtres de temps) d 14 d 25 d 35 d 12 Semaine 1 Semaine 2 Semaine 3 Semaine 4 Semaine 5 Cas avec clients non spécifiques (NCS) (Structure particulière des fenêtres de temps) d 34 d 25

9 9 Applications du modèle avec fenêtres de temps Traitement des déchets industriels (CS, NCS) Problèmes avec stock périssable (NCS) Disponibilité de la matière première Sans traçabilité (NCS) Avec traçabilité (CS) Résolution des problèmes de dimensionnement de lots à plusieurs niveaux (NCS)

10 10 Intégration des contraintes de fenêtres de temps aux problèmes de dimensionnement de lots PDL un niveau multi niveaux un produit multi produits Rupture de stock Produits périssables Refabrication Avec capacité Sans capacité Avec capacité Temps de lancement Lancements communs

11 11 Intégration des contraintes de fenêtres de temps aux problèmes de dimensionnement de lots PDL un niveau multi niveaux un produit multi produits Ruptures de stock Produits périssables Refabrication Avec capacité Sans capacité Sans temps de préparation Avec temps de préparation Lancements communs

12 12 Problème à un produit sans contraintes de capacité multi niveaux multi produits Rupture de stock Produits périssables Refabrication Avec capacité Sans temps de préparation Avec temps de préparation Lancements communs PDL un niveau un produit Sans capacité Dauzère-Pérès, Brahimi, Najid et Nordli (2002)

13 13 Minimiser Sous : Modèle mathématique Problème de Wagner-Whitin Problème à clients spécifiques Problème à clients non spécifiques

14 14 Complexité et algorithme de résolution du problème à clients spécifiques (CS) Semaine 1 Semaine 2 Semaine 3 Semaine 4 Semaine 5 d 14 d 34 d 12 d 25 Problème NP-difficile ? Résolu par programmation dynamique en temps exponentiel [Dauzère-Pérès, Brahimi, Najid et Nordli (2002)] Non divisibilité de la demande : Il existe une solution optimale du problème où d st est produite dans une même période s k t. Regroupement des demandes : d s2t2 d s1t1 k d s2t2

15 15 Algorithme de programmation dynamique pour le problème à clients spécifiques (CS) Temps de calcul (secondes) par rapport à lhorizon de planification et à la densité des fenêtres de temps TWD = 0.8 TWD = 0.6 TWD = 0.4 TWD = Densité des fenêtres de temps = Nombre de demandes positives Nombre maximal possible de demandes

16 16 Lalgorithme exponentiel du problème à clients spécifiques (CS) sexécute en O(T 4 ) quand les fenêtres de temps sont à clients non spécifiques (NCS) Algorithme de programmation dynamique pour la problème à clients non spécifiques (NCS) d 14 d 24 d 35 d 12 Semaine 1 Semaine 2 Semaine 3 Semaine 4 Semaine 5

17 17 Problèmes à plusieurs produits avec contraintes de capacité et sans temps de préparation multi niveaux un produit Rupture de stock Produits périssables Refabrication Avec capacité Sans capacité Avec temps de préparation Lancements communs PDL un niveau multi produits Sans temps de préparation

18 18 Problème à plusieurs produits avec contraintes de capacité Planifier la production de N produits sur T périodes Une ressource à capacité limitée. La production dune unité du produit i à la période t consomme σ i unités de la capacité C t. Complexité: Le problèmes sans fenêtres de temps est NP-difficile au sens fort (Chen & Thizy, 1990). Le problèmes avec fenêtres de temps est NP-difficile au sens fort.

19 19 Sous : Problème à plusieurs produits avec contraintes de capacité. Modèle mathématique (clients spécifiques CS) Min 21

20 20 Sous : Problème à plusieurs produits avec contraintes de capacité. Modèle mathématique (clients NON spécifiques NCS) Min 22

21 21 Points clés dune heuristique Lagrangienne : (e.g. Fisher, 1984) 1. Relaxer les contraintes difficiles Contraintes de capacité +/- contraintes de fenêtres de temps 2. Résoudre le problème relaxé Problèmes à un produits sans contraintes de capacité (1) Sans fenêtres de temps (Wagner-Whitin), (2) Avec fenêtres de temps à clients non spécifiques (3) Avec fenêtres de temps à clients spécifiques 3. Modifier le problème relaxé et construire des solutions réalisables Heuristiques basées sur trois procédures 4. Mettre à jour les multiplicateurs Lagrangiens Méthode du sous gradient

22 22 Exponentiel Sous : Problème à plusieurs produits avec contraintes de capacité. Quelles contraintes relaxer (CS) ? O(TlogT) O(T4)O(T4) Min + constante CS WW NCS 26

23 23 Sous : Problème à plusieurs produits avec contraintes de capacité. Quelles contraintes relaxer (NCS) ? O(TlogT) O(T4)O(T4) Min + constante WW NCS 27

24 24 Résumé des différentes relaxations Nom de la relaxation Sous- problèmes Résolus en Clients spécifiques CS-CSCSExponentiel CS-NCSNCSO(T 4 ) CS-WWWWO(TlogT) Clients non spécifiques NCS-NCSNCSO(T 4 ) NCS-WWWWO(TlogT)

25 25 Construction de solutions réalisables

26 26 Construction de solutions réalisables Première contrainte de fenêtres de temps Début Deuxième contrainte de fenêtres de temps Satisfaire les contraintes de capacité Fin La production dépasse ce qui est disponible La production nest pas suffisante pour satisfaire la demande désagrégée La production dépasse la capacité Produit par produit Considérer lensemble des produits (basée sur TTM 1989)

27 27 Utilisation des inégalités valides Problème à clients spécifiques (CS) Dans les relaxations CS-NCS et CS-WW Si d itt >0 alors Y it =1

28 28 Utilisation des inégalités valides Exemple : Relaxation CS-WW Sous : Pour chaque produit i on a le problème Exemple : écart entre la borne inférieure et la borne supérieure 0.97 %5.85 % Avec inégalités valides Sans inégalités valides

29 29 Résultats numériques : Résumé Données générées aléatoirement pour plusieurs paramètres (nombre de produits, densité des fenêtres de temps, coût de préparation…) Longueur de lhorizon : T=12 périodes Nombre maximum ditérations : 100 Clients spécifiques Ecart moyen Temps de calcul CS-CS0.02 %2.04 secs CS-NCS0.25 %0.59 secs CS-WW0.34 %0.08 secs Clients non spécifiques Ecart moyen Temps de calcul NCS-NCS0.07 %0.27 secs NCS-WW0.91 %0.07 secs

30 30 Résultats numériques détaillés Problème à clients spécifiques (CS) Moyennes 0.34 % 0.25 % 0.02 % TWD Produits Demande Prépa/stock Capa/dem absorption LMIN LMAX ~ Opt = 2 UB( CS-CS ) + LB( CS-CS ) Solutions optimales estimées : Ecart (%) entre la borne supérieure et et les bornes inférieures

31 31 CS-WW CS-NCS 0.00 UB LB Résultats numériques détaillés Problème à clients spécifiques (CS) Ecart de la borne inférieure par rapport à loptimum estimé ~ Opt = 2 UB( CS-CS ) + LB( CS-CS ) Ecart de la borne supérieure par rapport à loptimum estimé LMIN = 2 UB -> 1.38 % LB -> 1.84 % Absorption

32 32 Résultats numériques détaillés Problème à clients non spécifiques Moyenne 0.91 % (NCS-WW) 0.07 % (NCS-NCS) Ecart (%) entre la borne supérieure et et les bornes inférieures TWD Produits Demande Prépa/stock Capa/dem absorption LMIN LMAX

33 33 Suggestions pour la résolution des problèmes à plusieurs produits Problèmes à clients spécifiques Problèmes à clients non spécifiques T 18 périodesCS-CSNCS-NCS 19 T 48 périodes CS-NCSNCS-NCS T > 48 périodesCS-WWNCS-WW

34 34 multi produits Sans temps de préparation Problèmes à un produit avec contraintes de capacité multi niveaux Rupture de stock Produits périssables Refabrication Sans capacité Avec temps de préparation Lancements communs PDL un niveau un produit Avec capacité

35 35 Problème avec fenêtres de temps à un produit et avec contraintes de capacité Problème NP-difficile (Florian, Lenstra et Rinnooy Kan, 1980) Résolution heuristique basée sur la relaxation Lagrangienne. Utiliser lheuristique Lagrangienne développée pour le problème multi-produits Etudier les caractéristiques de ce problème et adapter lapproche Versus

36 36 Min Cas du problème à un produit avec contraintes de capacité (Problème à clients spécifiques) 1. Quelles contraintes relaxer ? Multi produits ou Un produit ? Sous :

37 37 2. Pré-lissage de la demande Capacité Notre contribution : Pré-lissage de la demande disponible Bitran et Yanasse (1982) : Pré-lissage de la demande agrégée Problème initial Problème équivalent Capacité Problème initial Problème équivalent Demande agrégée dépasse la capacité Demande disponible dépasse la capacité

38 38 Problèmes à un produit avec contraintes de capacité Problèmes à clients spécifiques (CS) : Résultats numériques Ancienne approche Nouv. contraintes de capacité (seules) Pré-lissage (seul) Nouvelle approche Famille %3.49 %1.68 %0.58 % Famille %4.64 %1.91 %0.65 % Famille %5.35 %1.95 %0.79 % Famille %8.65 %0.07 % Famille %4.64 %1.91 %0.65 % Famille %0.61 %0.53 %0.24 % Moyenne15.24 %4.56 %1.34 %0.50 % Ecarts moyens (%) entre les bornes inférieures et les bornes supérieures : Relaxation CS-NCS Conclusion : Lexploitation de la structure des problèmes à un produit améliore considérablement la qualité des heuristiques Lagrangiennes

39 39 un produit Sans capacité Problèmes à plusieurs produits avec contraintes de capacité et avec temps de préparation multi niveaux Rupture de stock Produits périssables Refabrication Avec capacité Sans temps de préparation Lancements communs PDL un niveau multi produits Avec temps de préparation

40 40 Temps de préparation (e.g. Trigeiro, Thomas, et McClain, 1989) Semaine 1Semaine 2 Prod 1Prod 2Prod 1Prod 2 Semaine 1Semaine 2 Prod 1Prod 2Prod 1Prod 2 Préparation Production Optimisation Problème NP-difficile au sens fort Faisabilité Problème NP-complet Maes, McClain et Van Wassenhove (1991)

41 41 Sous : Extension du modèle mathématique Min 41 Adapter lheuristique Lagrangienne du problème à plusieurs produits pour prendre en considération les temps de préparation

42 42 Résultats numériques Jeux de données obtenus en transformant les problèmes de Trigeiro, Thomas et McClain (1989) en problèmes avec fenêtres de temps. Périodes : T=20 Produits : N=10, 20, 30 Résultats pour les relaxations CS-NCS et CS-WW; NCS-NCS et NCS-WW Aucune solution réalisable pour 38 problèmes sur 540. Cest aussi le cas pour un logiciel standard doptimisation (Xpress-MP) après plusieurs jours dexécution.

43 43 Résultats numériques Problèmes avec temps de préparation Clients spécifiques Ecart moyen Temps de calcul CS-NCS 6.34 %4 secs CS-WW 6.66 %0.4 secs Clients non spécifiques Ecart moyen Temps de calcul NCS-NCS 2.57 %4 secs NCS-WW 5.04 %0.3 secs

44 44 Conclusions Etat de lart sur les problèmes à un produit Intégration des fenêtres de temps Résolution des problèmes à un produit (méthodes exactes et heuristiques) Etat de lart sur les problèmes à plusieurs produits Heuristiques Lagrangiennes pour les problèmes à plusieurs produits avec et sans temps de préparation

45 45 Perspectives A court terme Complexité du problème à un produit avec fenêtres de temps à clients spécifiques Améliorer les algorithmes de programmation dynamique pour le problème à un produit Méthode exacte pour analyser les bornes des relaxations A moyen terme Utiliser ces résultats pour résoudre des problèmes à plusieurs niveaux Intégration des contraintes dordonnancement


Télécharger ppt "1 Planification de la production : Modèles et algorithmes pour les problèmes de dimensionnement de lots Par : Nadjib BRAHIMI Maître assistant associé,"

Présentations similaires


Annonces Google