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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Changement de variable Changement de variable.

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1 Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Changement de variable Changement de variable

2 Introduction On ne peut toujours déterminer la famille de primitives à vue. Il faut souvent appliquer des techniques pour ramener l’intégrande sous l’une des formes de base de façon à pouvoir en déterminer la famille de primitives. Dans cette présentation, nous verrons comment : •transformer algébriquement l’intégrale ; •effectuer un changement de variable. Nous verrons ultérieurement d’autres techniques pour les formes plus complexes d’intégrales. •transformer l’intégrale en utilisant une ou des identités trigonométriques;

3 S Transformation algébrique de l’intégrale Effectuer l’intégration suivante : L’intégrale ne fait pas partie des formes de base. Cependant, on peut effectuer une transformation algébrique pour obtenir une somme de fonctions. Cela donne :, par les propriétés des exposants;,par distributivité; (x 3 + 2) x dx= (x 3 + 2) x 1/2 dx(x 3 + 2) x dx.= (x 5/2 + 2x 1/2 )dx= x 5/2 dx + 2 x 1/2 dx,par les propriétés de l’intégrale;,par l’intégration des formes de base. = x 7/2 7/2 + 2 x 3/2 3/2 + k On trouve donc : = 2x 7/ x 3/2 3 + k (x 3 + 2) x dx

4 S Exercice Effectuer l’intégration suivante : En transformant, on obtient :,en simplifiant;,par les propriétés de l’intégrale indéfinie;,par l’intégration des formes de base. On trouve donc : x 3 – 5x 2 + 3x + 2 x 2 dx. x 3 – 5x 2 + 3x + 2 x 2 dx x3x2x3x2 = x2x2 x2x2 – 5 xx2 xx x 2 + 2x – = 1 x + 2 x –2 x dx – 5 dx + 3 = 1 x dx + 2 x –2 dx – 5x + 3 ln |x| = k x –1 –1 x22x22 – 5x + 3 ln |x| = 2x2x x22x22 + k – S x 3 – 5x 2 + 3x + 2 x 2 dx

5 S Identités trigonométriques Effectuer l’intégration suivante : L’intégrale ne fait pas partie des formes de base. Cependant, on sait que :,par identités trigonométriques;,par simplification; On trouve donc : = cos x + k S En utilisant ces identités, on obtient :,par les propriétés de l’algèbre; tan x sec x dx. tan x = sin x cos x sec x = 1 cos x tan x sec x dx et sin x cos x dx = 1 1/cos x sin x cos x dx= cos x 1 sin x dx =,par l’intégrale de la forme de base. = – cos x + k tan x sec x dx

6 S Exercice Effectuer l’intégration suivante : L’intégrale ne fait pas partie des formes de base. Cependant, on sait que : tan 2 x = sec 2 x – 1,par identité trigonométrique;,par l’intégrale des formes de base. On trouve donc : tan 2 x dx. = tan x – x + k S tan 2 x dx En utilisant cette identité, on obtient : = (sec 2 x – 1) dx = sec 2 x dx – dx = tanx – x + k,par les propriétés de l’intégrale indéfinie; tan 2 x dx

7 Changement de variable Nous avons vu que l’intégration est le processus inverse de la dérivation. Nous allons nous en inspirer pour développer la procédure de changement de variable. Procédons par un exemple. Considérons la fonction définie par f(x) = (x 2 – 4) 3. La dérivation en chaîne de cette fonction donne : f '(x) = d dx (x 2 – 4) 3 = 3(x 2 – 4) 2 d dx (x 2 – 4) = 3(x 2 – 4) 2 (2x) = 6x (x 2 – 4) 2 En effectuant cette dérivation, on a considéré que la fonction f était une fonction composée où u = (x 2 – 4). On devra faire de même pour intégrer. Remarque SS Supposons maintenant que l’on veuille effectuer l’intégration suivante : 4x (x 2 – 4) 2 dx Posons u = (x 2 – 4). En dérivant cette expression, on obtient : = 2x. du dx x 2 – 4 d dx = On a donc du = 2x dx. On peut alors réécrire l’intégrale de la façon suivante : 4x (x 2 – 4) 2 dx = 2 u 2 du u33u33 = 2 + k (x 2 – 4) 3 3 = 2 + k,par changement de variable; On trouve donc : (x 2 – 4) 3 3 = 2 + k,par changement de variable. SS 4x (x 2 – 4) 2 dx,par l’intégrale de la forme de base. REMARQUE : L’intégration par changement de variable s’accompagne d’un ajustement des constantes dans la plupart des cas. Cela est normal puisque dans le processus de dérivation il y a simpli- fication des constantes. S

8 Exercice Effectuer l’intégration suivante : L’intégrale n’est sous une forme directement intégrable. On peut tenter un changement de variable en posant : = 6x – 5. du dx d dx 3x 2 – 5x= On a donc du = (6x – 5) dx. (6x – 5) (3x 2 – 5x) dx. u = 3x 2 – 5x En dérivant, on obtient : On peut alors réécrire l’intégrale de la façon suivante :,par changement de variable;,par les propriétés des exposants; On trouve donc :,par l’intégrale de la forme de base; (6x – 5) (3x 2 – 5x) dx S = u du= u 1/2 du u 3/2 3/2 = + k,par changement de variable. 2(3x 2 – 5x) 3/2 3 = + k 2(3x 2 – 5x) 3/2 3 = + k S (6x – 5) (3x 2 – 5x) dx

9 Changement de variable Procédure pour effectuer une intégrale par changement de variable. 1.Analyser l’intégrale à effectuer et déterminer la forme de base apparentée à celle de l’intégrande. Choisir dans l’expression à intégrer une fonction u = g(x) permettant de ramener l’intégrale à la forme de base. 2.Calculer la différentielle de u, du = g '(x) dx. 3.Faire la substitution u = g(x) et du = g '(x) dx. Après avoir fait cette substitution, l’intégrale ne doit contenir que la variable u. Si ce n’est pas le cas, il faut choisir une autre fonction u. 4.Intégrer en fonction de la variable u. 5.Exprimer le résultat de l’intégration en fonction de la variable initiale.

10 Intégrale de fonctions usuelles Les formes de base auxquelles on tente de ramener l’intégrale par un changement de variable sont : du = u + ke u du = e u + k d du = 1 u d du = e u eueu u r du = + k u r +1 r +1 cos u du = sin u + k d du = cos u sin u sin u du = –cos u + k d du = sin u–cos u sec 2 u du = tan u + k d du = sec 2 u tan u sec u tan u du = sec u + k d du = sec u tan u sec u..., où r ≠ –1 u r +1 r +1 d du = u r Cette liste n’est pas exhaustive. Il incombe à l’étudiant de la compléter et d’en garder mémoire.

11 2x e 3x 2 – 2 dx Exercice Effectuer l’intégration suivante : Étape 1 : L’intégrale n’est pas sous une forme directement intégrable. La forme de base apparentée semble être f(u) = e u. = 6x. du dx d dx 3x 2 – 2= On a donc du = 6x dx et 2x dx = 2x e 3x 2 – 2 dx. On trouve donc :,par l’intégrale de la forme de base; S e u 3 = + k,par changement de variable. e 3x 2 – 2 3 = + k On posera donc u = 3x 2 – 2. Étape 2 : Calculons la différentielle de u. du 3 Étape 3 : Effectuons la substitution u = g(x) et du = g '(x) dx. = e u du 1313 L’intégrale ne comporte que la variable u, on peut poursuivre.,par changement de variable; e 3x 2 – 2 3 = + k 2x e 3x 2 – 2 dx S Étape 4 : Intégrons en fonction de la variable u.Étape 5 : Exprimons le résultat de l’intégration en fonction de la variable initiale. SSS

12 sin 2 x cos x dx Exercice Effectuer l’intégration suivante : Étape 1 : L’intégrale n’est pas sous une forme directement intégrable. La forme de base semble être f(u) = u 2, où u = sin x = cos x. du dx d dx sin x= On a donc du = cos x dx. sin 2 x cos x dx. On trouve donc :,par l’intégrale de la forme de base; S u 3 3 = + k,par changement de variable. sin 3 x 3 = + k Posons donc u = sin x. Étape 2 : Calculons la différentielle de u.Étape 3 : Effectuons la substitution u = g(x) et du = g '(x) dx. = u 2 du L’intégrale ne comporte que la variable u, on peut poursuivre.,par changement de variable; Étape 4 : Intégrons en fonction de la variable u.Étape 5 : Exprimons le résultat de l’intégration en fonction de la variable initiale. sin 3 x 3 = + k sin 2 x cos x dx SSSS

13 sin(2πt +π/2) dt Exercice Effectuer l’intégration suivante : Étape 1 : L’intégrale n’est pas sous une forme directement intégrable. La forme de base semble être f(u) = sin u. = 2π. du dt d dt 2πt +π/2= On a donc du = 2π dt et dt = du/2π. sin(2πt +π/2) dt. On trouve donc :,par l’intégrale de la forme de base; S = + k – cos u 2π,par changement de variable. Posons donc u = 2πt +π/2. Étape 2 : Calculons la différentielle de u.Étape 3 : Effectuons la substitution u = g(x) et du = g '(x) dx. L’intégrale ne comporte que la variable u, on peut poursuivre.,par changement de variable; Étape 4 : Intégrons en fonction de la variable u. Étape 5 : Exprimons le résultat de l’intégration en fonction de la variable initiale. sin(2πt +π/2) dt SSSS = sin u du 1 2π = cos(2πt +π/2) + k – 1 2π = cos(2πt +π/2) + k – 1 2π REMARQUE : Il faut parfois transformer l’expression algébriquement ou utiliser les identités trigonométriques pour exprimer l’intégrale sous une forme permettant un changement de variable. S

14 tan x dx Exercice Effectuer l’intégration suivante : Étape 1 : L’intégrale n’est pas sous une forme directement intégrable. La forme de base pourrait être f(u) = 1/u, où u = cos x = –sin x. du dx d dx cos x= On a donc sin x dx = –du tan x dx. On trouve donc :,, par l’intégrale de la forme de base; S = – ln |u| + k,par changement de variable. Posons donc u = cos x. Étape 2 : Calculons la différentielle de u.Étape 3 : Effectuons la substitution u = g(x) et du = g '(x) dx. L’intégrale ne comporte que la variable u, on peut poursuivre.,par changement de variable; Étape 4 : Intégrons en fonction de la variable u.Étape 5 : Exprimons le résultat de l’intégration en fonction de la variable initiale. tan x dx SSSS = –ln |cos x| + k L’intégrale ne fait pas partie des formes de base. Cependant : tan x = sin x cos x tan x dx On peut donc écrire : = dx sin x cos x = dx sin x cos x = du –1 u = –ln |cos x| + k REMARQUE : On peut conserver cette intégrale parmi les formes de base pour l’utiliser sans avoir à refaire la procédure que nous venons de suivre. On aurait pu ramener cette intégrale à une forme de base en multipliant le numérateur et le dénominateur de l’intégrande par sec x. S

15 Conclusion Les intégrales que nous aurons à effectuer seront rarement sous une forme de base. Il nous faudra le plus souvent transformer l’intégrale pour pouvoir l’effectuer. Dans certains cas, de simples manipulations algébriques vont nous permettre d’exprimer la fonction à intégrer à l’aide de formes de base. Parfois, il faut avoir recours aux identités trigonométriques pour exprimer en fonction des formes de base. Le changement de variable est une procédure très fréquente et indispensable dans bien des cas. On doit souvent jumeler cette procédure avec une transformation algébrique ou l’utilisation d’identités trigonométriques. Pour utiliser les techniques d’intégration correctement, il faut beaucoup de pratique.


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