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1 Thierry Dias janvier 2005 La géométrie géo : la terre metrikos : mesure.

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2 1 Thierry Dias janvier 2005 La géométrie géo : la terre metrikos : mesure

3 2 Thierry Dias janvier 2005 Thalès Pythagore Platon Euclide Archimède XVIII siècle Si on représente par un segment de 20 cm la distance dans le temps entre Thalès et Archimède, quelle est, à la même échelle, la longueur du segment qui représente le temps écoulé entre Archimède et le XVIII° siècle ? 1 mètre... pendant lequel il ne s’est quasiment rien passé ! L’ère des principaux géomètres grecs

4 3 Thierry Dias janvier 2005 « Nous devons regarder comme suffisamment constatée l’impossibilité de déterminer, en les mesurant directement, la plupart des grandeurs que nous désirons connaître. C’est ce fait général qui nécessite la formation de la science mathématique… Car, renonçant, dans presque tous les cas, à la mesure immédiate des grandeurs, l’esprit humain a dû chercher à les déterminer indirectement, et c’est ainsi qu’il a été conduit à la création des mathématiques. » Auguste Comte, XIX siècle

5 4 Thierry Dias janvier 2005 Constats • La géométrie à l’école élémentaire • La géométrie au collège • Difficultés d’apprentissages plan Re-médiations et détours • situations de recherche (des énigmes à résoudre à plusieurs) • situations de communication (donner du sens aux propriétés et aux relations grâce au langage) • utilisation d’un logiciel de géométrie dynamique : de la perception à l'expérience.

6 5 Thierry Dias janvier 2005 Ma devise habituelle : Avant de faire faire des mathématiques, commençons par faire des mathématiques ! intermède

7 6 Thierry Dias janvier 2005 Le géoplan 3 x 3 Combien peut-on tracer (fabriquer) de triangles et de quadrilatères (non croisés) différents sur ce géoplan ? voici déjà deux triangles… comment trouver le maximum ? intermède Une petite situation de recherche en géométrie...

8 7 Thierry Dias janvier 2005 contenus des textes officiels L ’école élémentaire espacegéométrie repérage orientation relations et propriétés solides figures planes compétences et savoirs : pluri-disciplinaire compétences et savoirs : mathématiques

9 8 Thierry Dias janvier 2005 L'objectif principal est de permettre aux élèves de passer progressivement : d'une géométrie où les objets et leurs propriétés sont contrôlés par la perception à une géométrie où ils le sont par explicitation de propriétés et recours à des instruments. deux géométries : empirique et théorique L ’école élémentaire référence aux travaux de Salin et Berthelot

10 9 Thierry Dias janvier 2005 deux géométries : empirique et théorique de l'objet au concept L ’école élémentaire

11 10 Thierry Dias janvier 2005 Géométrie Empirique (pratique) Géométrie Théorique IntuitionSensible et perceptiveLiée aux figures Expérience Liée à l’espace mesurable Schéma de la réalité Déduction Proche du réel et liée à l’expérience par la vue Démonstration basée sur des axiomes L ’école élémentaire aider au passage d'une géométrie à l'autre : du type empirique au type théorique référence aux travaux de Houdement et Kuzniak

12 11 Thierry Dias janvier 2005 L ’école élémentaire liens entre intuition et expérience intuitionexpérience nourrit structure évidences informations référence aux travaux de Coppe

13 12 Thierry Dias janvier 2005 Comment résoudre ce paradoxe perceptif ?? L ’école élémentaire d'une géométrie à l'autre : du type empirique au type théorique

14 13 Thierry Dias janvier 2005 Les activités du domaine géométrique : ne visent pas des connaissances formelles (définitions), mais des connaissances fonctionnelles, utiles pour résoudre des problèmes dans l'espace ordinaire, dans celui de la feuille de papier ou sur l'écran d'ordinateur. retour aux textes officiels L ’école élémentaire

15 14 Thierry Dias janvier 2005 programmes : progression L ’école élémentaire de manière continue progressivement Les apprentissages se déroulent de manière continue de la petite section de maternelle jusqu’au CM2. Un vocabulaire précis doit être progressivement mis en place. Le principe est de partir du réel (et donc d’objets matériels) puis d’abstraire peu à peu. La primauté est donnée à la géométrie dans l’espace. Il n’y a pas de démonstration bien entendu, mais un début d’apprentissage du raisonnement, notamment dans les activités de reproduction de figures.

16 15 Thierry Dias janvier 2005 Structuration de l'ensemble des concepts : aspects notionnels  Objets :  point, droite, segment, angle, milieu  carré, rectangle, losange, parallélogramme, triangles, cercle  cube, tétraèdre, pavé, face, arête, sommet  Relations : alignement, égalité de longueurs, perpendicularité, parallélisme, symétrie axiale Vergnaud  Mesures : longueurs et aires : périmètre et aire du carré et du rectangle, longueur du cercle. L ’école élémentaire

17 16 Thierry Dias janvier 2005 quatre mots-clés (types de tâches) :  Reproduire : des figures, y compris la réalisation pratique de solides  Décrire : des figures, pour les identifier ou les représenter  Représenter : notamment des solides, avec les problèmes de faces visibles ou invisibles, les patrons  Construire : des figures, avec des matériaux et des outils multiples : règle, équerre, gabarit, calque, compas L ’école élémentaire

18 17 Thierry Dias janvier 2005 démarche •La résolution de problème, •Dans des situations finalisées : •Situations de référence complétées par des situations de réinvestissement. L ’école élémentaire

19 18 Thierry Dias janvier 2005 mise en oeuvre •un temps de présentation •un temps de recherche •un temps de confrontation •un temps de synthèse si nécessaire. •un temps de réinvestissement L ’école élémentaire

20 19 Thierry Dias janvier 2005 Quelques axes du programme en cycle 3… Géométrie dynamique  Géométrie expérimentale et place des logiciels de géométrie dynamique  Un logiciel de géométrie dynamique  peut permettre la constitution d’un milieu (au sens de Brousseau) « mathématisé » …  laissant la place à des actions correspondant à des concepts mathématiques  offrant des rétroactions fondées sur le modèle mathématique sous jacent au logiciel. L ’école élémentaire

21 20 Thierry Dias janvier 2005 Le collège Programmes En sixième : • Reproduction de figures simples • Mesures • Parallélépipède rectangle (représentation, patron, volume) • Symétrie axiale dans le plan (construction d ’images, conservation de propriétés, axes de symétrie d ’une figure) • Abscisse d ’un point sur une droite. Coordonnées (entiers relatifs) de points du plan. En cinquième : • Prismes droits, cylindres de révolution (représentation, patron) • Symétrie centrale dans le plan, parallélogramme, caractérisation angulaire du parallélisme • Triangle (somme des angles, inégalité triangulaire, construction de triangles, cercle circonscrit) • Aires du triangle, du parallélogramme, du disque • Repérage sur une droite graduée et dans le plan muni d’un repère orthogonal

22 21 Thierry Dias janvier 2005 Le collège Programmes En quatrième : • Pyramide et cône de révolution • Translation (à partir du parallélogramme) • Triangle (droite des milieux et théorème de Thalès dans le triangle, droites remarquables) • Triangle rectangle et cercle (Pythagore et sa réciproque, tangente à un cercle, cosinus d’un angle aigu) En troisième : • Sphère, sections planes d ’une sphère, d ’un cube. Sections d ’un cône et d ’une pyramide (par des plans parallèles à la base) • Relations trigonométriques dans le triangle rectangle (sinus, cosinus, tangente) • Théorème de Thalès et sa réciproque • Vecteurs (écriture, égalité, somme à partir du parallélogramme). Lien avec la translation. Coordonnées d ’un vecteur. Distance de deux points exprimée à partir des coordonnées. Composée de deux symétries centrales. • Rotations, polygones réguliers (triangle, carré, hexagone). Angle inscrit et angle au centre.

23 22 Thierry Dias janvier 2005 de l’école au collège : une transition difficile ? Deux modes de construction des connaissances qui peuvent s’opposer : Où se trouvent les principales difficultés des élèves Un mode de type théorique s’appuyant sur la déduction et qui trouve son aboutissement dans la démonstration  géométrie platonicienne 1. Un mode de type empirique basé sur l’intuition et l’expérimentation  géométrie science expérimentale

24 23 Thierry Dias janvier 2005 Dans le mode de type empirique, l’expérience est constitutive d’une géométrie « naturelle »  l’objet sensible (matériel) et l’objet mathématique sont confondus  l’expérience en tant qu’action sur les objets peut constituer un mode de preuve ultime Dans le mode de type théorique, les axiomes et les définitions idéalisent l’espace réel  on parle de figure et de raisonnement  l’expérimentation n’est pas admise comme preuve, c’est le raisonnement hypothético-déductif qui prend sa place Où se trouvent les principales difficultés des élèves... De l’école au collège : une transition difficile ?

25 24 Thierry Dias janvier 2005 Dans le mode de type empirique Dans le mode de type théorique Ceci est un carré… et un carré n’est pas un rectangle ! Les propriétés de cette figure (4 angles droits, 4 côtés isométriques) définissent un carré… et un carré est aussi un rectangle !! Où se trouvent les principales difficultés des élèves... De l’école au collège : une transition difficile ?

26 25 Thierry Dias janvier 2005 Dans le mode de type empirique Dans le mode de type théorique Où se trouvent les principales difficultés des élèves... De l’école au collège : une transition difficile ? Les problèmes spatiaux relèvent d’une solution validée empiriquement. Les problèmes de géométrie relèvent d’une solution prouvée mathématiquement.

27 26 Thierry Dias janvier 2005 Où se trouvent les principales difficultés des élèves... De l’école au collège : une transition difficile ? Pour aider les élèves à franchir cette difficulté, il faut aménager des situations dans lesquelles on permet aux élèves de faire progressivement la différence entre : réalité spatiale et modèle géométrique

28 27 Thierry Dias janvier 2005 Où se trouvent les principales difficultés des élèves... De l’école au collège : une transition difficile ? En instaurant une transition entre ces deux modes de construction des connaissances : l’utilisation des instruments. monde réel - outils perceptifs : la vue, le toucher espace géométrique - outil de validation : la théorie espace spatio-géométrique - outils d ’aide à la perception : les instruments

29 28 Thierry Dias janvier 2005 Quels outils de contrôle... …pour un contrôle perceptif instrumenté Il s'exerce sur des propriétés spatiales et/ou spatio-géométriques. Il utilise comme instruments certes encore la vue mais aussi d'autres instruments qui peuvent être : - calque, gabarit, papier quadrillé, règle graduée - ou règle, équerre, compas - ou commandes d'un logiciel de géométrie dynamique Il a pour finalité la production d'un dessin possédant certaines propriétés." Où se trouvent les principales difficultés des élèves...

30 29 Thierry Dias janvier 2005 Pour quoi enseigner la géométrie :  1. Apprendre aux élèves à penser géométriquement  2. Apprendre aux élèves à voir dans l ’espace  3. Apprendre aux élèves à raisonner Comment enseigner la géométrie :  1. Mettre en œuvre des situations de recherche et de communication  2. Faire une place aux nouvelles technologies  3. Lier la géométrie aux autres disciplines donc...

31 30 Thierry Dias janvier 2005 Pour quoi enseigner la géométrie 1. Apprendre aux élèves à penser géométriquement :  varier les registres de représentation  développer la construction d’images mentales  mettre en évidence des liens entre la géométrie et la numération

32 31 Thierry Dias janvier 2005 Pourquoi enseigner la géométrie Apprendre aux élèves à penser géométriquement Identités remarquables… et remarquées !! Jean Jacques ROUSSEAU (1785), Les confessions

33 32 Thierry Dias janvier 2005 (a + b) (a + b) = (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Pourquoi enseigner la géométrie Apprendre aux élèves à penser géométriquement Identités remarquables… et remarquées !! Une autre, une autre !!!

34 33 Thierry Dias janvier 2005 (a + b) (a - b) = a 2 - b 2 Pourquoi enseigner la géométrie Apprendre aux élèves à penser géométriquement Identités remarquables… et remarquées !! Une petite dernière pour la route...

35 34 Thierry Dias janvier 2005 Si un triangle est rectangle, alors le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit. Pourquoi enseigner la géométrie Apprendre aux élèves à penser géométriquement Animation Pythagore Cabri

36 35 Thierry Dias janvier 2005 Comment enseigner la géométrie 1. Mettre en œuvre des situations de recherche :  pour faire vivre de vraies situations de construction de « nouveaux savoirs »  pour traiter du passage de la problématique pratique à celle de modélisation  pour faire plaisir à Vygotski et mettre en œuvre (enfin) la notion de constructivisme social 

37 36 Thierry Dias janvier 2005 Comment enseigner la géométrie Mettre en œuvre des situations de recherche

38 37 Thierry Dias janvier 2005 Comment enseigner la géométrie Mettre en œuvre des situations de recherche Les solutions de la croix Grecque...

39 38 Thierry Dias janvier 2005 A la recherche des carrés de Mac Mahon Combien peut-on trouver de façons de colorier complètement ce carré avec 3 couleurs différentes ? Attention, les carrés ne doivent pas être superposables. Comment enseigner la géométrie Mettre en œuvre des situations de recherche

40 39 Thierry Dias janvier 2005 Comment enseigner la géométrie Mettre en œuvre des situations de communication  Donner du sens à la notion de programme de construction  Analyser, reproduire et décrire une figure à vos crayons !!

41 40 Thierry Dias janvier 2005 Solutions des belles constructions à réaliser… à faire réaliser Comment enseigner la géométrie Mettre en œuvre des situations de communication ABC DEF G H JKLM

42 41 Thierry Dias janvier 2005 Comment enseigner la géométrie Faire une place aux nouvelles technologies Le logiciel Cabri-géomètre Cabri II

43 42 Thierry Dias janvier 2005 Comment enseigner la géométrie Faire une place aux nouvelles technologies Pourquoi l’environnement Cabri-géomètre ?  Permet la modélisation d’une situation problème  Met en œuvre la médiation du théorique : «caractère » plus théorique des outils via la médiation du logiciel (et notamment langagière).  Caractère dynamique de la géométrie (apparition des invariants et validation par le milieu a-didactique).

44 43 Thierry Dias janvier 2005 Un premier axe de recherche…  Limiter le nombre de relations pour faire émerger le concept visé  Faire apparaître les relations et les objets comme invariants dans des configurations spatiales Comment enseigner la géométrie Faire une place aux nouvelles technologies

45 44 Thierry Dias janvier 2005 Exemple de scénario 1 Travailler le changement d’environnement L’élève passe du :  papier-crayon : un seul dessin fixe; validation spatiale avec instruments  au logiciel : ensemble de dessins, le déplacement faisant « apparaître » les propriétés Comment enseigner la géométrie Faire une place aux nouvelles technologies

46 45 Thierry Dias janvier Les élèves disposent de trois figures ressemblant à des carrés, d’abord sous forme papier, puis sous forme de fichier Cabri. Il s’agit pour l’élève de décider si ce sont des carrés et de justifier ses réponses. - Avec le document papier montrant un état de chacune des figures, l’élève va être amené à Avec le fichier Cabri, le déplacement va montrer que... - Une mise en commun vise à faire émerger... Exemple de scénario 1 : à propos des propriétés de la figure Comment enseigner la géométrie Faire une place aux nouvelles technologies

47 46 Thierry Dias janvier 2005 Exemple de scénario 1 : à propos des propriétés de la figure Dans l’environnement papier- crayon, est-ce un carré ? Dans l’environnement Cabri 2, est-ce un carré ? Comment enseigner la géométrie Faire une place aux nouvelles technologies situation 1

48 47 Thierry Dias janvier 2005 Comment enseigner la géométrie Faire une place aux nouvelles technologies Exemple de scénario 2 : situation de communication sur droites et points Objectifs Mathématiques Ancrer les notions de droite et de segment. Les envisager comme supports de trajectoire de points. Utiliser le vocabulaire géométrique correspondant : “ la droite passe par … et … ”; “ le segment a pour extrémités … et … ” Géométrie dynamique Explorer les trajectoires de points et reconnaître leur forme. Déterminer ces objets-trajectoires en déterminant des liens de dépendance entre objets. Construire ces objets et invalider des constructions perceptives : droite ne passant pas explicitement par deux points donnés ; segment dont les extrémités ne sont pas explicitées.

49 48 Thierry Dias janvier 2005 Comment enseigner la géométrie Faire une place aux nouvelles technologies Exemple de scénario 2 : situation de communication sur droites et points On propose à deux élèves A et B de travailler directement sur Cabri, mais sur deux fichiers voisins. Celui pour B montre uniquement des points de référence alors que celui pour A montre, en plus des mêmes points, deux autres qui se déplacent sur une droite ou un segment définis à l’aide des points de référence. La tâche pour l’élève A est de déterminer les objets (il s’agit ici de droite ou de segment) sur lesquels se déplacent les points, de construire ces objets, de rédiger un message qui permettra à l’élève B de construire les mêmes objets. La validation se réalise par comparaison entre les constructions sur les fichiers de A et B. Les rôles de A et B sont ensuite échangés. Une institutionnalisation peut clore cette activité. élève A élève B

50 49 Thierry Dias janvier 2005 Comment enseigner la géométrie Faire une place aux nouvelles technologies Exemple de scénario 3 : situation de communication sur droites parallèles et droites perpendiculaires Objectifs Mathématiques Ancrer les notions de droites parallèles ou perpendiculaires. Les envisager comme supports de trajectoire de points. Utiliser le vocabulaire géométrique correspondant : “ la droite parallèle à la droite … passant par le point … ”; “ la droite perpendiculaire à la droite … passant par le point … ” Géométrie dynamique Explorer les trajectoires de points et reconnaître leur forme. Déterminer ces objets-trajectoires en déterminant des liens de dépendance entre objets. Construire ces objets et invalider des constructions perceptives : droite ne passant pas explicitement par un point donné ; direction parallèle ou perpendiculaire fixée perceptivement.

51 50 Thierry Dias janvier 2005 Comment enseigner la géométrie Faire une place aux nouvelles technologies Exemple de scénario 3 : situation de communication sur droites parallèles et droites perpendiculaires La tâche pour l’élève A est de déterminer les objets (il s’agit ici de droites parallèles ou perpendiculaires à une droite donnée, passant par des des points donnés) sur lesquels se déplacent les points, de construire ces objets, de rédiger un message qui permettra à l’élève B de construire les mêmes objets. La validation se réalise par comparaison entre les constructions sur les fichiers de A et B. Les rôles de A et B sont ensuite échangés. Une institutionnalisation peut clore cette activité. élève A élève B

52 51 Thierry Dias janvier 2005 Comment enseigner la géométrie Faire une place aux nouvelles technologies Situation 2 Exemple de scénario 4

53 52 Thierry Dias janvier 2005 Concepts VERGNAUD G. (1990) La théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactique des Mathématiques vol 10 2/3 pp "Un concept est un triplet de trois ensembles C= (S, I, S) S : ensemble des situations qui donnent sens au concept (la référence) I : ensemble des invariants sur lesquels repose l’opérationalité des schèmes (le signifié) S : ensemble des formes langagières et non langagières qui permettent de représenter symboliquement le concept, ses propriétés, les situations et les procédures de traitement (le signifiant)"

54 53 Thierry Dias janvier 2005 BERTHELOT R. & SALIN M.H.,L’enseignement de la géométrie à l’Ecole primaire, Grand N n°53 (p ), IREM de Grenoble, 1994 BERTHELOT R. & SALIN M.H.,Un enseignement des angles au cycle 3, Grand N n°56 (p ), IREM de Grenoble, 1995 BERTHELOT R. & SALIN M.H., L’enseignement de la géométrie au début du collège. Comment concevoir le passage de la géométrie du constat à la géométrie déductive ?, Petit x n° 56, IREM de Grenoble, 2001 IREM DE LILLE, Travaux géométriques : Apprendre à résoudre des problèmes, cycle 3, IREM de Lille, CDDP Nord - Pas de Calais, 2000 HOUDEMENT C., KUZNIAK A., Géométrie et paradigmes géométriques, Petit x n° 51, p. 5 à 21, IREM DE Grenoble, 1999


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