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C.-H. Lamarque, O. Gendelman (Technion), A.Ture Savadkoohi, E. Etcheverria Université de Lyon ENTPE/CNRS DGCB FRE 3237 Rue Maurice Audin 69 518 Vaulx-en-Velin.

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1 C.-H. Lamarque, O. Gendelman (Technion), A.Ture Savadkoohi, E. Etcheverria Université de Lyon ENTPE/CNRS DGCB FRE 3237 Rue Maurice Audin Vaulx-en-Velin Cedex, France TRANSFERT, LOCALISATION ENERGETIQUE ET NON REGULARITE (avec le support de l’ANR ADYNO)

2  Absorber l’énergie de vibration d’une structure grâce à une structure auxiliaire et un couplage non linéaire, embarqué ou non  Application en Génie Civil, en acoustique, en automobile…  Phénoménologie et principe de conception à partir de l’étude de systèmes à petit nombre de ddl: par exemple 2 (1 ddl à contrôler par 1 ddl auxiliaire)  En général, étude de systèmes initiaux linéaires ou à non linéarité régulière  Extension: › ou bien le système initial est non linéaire non régulier (cas 1) › ou bien le couplage du système auxiliaire est non linéaire non régulier (cas 2) 2/45

3 Cas 1: système initial avec non linéarité non régulière  Par exemple, des éléments de Saint-Venant (« frottement ») 3/45

4 4/45

5  Résumé:  Design du NES en linéarisant le système initialement non linéaire autour de l’origine, par une méthode analytique :  Efficacité sous impulsion  Efficacité sous sollicitation transitoire brève  Cas forcé: le même design pas toujours efficace  F. Schmidt, C.-H. Lamarque, Energy pumping for mechanical systems involving non-smooth Saint-venant terms, International Journal of Non-Linear Mechanics, Volume 45, Issue 9, November 2010,

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8  ε <<1  F(z) raideur de couplage linéaire par morceaux. 8/45

9  2 masses en résonance 1 :1, oscillations rapides modulées par une enveloppe lente 9/45 v=y 1 +εy 2 w= y 1 -y 2

10  Moyenne en temps rapide  φ 1 et φ 2 ainsi que leurs dérivées ont des variations lentes sur cette échelle de temps. 10/4 5

11  f 1, premier terme de la décomposition en série de Fourier de F(w) 11/4 5

12  On cherche les solutions bornées τ0→∞τ0→∞ 12/4 5

13  φ 1 =N 1 e i δ 1 et Φ =N 2 e i δ 2 13/4 5  Etude des extremums locaux  Etude de la stabilité

14 14/45  1er cas : c≤1 Pas d’extremum. Tous les points fixes sont stables.  2 ème cas : c>1 Amortissement critique à partir duquel il n’existe pas d’extremum et tous les points fixes sont stables. Pour λ < λ c, il ya deux extremums et certains points fixes sont instables

15 15/45  c>1et λ < λ c Détermination des zones de stabilité et d'instabilité des points fixes

16  Equations singulières aux points extrémaux de la relation N 1 ↔ N 2 16/45

17  c≤1 ou λ ≥ λ c : pas de pompage possible 17/45 Représentations graphiques des points fixes dans le cas où il n’y a pas de pompage possible

18  c>1 et λ < λ c : pompage possible 18/45 Différents scénarios selon l’énergie initiale

19  Energie supérieure à l’énergie d’activation et λ < λ c 19/45 Simulation numérique de la relation N1 ⇔ N 2 comparée à la prédiction analytique

20 Déplacements de la masse principale et de la masse auxiliaire  Energie supérieure à l’énergie d’activation et λ < λ c 20/45

21  Energie supérieure à l’énergie d’activation et λ > λ c 21/45 Déplacement de la masse principale pour différents amortissements

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23  Ordre ε ° : Mêmes équations qu’en régime libre 23/45  Ordre ε 1 : Même dénominateur qu’en régime libre

24  Equation à l’ordre ε 1 en régime permanent 24/45  Etude des extremums locaux  Etude de la stabilité des points fixes

25  2 ème cas : Il y a deux extremums et certains points fixes sont instables jusqu’à une certaine valeur de l’amortissement. Au-delà de cette valeur il n’existe pas d’extremums et tous les points fixes sont stables. 25/45  1er cas : Pas d’extremum. Tous les points fixes sont stables.

26 26/45  Pour un amortissement pas trop grand

27 27/45  Près de la pulsation propre Battements des oscillations de la masse principale en régime permanent

28 28/45  Près de la pulsation propre Courbe N 1 ⇔ N 2 entre t= et t=95 000

29 29/45  Près de la pulsation propre Sections de Poincaré de la masse principale et de la masse auxiliaire

30 30/45  Avant stabilisation sur le point fixe Cycle d’oscillations de relaxations avant stabilisation

31 31/45

32 32/45  Régime libre Portrait de phase pour le régime libre

33 33/45  Régime libre Diagramme N 1 ⇔ N 2 correspondant

34 34/45  Régime forcé :  Apparition de bifurcations de type nœud-selle sur les lignes de singularité : › certaines trajectoires de phase sont tangentes à l’une des lignes de singularité › apparition de points d’équilibres de type « singularité pli »

35 35/45  fo

36 36/45  fo>fo 1crit : bifurcation de type nœud-selle sur la ligne de singularité inférieure

37 37/45  fo>fo 2crit : bifurcation de type nœud-selle sur la ligne de singularité supérieure

38 38/45  fo>fo 1crit : condition nécessaire mais non suffisante à l’apparition du régime quasi-périodique  Influence de la pulsation et des conditions initiales

39 39/45  Régime permanent quasi-périodique

40 40/45  Régime permanent périodique après un régime transitoire d’oscillations de relaxation

41 41/45  Régime permanent périodique

42  Pompage énergétique possible avec un couplage par raideur linéaire par morceaux  (y compris en présence de « jeu »: pas montré ici)  Résultats analytiques corroborés par des résultats numériques  Mais : - Il faut ajuster le design à la plage d’énergie à atténuer - Le comportement d’oscillations de relaxation doit être é tudi é  Perspectives : - L’étude d’un système initial avec jeu à approfondir - Coupler le design on régulier à un modèle « réaliste » de structure 42/45

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47 Courbe analytique N 1 ⇔ N 2 (en bleu) pour ω=1 et courbes numériques (a=1, c=1.5,e=1, f=2,λ=0.2) en noir pour ε=0.01 et en rouge pour ε= /45

48 Cas n°1Cas n°2Cas n°3Cas n°4Cas n°5 e=1e=0.1e=10e=1 g=2 g=0.2g=20 48/45

49 Cas n°1Cas n°2Cas n°3Cas n°4Cas n°5 e=1e=0.1e=10e=1 g=2 g=0.2g=20 49/45  Cas n°1 : Pompage énergétique moins efficace que lorsqu’il n’y a pas de jeu.  Cas n°3 et cas n°4 triviaux  Amortissement critique plus faible et énergie d’activation plus élevée quand on se rapproche des cas extrêmes 2 et 5


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