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Méthodes de prévision (STT-3220) Section 6 Autocorrélations partielles Version: 16 décembre 2008.

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1 Méthodes de prévision (STT-3220) Section 6 Autocorrélations partielles Version: 16 décembre 2008

2 STT-3220; Méthodes de prévision 2 Identification des ordres dans les modèles ARMA(p,q)  Lors de la modélisation des séries chronologiques avec des données réelles, une question d’importance est le choix des ordres p et q.  Ceci correspond à l’étape d’identification d’un modèle, dans la procédure de Box et Jenkins.  Deux outils sont fondamentaux à cette fin: les autocorrélations (ACF) et les autocorrélations partielles (PACF).

3 STT-3220; Méthodes de prévision 3 Définition intuitive des autocorrélations partielles  Supposons que l’on dispose de trois variables aléatoires, X, Y et Z.  Souvent, la corrélation entre X et Y pourrait être attribuable au fait que: – X et Z sont corrélées; – Y et Z sont corrélées.  L’autocorrélation partielle cherche à quantifier la dépendance entre X et Y en retirant la dépendance avec Z.

4 STT-3220; Méthodes de prévision 4 Corrélations partielles dans un contexte de séries chronologiques  Considérons un processus stochastique que l’on présume SSL et tel que.  Comme dans le transparent précédent, la dépendance entre Z t et Z t+k pourrait être grandement attribuable à la dépendance de ces variables aléatoires avec Z t+1, Z t+2,…Z t+k-1.  On voudrait calculer la corrélation conditionnelle:

5 STT-3220; Méthodes de prévision 5 Définition formelle de la corrélation partielle  Soient Z t et Z t+k. On note et les meilleures prévisions linéaires de Z t et Z t+k, respectivement, au sens de l’erreur quadratique moyenne, fonctions linéaires de Z t+1,Z t+2,…Z t+k-1.  On définit autocorrélation partielle:

6 STT-3220; Méthodes de prévision 6 Calcul des autocorrélations partielles  Soit le processus SSL tel que.  1. On formule le modèle de régression:  2. On multiplie par Z t+k-j, j positif:  On prend l’espérance:

7 STT-3220; Méthodes de prévision 7 On forme le système d’équations suivant pour j = 1,2,…,k:  Le système devient:  Il suffit de résoudre ce système avec la règle de Cramer; l’autocorrélation partielle de délai k est  kk.

8 STT-3220; Méthodes de prévision 8 Règle de Cramer pour le calcul des  kk  Par la règle de Cramer:

9 STT-3220; Méthodes de prévision 9 Propriétés générales des  kk  1. C’est par définition une corrélation, donc on a que  2. Puisqu’il n’y a pas de variables intermédiaires entre Z t et Z t+1 :  11 =  (1).  3. On trouve que:

10 STT-3220; Méthodes de prévision 10 Estimation des  kk  L’estimateur de  kk, que l’on pourrait noter, est obtenu en remplaçant dans l’acétate 8 les  (k) inconnues par les r(k).  Les estimateurs ainsi obtenus sont convergents en probabilité sous des conditions générales pour  kk. La raison essentielle de ce résultat est que r(k) est convergent pour  (k).  Si est un bruit blanc:

11 STT-3220; Méthodes de prévision 11 Identification d’un ARMA(p,q) avec l’ACF et la PACF  Si processus est AR(p): – Nombre infini d’autocorrélations. – Nombre fini d’autocorrélations partielles. En fait pour un AR(p):  kk = 0, si k > p.  Si processus est MA(q): – Nombre fini d’autocorrélations. En fait, pour un MA(q), on a que  (k) = 0, si k > q. – Nombre infini d’autocorrélations partielles.


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