La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Régression.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Régression."— Transcription de la présentation:

1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Régression logarithmique

2 Introduction Nous allons maintenant établir une démarche rigoureuse permettant de définir une relation entre deux variables à partir d’une liste de données et, pour ce faire, nous présenterons les échelles logarithmiques. Ces échelles ont une particularité intéressante qui est mise à profit dans les papiers graphiques appelés semi-log et log-log. La représentation graphique d’une fonction exponentielle sur papier semi-log donne une droite et la représentation graphique d’une fonction puissance sur papier log-log donne une droite. Les représentations graphiques constituent un outil important de détection du lien entre deux variables puisque la forme graphique la plus facile à reconnaître est la droite. La régression logarithmique nous permettra de déterminer les paramètres du modèle mathématique pour un lien exponentiel, un lien logarithmique ou un lien de puissance.

3 S Échelle linéaire On dit qu’une échelle est linéaire lorsque son pas est constant. Cela signifie que chaque nombre est situé à une distance de l’origine proportionnelle à sa valeur. Illustrons ce propos à l’aide d’une droite comportant un point d’origine O et un point A qui détermine la valeur unitaire ou longueur du pas de l’échelle. A S Sur une droite graduée avec une échelle linéaire, deux nombres positifs M et N sont représentés à des distances d 1 et d 2 de l’origine, en respectant la proportionnalité. Leur somme est un nombre V = M + N représenté par un point à une distance d 1 + d 2 de l’origine. De plus, si on considère un nombre N > 0 représenté à une distance d de l’origine et un nombre k > 0, alors le nombre kN sera représenté à une distance kd de l’origine. S

4 Échelle logarithmique Sur une échelle logarithmique, la position d’un nombre est déterminée de telle sorte que sa distance à l’origine est proportionnelle au logarithme du nombre. L’origine est indiquée par le nombre 1, car (0; 0) = (0; log 1). S La disposition relative des nombres se conforme alors aux propriétés des logarithmes. 1. log b MN = log b M + log b N 3. log b N p = p log b N 2. log b MNMN = log b M – log b N S S

5 Échelle logarithmique De plus, puisque le logarithme de 100 est 2, la distance de 1 à 100 est égale à deux fois la distance de 1 à 10. De la même façon, la distance entre 0,1 et 1 est égale à la distance entre 1 et 10 puisque le logarithme de 0,1 est égal à –1. Chacun des intervalles représentant une unité logarithmique est appelé un cycle. Ainsi, l’intervalle de 0,1 à 1 est un cycle, tout comme l’intervalle de 1 à 10 et l’intervalle de 10 à 100. S

6 La représentation graphique d’une fonction exponentielle sur un papier dont l’échelle verticale est logarithmique donne une droite. Échelle logarithmique et modélisation Un papier quadrillé comportant une échelle linéaire et une échelle logarithmique est appelé papier semi-log et un papier quadrillé dont les deux échelles sont logarithmiques est appelé papier log-log. Sur ces papiers quadrillés, il n’y a pas de nombres indiquant les graduations; l’échelle peut commencer à n’importe quel nombre suivant les besoins du problème. Pour illustrer ce propos, représentons la fonction f(x) = 2 x sur un papier semi-log à deux cycles.

7 Papier semi-log Un papier quadrillé comportant une échelle linéaire et une échelle logarithmique est appelé papier semi-log et un papier quadrillé dont les deux échelles sont logarithmiques est appelé papier log-log. Sur ces papiers quadrillés, il n’y a pas de nombres indiquant les graduations; l’échelle peut commencer à n’importe quel nombre suivant les besoins du problème. S (–3; 0,125) (–2; 0,25) (–1; 0,5) (0; 1) (1; 2) (2; 4) (3; 8) x f(x)f(x) –3 –2 – ,125 0,25 0, Le point désigné par (2; 4) correspond en réalité au point (2;log 4).

8 Échelle logarithmique et modélisation La base de la fonction exponentielle peut être différente de 10. La représentation graphique donnera quand même une droite. La raison en est fort simple. Considérons une fonction exponentielle de la forme : S y = ab x log y = log(ab x ), en prenant le logarithme des deux membres; log y = log a + log b x,logarithme d’un produit; log y = log a + x log b, logarithme d’une puissance; log y = x log b + log a, commutativité de l’addition; Y= Ax + B, en posant log y = Y, log b = A et log a = B. Puisque log b et log a sont des constantes, on a donc une relation affine entre x et log y et c’est pourquoi la représentation graphique sur papier semi-log donne une droite. En prenant plutôt le logarithme naturel, on obtient la relation : ln y = x ln b + ln a On peut effectuer les calculs dans l’une ou l’autre des bases, on obtient le même modèle. Les caractéristiques des échelles logarithmiques nous indiquent comment utiliser le papier semi-log pour déceler un lien exponentiel entre des variables et comment trouver la règle de correspondance décrivant ce lien. L’exemple suivant illustre cette procédure. On représente graphiquement les données et si le nuage de points forme une droite, le modèle exponentiel est pertinent. L’exemple suivant illustre cette procédure.

9 S SSS Exemple Au cours d’une expérience de laboratoire, on a obtenu les grandeurs physiques ci-contre. Vérifier graphiquement l’hypothèse d’un lien exponentiel entre ces variables. La représentation graphique sur papier semi-log donne un nuage de points qui semblent alignés. L’hypothèse d’un lien exponentiel est donc plausible. x Pour vérifier l’hypothèse, représen- tons graphiquement les données sur papier semi-log. Déterminer la règle de correspon- dance décrivant le lien entre les variables. On doit d’abord établir la relation affine entre les couples (x; log y) ou entre les couples (x; ln y), selon la base de calcul utilisée. A =A = n  x i ln y i – (  x i )(  ln y i ) n  x i 2 – (  x i ) 2 B =B =  lny i – A  x i n A =A = 6  (30,6149) – 21  7,  91 – 21 2 B =B = 7,0644 – 0,3365  21 6 = 0,3365 = –0,00048 Puisque la valeur de B est négligeable, le lien affine est alors : ln y = 0,3365x y ,40 1,96 2,74 3,84 5,38 7,53 0,3365 0,6729 1,0080 1,3455 1,6827 2,0189 0,3365 1,3459 3,023 5,3819 8, , x y ln yx ln yx2x2 2122,857,064430, En exprimant le modèle sous forme exponentielle, on obtient : y = e 0,03365x = 1,4 x REMARQUE En représentant graphiquement les couples (x; ln x) ou les couples (x; log y) dans un système d’axes bilinéaire, le nuage de points aurait également donné une droite.

10 S S Exemple On désire analyser les capacités d’absorption des rayons X d’un matériau. Pour ce faire, on bombarde des plaques de différentes épaisseurs de ce matériau et on mesure l’intensité I(x) des radiations de l’autre côté de la plaque. La représentation graphique étant une courbe, on peut conclure qu’il ne s’agit pas d’une correspondance affine Trouver le type de correspondance entre les variables. 0,00 2,00 5,00 6,50 9,00 12,00 16,00 22,00 1,00 0,84 0,65 0,57 0,46 0,35 0,25 0,15 x I x Utilisons un quadrillage semi-log. La représentation graphique sur papier semi-log donne un nuage de points qui semblent alignés. On peut donc faire l’hypothèse d’un lien exponentiel. I

11 S S Exemple Déterminer la règle de correspon- dance. Établissons la relation affine entre les couples (x; ln I). A =A = n  x i ln I i – (  x i )(  ln I i ) n  x i 2 – (  x i ) 2 B =B =  ln I i – A  x i n A =A = 8  (–89,6604) – 72,50  –6,  1036,50 – 72,50 2 B =B = –6,2770 – (–0,  72,50) 8 = –0, = –0, ,00 2,00 5,00 6,50 9,00 12,00 16,00 22,00 1,00 0,84 0,65 0,57 0,46 0,35 0,25 0,15 0,0000 –0,1744 –0,4308 –0,5621 –0,7765 –1,0498 –1,3863 –1,8971 0,0000 –0,3487 –2,1539 –3,6538 –6,9888 –12,5979 – –41,7366 0,00 4,00 25,00 42,25 81,00 144,00 256, x I ln Ix ln Ix2x2 72,504,27–6,2770–89, ,25 En exprimant le modèle sous forme exponentielle, on obtient : I = e –0,086428x = 0,917 x I x B est négligeable, le lien affine est alors : ln I = –0,086428x

12 Fonction puissance Détection du lien entre variables Une fonction puissance est de la forme y = ax b. En prenant le logarithme des deux membres de l’équation, on a : S log y = log(ax b ) log y = log a + log x b, logarithme d’un produit; log y = log a + b log x, logarithme d’une puissance; log y = b log x + log a, par commutativité de l’addition Y = AX + B, en posant Y = log y, b = A, X = log x et B = log a. Il y a donc correspondance affine entre log x et log y, correspondance que l’on peut détecter visuellement en représentant les données sur un papier log-log. Une fonction logarithmique est de la forme : Fonction logarithmique y = a log x + b (ou y = a ln x + b) On voit directement qu’il doit y avoir une relation affine entre y et log x que l’on peut écrire symboliquement : y = AX + B, où A = a, X = log x et B = b. On détecte une telle relation sur un papier semi-log en représentant la variable indépendante sur l’échelle logarithmique. Si le nuage forme une droite, le modèle est logarithmique.

13 SSS Exemple On a obtenu les données ci- contre en laboratoire. Établir le type de lien entre les variables. Représentons graphiquement les données. Sur papier bilinéaire, le nuage forme une courbe. Le lien n’est pas affine. 3,00 4,00 5,00 6,50 7,00 8,00 9,00 0,94 0,53 0,34 0,24 0,17 0,13 0,10 x I Utilisons maintenant un papier semi-log vertical. Sur papier semi-log vertical, le nuage forme une courbe. Le lien n’est pas exponentiel. Utilisons maintenant un papier log-log. Sur papier log-log, le nuage forme une droite. On détecte donc une relation de puissance.

14 Décrire algébriquement cette relation. Établissons la relation affine entre les couples (ln x; ln I). SSS Exemple ,00 4,00 5,00 6,50 7,00 8,00 9,00 0,94 0,53 0,34 0,24 0,17 0,13 0,10 42,00 I A =A = n  ln x i ln I i – (  ln x i )(  ln I i ) n  (ln x i ) 2 – (  ln x i ) 2 B =B =  ln I i – A  ln x i n = –9,3174 – ( –2,0322  12,1087) 7 = 2, = –2, Le lien affine est alors : ln I = –2,0322 ln x + 2,1843 2,45 xln xln I ln x ln I (ln x) 2 1,0986 1,3863 1,6094 1,7918 1,9459 2,0794 2,1972 –0,0619 –0,6349 –1,0788 –1,4271 –1,7720 – – –0,0680 –0,8801 –1,7363 –2,5570 –3,4481 –4,2425 –5,0593 1,2069 1,9218 2,5903 3,2104 3,7866 4,3241 4, ,10187–9,3174–17,991321,  –17,9913 – 12,1087  –9,  21,8679 – (12,1087) 2 = Cela donne : ln I = x –2, ,1843I = x –2,0322 e 2,1843 I = 8,8844x –2,0322, d’où : et : En tenant compte de la précision des données, le lien de puissance est alors : I =I = 8,88 x 2,0322

15 SSS Exemple On a obtenu les données ci- contre en laboratoire. Établir le type de lien entre les variables. Représentons graphiquement les données. Sur papier bilinéaire, le nuage forme une courbe. Le lien n’est pas affine ,00 1,70 2,59 3,41 4,38 x y Utilisons maintenant un papier semi-log vertical. Sur papier semi-log vertical, le nuage forme une courbe. Le lien n’est pas exponentiel. Utilisons maintenant un papier log-log. Sur papier log-log, le nuage forme une courbe. Ce n’est pas un lien de puissance. S Utilisons maintenant un papier semi-log horizontal. Sur papier semi-log horizontal, le nuage forme une droite. Le lien est logarithmique.

16 Décrire algébriquement cette relation. Établissons la relation affine entre les couples (log x; y). SS Exemple A =A = n  log x i y i – (  log x i )(  y i ) n  (log x i ) 2 – (  log x i ) 2 B =B =  y i – A  log x i n = 13,08 – ( 4,00359…  7,021) 5 = –3, = 4, Le modèle est alors : y = 4,004 log x – 3, ,08 log xy log x (log x) 2 1,000 1,176 1,398 1,602 1,845 1,000 1,999 3,621 5,463 8,081 1,000 1,383 1,954 2,567 3,404 7,021 20,165 10,308 5  20,165 – 7,021  13,08 5  10,308– (7,021) 2 = ,00 1,70 2,59 3,41 4,38 x y

17 Conclusion La droite est la forme graphique la plus facile à reconnaître. Pour déceler un lien non affine entre deux variables, on peut utiliser un papier graphique dont l’une des échelles ou les deux sont graduées à l’aide du logarithme en base 10. Par la régression logarithmique, on peut alors déterminer les paramètres de ces liens. La régression logarithmique est un outil très puissant pour la modélisation de données expérimentales. De cette façon, on peut détecter des liens exponentiels, des liens de puissance et des liens logarithmiques entre deux variables.

18 Exercices Calcul différentiel, applications en sciences de la nature, section 2.4, p. 68 à 70. Lecture Calcul différentiel, applications en sciences de la nature, section 2.3, p. 61 à 66.


Télécharger ppt "Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Régression."

Présentations similaires


Annonces Google