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Laboratoire dInformatique pour la Mécanique et les Sciences de lIngénieur Modèle Faible Mach et simulations numériques 2D de l'amplification d'onde thermoacoustique.

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1 Laboratoire dInformatique pour la Mécanique et les Sciences de lIngénieur Modèle Faible Mach et simulations numériques 2D de l'amplification d'onde thermoacoustique O. Hireche, K. Sodjavi, C. Weisman, D. Baltean-Carlès, M. Xavier-François, P. Le Quéré, LIMSI-CNRS, Orsay, France et L. Bauwens, Université de Calgary, Canada Générateur dondes Thermoacoustique Résonateur Charge: refrigérateur QcQc QfQf

2 Colloque GDR Thermoacoustique, Le Mans, 5-6 octobre 2009 Objectif : simulation et analyse de lamplification donde thermoacoustique, à partir dun zoom sur la cellule active Modèle en 2 parties : analyse multi-échelle Equations dEuler + Développement Faible Mach dans les résonateurs gauche et droit (acoustique linéaire) : solution analytique 1D par méthode des caractéristiques Equations de Navier-Stokes + Développement Faible Mach dans la cellule active (échangeurs + stack) : solution numérique 2D 2/31 Domaine de simulation 2D : cellule active Echangeur chaud Echangeur froid Acoustique linéaire 1D Acoustique Linéaire 1D

3 Colloque GDR Thermoacoustique, Le Mans, 5-6 octobre /31 Couplage au niveau des section dentrée et sortie de la cellule active Demie-plaque stack Domaine de simulation 2D : cellule active uLuL uRuR Echangeur chaud Echangeur froid Acoustique linéaire 1D Acoustique linéaire 1D

4 Colloque GDR Thermoacoustique, Le Mans, 5-6 octobre 2009 Hypothèses fondamentales : Résonateurs : Stack + Échangeurs Même échelle de temps: =période référence /2 M<<1 : hypothèse stack court ou acoustiquement compact p v Développements asymptotiques = + M (1) + M 2 (2) / 2 4/31

5 Colloque GDR Thermoacoustique, Le Mans, 5-6 octobre /31 3,5 cm L L =9 cm L R =91cm L T =1 m Exemple de cas test (exp. A. Atchley, ) 3,8cm 6 cm Inox 304 L Cellule active 0,74 mm Nickel 2,2 cm0,8 cm H=1,06mm h=0,78 mm Hélium Ensemble

6 Colloque GDR Thermoacoustique, Le Mans, 5-6 octobre /31 Gaz: hélium à p moy = 1,5 – 4,4 bar ; T froid =T C =293K, L stack = 3,5cm ref =0,25 - 0,74 kg/m 3 ; c ref = 1008 m/s; f=500 Hz; =1ms; U ref = 35 m/s M=0,035 ; Pe= ; Re= ; Plaques stack : Inox 304 L Plaques échangeurs : Nickel Epaisseurs de couche limite thermique et visqueuse Conditions de lexpérience

7 Colloque GDR Thermoacoustique, Le Mans, 5-6 octobre /31 15 cm L L =7 cm L R =7,5cm L T =7,57 m Exemple de cas test (inspiré dune expé. LIMSI, 2007) 5,6cm 45 cm Inox 304 L Cellule active Nickel 0,75 cm H=0,97mm h=0,77 mm Hélium Ensemble

8 Colloque GDR Thermoacoustique, Le Mans, 5-6 octobre /31 Gaz: hélium à p moy = 10bar ; T froid =T C =293K, L stack =0,15 m ref =1,63kg/m 3 ;c ref = 1008 m/s; f=67 Hz; =7,8ms; U ref = 19,2 m/s M=0,02 ; Pe=1, ; Re=2, Plaques stack et échangeurs : Inox 304 L Epaisseurs de couche limite thermique et visqueuse Conditions de lexpérience

9 Colloque GDR Thermoacoustique, Le Mans, 5-6 octobre 2009 L LRLR Cellule active Acoustique linéaire Résonateurs : Acoustique linéaire 9/31 Adhérence aux parois du résonateur négligées Frontières adiabatiques (sur chaque partie du résonateur) Ecoulement 1D, non visqueux, faiblement conducteur Ecoulement isentropique Equations adimensionnées, termes jusquen O (M)

10 Colloque GDR Thermoacoustique, Le Mans, 5-6 octobre /31 solution analytique (dAlembert) L Cellule active Acoustique linéaire cLcL cRcR LRLR Développement Faible Mach : Variables de Riemann L et R constantes sur les caractéristiques se déplaçant à la vitesse, avec à gauche, =1 à droite

11 Colloque GDR Thermoacoustique, Le Mans, 5-6 octobre /31 Tube fermé à lextrémité gauche : Charge (résistive) positionnée à lextrémité droite : avec Conditions aux limites :

12 Colloque GDR Thermoacoustique, Le Mans, 5-6 octobre 2009 Equations de Navier-Stokes 2D + Développement Faible Mach Faible Mach Cellule active, Stack+échangeurs 12/31 H

13 Colloque GDR Thermoacoustique, Le Mans, 5-6 octobre /31 Cette formulation autorise les variations temporelles de p (0) Mais : à cause du couplage avec lacoustique dans le résonateur, seules les variations temporelles de p (1) sont autorisées, que ne voit pas le modèle stack + échangeurs

14 Colloque GDR Thermoacoustique, Le Mans, 5-6 octobre /31 Conduction dans les plaques Bilan dénergie dans le domaine de calcul (conservation masse+energie) Gravité négligée

15 Colloque GDR Thermoacoustique, Le Mans, 5-6 octobre /31 Traitement des échangeurs T chaud T froid T chaud T froid Echangeurs « idéaux » Echangeurs à température fixée Echangeurs à flux de chaleur fixé q chaud q froid

16 Colloque GDR Thermoacoustique, Le Mans, 5-6 octobre 2009 Modèle 2D uLuL uRuR T chaud T froid Couplage C.L. aux sections dentrée et de sortie: P (0) est le même dans la cellule active et à lextérieur Bilan dénergie (conservation de la masse + energie) L LRLR charge Extrémité fermée 16/31

17 Colloque GDR Thermoacoustique, Le Mans, 5-6 octobre 2009 Frontières extérieures (bleues) adiabatiques Glissement sur les frontières ouvertes horizontales adhérence, continuité de température et de flux de chaleur aux interfaces fluide/solide –stack et échangeurs) Différents modèles de CL sur les échangeurs Vitesses u L et u R calculées à partir du couplage avec lacoustique et le bilan dénergie Modèle 2D uLuL uRuR T chaud T froid Conditions aux limites Distribution linéaire de température entre les échangeurs (gaz et stack) OU température sol. stationnaire du pb de conduction sans écoulement Résonateur : bruit aléatoire ou/ onde stationnaire de faible amplitude et Conditions initiales 17/31

18 Colloque GDR Thermoacoustique, Le Mans, 5-6 octobre /31 Volumes finis/second ordre Traitement implicite des termes visqueux et diffusifs Discrétisation explicite des termes convectifs Intégration temporelle de type Prédicteur-correcteur Calcul des champs sur tout le domaine solide+fluide (utilisation dune fonction scalaire pour différentier les points solides des points fluides) A chaque pas de temps, calcul de u L, u R et p (1) en fonction des valeurs calculées aux instants antérieurs tenant compte de la propagation dans les deux parties du résonateur, et de lintégrale du flux de chaleur sur le domaine fluide Méthode numérique

19 Colloque GDR Thermoacoustique, Le Mans, 5-6 octobre /31 Début du pas de temps Calcul (ADI ou GMRES) du nouveau champ de température à partir de Résolution des 3 équations de couplage utilisant lintégrale du flux de chaleur, et les valeurs de L et R aux instants antérieurs en tenant compte des allers-retours. Calcul des vitesses u L et u R qui serviront de CL et calcul de la pression acoustique p (1). Mise à jour de la masse volumique Calcul de la divergence souhaitée en chaque point Calcul (ADI ou GMRES) des vitesses intermédiaires Calcul de la correction de pression (algorithme multigrille) + C.L. Homog. Neumann Update des vitesses et de la pression Fin du pas de temps Algorithme

20 Colloque GDR Thermoacoustique, Le Mans, 5-6 octobre 2009 Maillages uniformes : de 512x32 (grossier) à 2048x128 (fin) Minimum 500 pas de temps par période acoustique de référence (1 s/point/pas de temps sur NEC SX8, Idris-CNRS) ~ hr CPU/run pour la phase initiale de lamplification, ~ 50 hr CPU/run pour les calculs jusquà saturation Paramètres numériques 20/31 Adimensionnement code Les distances sont adimensionnées par H et non par L Stack

21 Colloque GDR Thermoacoustique, Le Mans, 5-6 octobre 2009 Stack plate Isothermes, milieu du stack, bruit initial aléatoire Stack plate 21/31

22 Colloque GDR Thermoacoustique, Le Mans, 5-6 octobre 2009 Développement de vitesse entre stack et échangeur chaud 22/31

23 Colloque GDR Thermoacoustique, Le Mans, 5-6 octobre 2009 Variation temporelle de la pression totale (à partir dun bruit aléatoire). Tube fermé aux deux extrémités. Mode Fondamental mode instable (période adimensionnée=2) Simulations P m = 5 bar, T chaud =1.5T froid 23/31

24 Colloque GDR Thermoacoustique, Le Mans, 5-6 octobre 2009 Simulations P m = 5 bar, T chaud =2T froid Variation temporelle de la pression totale (à partir dun bruit aléatoire). Tube fermé aux deux extrémités. Mode fondamental instable (période adimensionnée=2), solution non linéaire 24/31

25 Colloque GDR Thermoacoustique, Le Mans, 5-6 octobre 2009 Variation temporelle pression acoustique, vitesses (à partir dun bruit aléatoire). Tube fermé aux deux extrémités. Simulations P m = 5 bar, T chaud =2 T froid 25/31

26 Colloque GDR Thermoacoustique, Le Mans, 5-6 octobre 2009 Simulations Pm = 1.7 bar, T chaud =1.2 T froid Variation temporelle de la pression totale (à partir dun bruit aléatoire). Tube fermé aux deux extrémités. Mode fondamental et premier harmoniques semblent instables 26/31

27 Colloque GDR Thermoacoustique, Le Mans, 5-6 octobre 2009 Variation temporelle de la pression totale (à partir dun bruit aléatoire). Tube fermé aux deux extrémités. Mode fondamental et premier harmonique instables. Le second mode croît. 27/31 Simulations Pm = 1.7 bar, T chaud =1.5 T froid

28 Colloque GDR Thermoacoustique, Le Mans, 5-6 octobre 2009 Variation temporelle de la pression totale (à partir dun bruit aléatoire). Tube fermé aux deux extrémités. Mode fondamental et premier harmonique semblent instables. Le second mode semble le plus instable. 28/31 Simulations Pm = 1.7 bar, T chaud =2 T froid

29 Colloque GDR Thermoacoustique, Le Mans, 5-6 octobre 2009 Résultats Atchley 29/31

30 Colloque GDR Thermoacoustique, Le Mans, 5-6 octobre 2009 Influence du champ initial de température -Saturation obtenue par introduction dune charge f à la place de lextrémité fermée. - Deux champs initiaux testés. 30/31 ~40s ~120s

31 Colloque GDR Thermoacoustique, Le Mans, 5-6 octobre /31 Conclusion Lapproche faible Mach permet de décrire lamplification thermoacoustique, et de détecter les modes instables On a montré linfluence du champ initial de température (effets 2D) Perspectives Etudes paramétriques, exploitation du code : déplacement du stack dans le résonateur, variation de la distance échangeur/stack Calage de la charge pour comparaison avec des situations expérimentales réelles Analyse de stabilité pour interpréter la sélection des modes


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