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ACT2025 - Cours 10 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Dixième cours.

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1 ACT2025 - Cours 10 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Dixième cours

2 ACT2025 - Cours 10 Rappel: Rente perpétuelle de début de période

3 ACT2025 - Cours 10 Rappel: Rente perpétuelle de début de période Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné la valeur actuelle, le taux d’intérêt et les paiements

4 ACT2025 - Cours 10 Rappel: Rente perpétuelle de début de période Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné la valeur actuelle, le taux d’intérêt et les paiements Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné la valeur accumulée, le taux d’intérêt et les paiements

5 ACT2025 - Cours 10 Rappel: Rente perpétuelle de début de période Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné la valeur actuelle, le taux d’intérêt et les paiements Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné la valeur accumulée, le taux d’intérêt et les paiements Dernier paiement gonflé

6 ACT2025 - Cours 10 Rappel: Rente perpétuelle de début de période Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné la valeur actuelle, le taux d’intérêt et les paiements Calcul du nombre de paiements d’une annuité étant donné la valeur accumulée, le taux d’intérêt et les paiements Dernier paiement gonflé Dernier paiement réduit

7 ACT2025 - Cours 10 Rappel: Valeur actuelle d’une rente perpétuelle de début de période

8 ACT2025 - Cours 10 Rappel: Valeur actuelle d’une rente perpétuelle de début de période

9 ACT2025 - Cours 10 Rappel: Valeur actuelle d’une rente perpétuelle de début de période Nous avons aussi la formule

10 ACT2025 - Cours 10 est égale à la valeur actuelle d’une annuité de n paiements de 1$ en fin de période auquel nous ajoutons la valeur actuelle d’un paiement fait à t = n + k de Rappel:

11 ACT2025 - Cours 10 est égale à la valeur accumulée à t = n + k d’une annuité de n paiements de 1$ en fin de période auquel nous ajoutons un paiement fait à t = n + k de Rappel:

12 ACT2025 - Cours 10 dans laquelle P, R et i sont donnés, peut être résolue. Nous obtenons Rappel: L’équation

13 ACT2025 - Cours 10 Pour la situation du dernier paiement gonflé, nous devons trouver X comme dans le diagramme d’entrées et sorties suivant: Rappel:

14 ACT2025 - Cours 10 Pour la situation du dernier paiement réduit, nous devons trouver Y comme dans le diagramme d’entrées et sorties suivant: Rappel:

15 ACT2025 - Cours 10 dans laquelle P, R et i sont donnés, peut être résolue. Nous obtenons Rappel: L’équation

16 ACT2025 - Cours 10 Pour la situation du dernier paiement gonflé, nous devons trouver X comme dans le diagramme d’entrées et sorties suivant: Rappel:

17 ACT2025 - Cours 10 Pour la situation du dernier paiement réduit, nous devons trouver Y comme dans le diagramme d’entrées et sorties suivant: Rappel:

18 ACT2025 - Cours 10 Nous allons maintenant considérer la question de déterminer le taux d’intérêt si nous connaissons les paiements, le nombre de paiements et soit la valeur actuelle, soit la valeur accumulée. Nous avons déjà vu pour ce type de problème la méthode de bissection. Nous allons maintenant considérer la méthode de Newton-Raphson.

19 ACT2025 - Cours 10 Comme nous avons vu au cinquième cours (méthode de bissection), cette question de déterminer le taux d’intérêt revient à déterminer les zéros d’une fonction f connue, c’est-à-dire les x tels que f(x) = 0.

20 ACT2025 - Cours 10 Dans cette méthode, nous débutons avec une première valeur x 0 et nous construisons récursivement une suite: x 1, x 2, …, x s, …. Si tout va bien cette suite convergera vers un zéro de f.

21 ACT2025 - Cours 10 Géométriquement la suite est obtenue de la façon suivante:

22 ACT2025 - Cours 10 La règle récursive de la méthode de Newton-Raphson est la suivante. Pour s = 0, 1, 2, …, nous avons

23 ACT2025 - Cours 10 Déterminons un zéro de la fonction f(x) = x 3 - 8. Nous connaissons déjà la réponse. Ce sera 2. Tentons de voir si la méthode nous permet de converger vers cette valeur. Exemple 1 :

24 ACT2025 - Cours 10 Déterminons un zéro de la fonction f(x) = x 3 - 8. Nous connaissons déjà la réponse. Ce sera 2. Tentons de voir si la méthode nous permet de converger vers cette valeur. Exemple 1 : La dérivée de f(x) est

25 ACT2025 - Cours 10 Dans cet exemple, la règle récursive est la suivante Exemple 1: (suite)

26 ACT2025 - Cours 10 Dans cet exemple, la règle récursive est la suivante Exemple 1: (suite) Nous pouvons simplifier ceci et nous obtenons

27 ACT2025 - Cours 10 Si nous débutons avec la valeur x 0 = 3, nous obtenons Exemple 1: (suite)

28 ACT2025 - Cours 10 Si nous débutons avec la valeur x 0 = 3, nous obtenons Exemple 1: (suite)

29 ACT2025 - Cours 10 Si nous débutons avec la valeur x 0 = 3, nous obtenons Exemple 1: (suite)

30 ACT2025 - Cours 10 sxsxs 03 12.296296296 22.036587402 32.000653358 42.000000213 52.000000000 Exemple 1: (suite)

31 ACT2025 - Cours 10 La méthode de Newton-Raphson ne fonctionne pas toujours. Par exemple, considérons la fonction f(x) = x 3 - 5x. Remarque 1:

32 ACT2025 - Cours 10 La méthode de Newton-Raphson ne fonctionne pas toujours. Par exemple, considérons la fonction f(x) = x 3 - 5x. La règle récursive est Remarque 1: (suite)

33 ACT2025 - Cours 10 Si nous commençons avec la valeur x 0 = 1, alors nous obtenons x 1 = -1, x 2 = 1, x 3 = -1, … et ainsi de suite. Remarque 1: (suite)

34 ACT2025 - Cours 10 Si nous commençons avec la valeur x 0 = 1, alors nous obtenons x 1 = -1, x 2 = 1, x 3 = -1, … et ainsi de suite. Remarque 1: (suite) Cette suite ne converge pas!

35 ACT2025 - Cours 10 Graphiquement nous obtenons Remarque 1: (suite)

36 ACT2025 - Cours 10 Nous allons maintenant illustrer la méthode de Newton- Raphson pour résoudre l’exemple 4 du cinquième cours, c’est-à-dire le premier exemple utilisé pour illustrer la méthode de bissection. Exemple 2 :

37 ACT2025 - Cours 10 Déterminons le taux d’intérêt d’un prêt dont le flux financier est représenté par le diagramme d’entrées et sorties suivant: Exemple 2 : (suite)

38 ACT2025 - Cours 10 L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 9 est 5000 (1 + i) 9 + 5000(1 + i) 7 | 4000 (1 + i) 5 + 4000(1 + i) 3 + 2000(1 + i) 2 + 3000 Exemple 2 : (suite)

39 ACT2025 - Cours 10 L’équation de valeur avec comme date de comparaison t = 9 est Donc nous cherchons à déterminer un zéro de la fonction 5000 (1 + i) 9 + 5000(1 + i) 7 | 4000 (1 + i) 5 + 4000(1 + i) 3 + 2000(1 + i) 2 + 3000 Exemple 2 : (suite)

40 ACT2025 - Cours 10 La règle récursive de la méthode de Newton-Raphson est Exemple 2 : (suite) Si comme point de départ pour la méthode, nous prenions x 0 = 6%, alors nous obtenons le tableau

41 ACT2025 - Cours 10 sxsxs 06% 15.232920189% 25.205343113% 35.205308625% 45.205308647% 55.205308669% 65.205308587% Exemple 2 : (suite)

42 ACT2025 - Cours 10 Considérons maintenant la question de déterminer le taux d’intérêt d’une transaction alors que nous connaissons la valeur actuelle d’une annuité simple constante de fin de période, le nombre de paiements et le montant des paiements de cette annuité.

43 ACT2025 - Cours 10 Nous voulons résoudre l’équation alors que nous connaissons L, R et n. Nous voulons déterminer i.

44 ACT2025 - Cours 10 Nous voulons résoudre l’équation alors que nous connaissons L, R et n. Nous voulons déterminer i. Ceci est équivalent à résoudre l’équation:

45 ACT2025 - Cours 10 Nous cherchons à déterminer un zéro de la fonction

46 ACT2025 - Cours 10 La règle récursive de la méthode de Newton-Raphson est alors

47 ACT2025 - Cours 10 Pour compléter la méthode de Newton-Raphson, il nous faut une valeur initiale i 0 près de la valeur recherchée i. Une bonne approximation est obtenue en considérant comme valeur initiale

48 ACT2025 - Cours 10 Dans un prêt de 225 000$, l’emprunteur s’engage à verser 7500$ à tous les trimestres pendant 10 ans. Déterminer le taux nominal d’intérêt i (4) de ce prêt. Exemple 3 :

49 ACT2025 - Cours 10 Dans un prêt de 225 000$, l’emprunteur s’engage à verser 7500$ à tous les trimestres pendant 10 ans. Déterminer le taux nominal d’intérêt i (4) de ce prêt. Exemple 3 : Nous avons ainsi que L = 225 000, R = 7500, n = 10 x 4 = 40 et notons par i, le taux d’intérêt par trimestre.

50 ACT2025 - Cours 10 La valeur initiale que nous pouvons utiliser pour la méthode de Newton-Raphson est alors Exemple 3 : (suite)

51 ACT2025 - Cours 10 La règle récursive pour la méthode de Newton-Raphson est alors Exemple 3 : (suite)

52 ACT2025 - Cours 10 En utilisant cette règle et cette valeur initiale, nous pouvons approximer le taux d’intérêt par trimestre et en multipliant par 4 ces taux obtenir une approximation du taux nominal recherché. Nous avons présenté ces valeurs dans le tableau suivant. Exemple 3 : (suite)

53 ACT2025 - Cours 10 s xsxs 4x s (Taux nominal) 01.6260163%6.5040652% 11.481978318%5.927913272% 21.484619406%5.9338477624% 31.484620352%5.93681408% 41.484620497%5.938481988% 51.484620377%5.938481508% 61.484620430%5.93848172% 71.484620287%5.938481148% Exemple 3 : (suite)

54 ACT2025 - Cours 10 Nous allons maintenant justifier notre choix de valeur initiale i 0. Nous allons ainsi faire deux hypothèses simplificatrices pour obtenir cette première approximation.

55 ACT2025 - Cours 10 Nous pouvons remplacer les n paiements de R dollars par un seul paiement de nR dollars. Idéalement pour obtenir une situation équivalente à celle des n paiements, nous ferions ce paiement à l’échéance moyenne. Faute de connaître le taux d’intérêt i, nous allons utiliser l’échéance moyenne approchée. Première hypothèse:

56 ACT2025 - Cours 10 Nous allons supposer que l’intérêt est simple plutôt que composé. Deuxième hypothèse:

57 ACT2025 - Cours 10 L’échéance moyenne approchée est car Justification heuristique de l’approximation:

58 ACT2025 - Cours 10 Nous pouvons considérer notre transaction comme une entrée au montant de L dollars au temps t = 0 et une sortie de nR dollars au temps t = (n + 1)/2. Justification: (suite)

59 ACT2025 - Cours 10 Nous notons par j: l’approximation lors que nous considérons le flux précédent et que nous supposons que l’intérêt est simple. Nous obtenons alors l’équation: Justification: (suite)

60 ACT2025 - Cours 10 Nous obtenons ainsi facilement que Ceci est notre choix de i 0. Justification: (suite)

61 ACT2025 - Cours 10 Il est aussi possible d’obtenir une justification plus mathématique, justification qui fait appel à la série binomiale. Celle-ci est présentée dans le recueil de notes de cours. Justification: (suite)


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