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Chapitre 5 Distributions de probabilité discrètes MQT-21919: Probabilités et statistique.

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1 Chapitre 5 Distributions de probabilité discrètes MQT-21919: Probabilités et statistique

2 Exemple 1: On choisit au hasard deux chiffres différents et on considère la variable aléatoire X correspondant au plus petit des deux chiffres. a)Trouver la fonction de probabilité de X b)Trouver fonction de répartition de X c)Trouver P(3  X  6)

3 Réponse b) On suppose que l’ordre n’est pas important donc le nombre de cas possibles est. Sous la même hypothèse, non ordonnés, nous déterminons le nombre de cas favorables. Par exemple pour xi=0, les cas favorables sont (01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09). Donc: a) X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

4 Réponse Déterminons P(3  X  6) ? Propriété 5: P(3  X  6) = P(2 < X  6) = F(6) – F(2) = 18/45 Directement: P(3  X  6) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6) = (6/45) + (5/45) + (4/45) + (3/45) = 18/45

5 Exemple 2 Un cavalier d é sire analyser ses chances de succ è s lors d'un prochain concours hippique sur un terrain qui lui est nouveau. Il d é cide de recueillir des renseignements aupr è s des 20 cavaliers qui connaissent bien le terrain en question. Le gagnant du concours est le cavalier qui accumule le moins de points de p é nalit é. Le nombre de points de p é nalit é se r é partit comme suit : n points pour le n-i è me obstacle qui tombe (1 pour le 1er obstacle, 2 pour le 2i è me obstacle, etc.). Ainsi, pour un cavalier qui fait tomber 3 obstacles, il accumule 6 points de p é nalit é. Il demande donc à chacun des 20 cavaliers son estimation de la difficult é du parcours en terme du nombre de points de p é nalit é. Il obtient le r é sultat suivant : Nb de pts acc Nb de cavalier ayant attribu é un nb de pts de p é n

6 Exemple (suite) Notre cavalier estime que l'ensemble de ces renseignements est repr é sentatif de sa performance lors du prochain concours hippique. On d é finit la variable al é atoire X comme é tant le nombre de points accumul é s. •a) D é terminer la masse de probabilit é de X, sa fonction de r é partition. •b) Quelle est la probabilit é que notre cavalier se qualifie, c'est- à -dire qu'il accumule 18 points de p é nalit é ou moins ? •c)Calculer la valeur esp é r é e du nombre de points de p é nalit é pour notre cavalier. •d)Calculer la d é viation moyenne ( é cart type) du nombre de points accumul é s autour de la valeur esp é r é e. •e)Quelle est la valeur modale du nombre de points accumul é s ?

7 Solution exemple 2 a) D é terminer la masse de probabilit é de X, sa fonction de r é partition. X P(X=x)0,1 0,30,2 0,050,15 0,1 P(X  x)0,10,20,50,7 0,75 0,91 b) Quelle est la probabilité que notre cavalier se qualifie, c'est-à-dire qu'il accumule 18 points de pénalité ou moins ? Réponse = 0,90 c) Calculer la valeur espérée du nombre de points de pénalité pour notre cavalier. Réponse = E(X) = 7,05 d) Calculer la déviation moyenne (écart type) du nombre de points accumulés autour de la valeur espérée. Réponse = Écart type = 6,57 e) Quelle est la valeur modale du nombre de points accumulés ? Réponse = 3


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