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Traitement dimages : concepts fondamentaux Définitions fondamentales et prétraitements : – Information représentée par un pixel, – Manipulation dhistogrammes.

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1 Traitement dimages : concepts fondamentaux Définitions fondamentales et prétraitements : – Information représentée par un pixel, – Manipulation dhistogrammes : égalisation, – Filtrage passe-bas. Introduction à la morphologie mathématique (cas binaire) : – Erosion, dilatation, ouverture et fermeture binaires, – Reconstruction géodésique, étiquetage en composantes connexes, – Squelette. Introduction à la classification (cas pixelique) : – algorithme des k-ppv, des c-moyennes – critères bayésiens : MV, MAP.

2 Comment séparer 2 composantes ? Introduction à la morphologie mathématique Traitement non linéaire de linformation Analyse morphologique : extraction des informations à partir de tests Exemples de problèmes : Repose sur la théorie des ensembles, des treillis complets, … – sapplique aux ensembles, aux fonctions, … Comment étiqueter différemment 2 formes connexes ? Comment comparer 2 formes ? Comment éliminer le bruit ?

3 Définition: 1 treillis est 1 ensemble ordonné (E, ) tel que toute partie de E admette 1 borne supérieure et 1 borne inférieure Exemple de treillis: ensembliste élémentsparties de S relation dordreinclusion borne supérieureunion borne inférieureintersection involutioncomplémentaire plus grand des minorants plus petit des majorants : réflexive ( x E, x x), antisymétrique ( (x,y) E2, x y et y x x=y), transitive ( (x,y,z) E3, x y et y z x z )

4 Opérateurs de MM : fondements mathématiques principes fondamentaux –Compatibilité avec les translations –Compatibilité avec les homothéties –Localité –Semi-continuité propriétés –Croissance –Extensivité / anti-extensivité –Idempotence –Dualité Indépendance par rapport à lorigine de lespace: t, (f+t)= (f)+t Indépendance par rapport au paramètre déchelle:, ( f)= (f) E borné, E borné / (f) E= (f E) E A,B A B (A) (B) Extensivité: A, A (A) ( (.))= (.) et duales :

5 Erosion / dilatation : définitions (1) Élément structurant B relations de lobjet X avec lélément (taille, forme données) Addition de Minkowski : Union des translatés de X par chaque point de B propriétés : commutative, associative, croissante, élément neutre Soustraction de Minkowski : Intersection des translatés de X par chaque point de B propriétés : non commutative, associative, croissante, élément neutre Ө

6 Erosion / dilatation : définitions (2) Dilatation (binaire) : lieu géométr. des points x tels que B x intersecte X Erosion (binaire) : lieu géométr. des points x tels que B x soit inclus dans X

7 Erosion / dilatation : définitions (2) Dilatation (binaire) : lieu géométr. des points x tels que B x intersecte X Erosion (binaire) : lieu géométr. des points x tels que B x soit inclus X

8 Erosion / dilatation : propriétés (1) Croissance par rapport à X En effet : Extensivité / anti-extensivité (si centre de B inclus dans B) Croissance / décroissance par rapport à B En effet :

9 Erosion / dilatation : propriétés (2) Commutations en effet : Adjonction en effet : La partie de B z qui nintersecte pas avec X est dans le complémentaire de B z quand se restreint à B z B z on est dans X

10 Erosion / dilatation : algorithmes (1) Cas général (binaire) : –En chaque pixel z de limage examiner la relation entre lélément struct. B z et lobjet X –Dilatation: pour i [1,#lignes]// boucle sur les lignes pour j [1,#colonnes] {// boucle sur les colonnes initializer y à 0 pour i [iBmin,iBmax] // origine de B en 0 B inclus dans [iBmin,iBmax] [jBmin,jBmax] pour j [jBmin,jBmax] si (y nul et ima(i+i,j+j) non nul et B(i,j) non nul) alors y 1 ima_dilate(i,j) y } –Erosion: pour i [1,#lignes]// boucle sur les lignes pour j [1,#colonnes] {// boucle sur les colonnes initializer y à 1 pour i [iBmin,iBmax] // origine de B en 0 B inclus dans [iBmin,iBmax] [jBmin,jBmax] pour j [jBmin,jBmax] si (y non nul et ima(i+i,j+j) nul et B(i,j) non nul) alors y 0 ima_erode(i,j) y }

11 Erosion / dilatation : algorithmes (2) Exploitation de lassociativité de la dilatation / érosion –Cas dun élément B qui est le résultat de laddition de Minkovski de et avec B 1 (B à la taille élémentaire) : Itérer la dilatation (érosion) par B 1 –Cas dun élément convexe : Dilatations (érosions) successives par 2 segments Cas dun élément structurant boule : –Seuillage de la transformée en distance de limage binaire ou de son complémentaire

12 Dist 1 Dist 1,5 Dilatation binaire : exemples (X) X Dist 2 Dist 2,5

13 Dist 1 Dist 1,5 Érosion binaire : exemples (X) X Dist 2 Dist 2,5

14 Ouverture / fermeture : cas binaire Cas binaire Propriétés –Croissance / X trivial car B et B / X –Extensivité / anti-extensivité propriété dadjonction car car –(Dé)croissance / B

15 –Idempotence – –Min-max : Louverture de X est le plus petit X de même érodé que X La fermeture de X est le plus grand X de même dilaté que X Ouverture / fermeture : propriétés

16 Profil morphologique : définition ( ) 0 une granulométrie et ( ) 0 lanti- granulométrie associée Fonction de distribution granulométrique mesure bornée sur le treillis (e.g. aire #pixels) X = (X) et X - = (X) F X ( )=1- (X )/ (X ) Spectre granulométrique f X ( )= F X ( ) ( ) / 0 = =

17 Profil morphologique : application à lanalyse de texture X0X0 X 1 = (X 0 ) X 2 = (X 1 ) X 3 = (X 2 ) X 4 = (X 3 ) X -1 = (X 0 ) X -3 = (X -2 ) X-4X-4 X-5X-5 X-6X-6 X-7X-7 X-8X-8

18 X Dilatation / Erosion géodésique binaire Boules géodésiques Quand, les boules géodésiques progressent comme le front dune onde émise depuis z dans le milieu X Dilatation géodésique de taille de Y dans X (Y B ) X Erosion géodésique Y1Y1 Y2Y2 X (Y 1 ) (Y 2 ) X

19 Reconstruction géodésique binaire Application : extraction de composantes connexes à partir de marqueurs Principe : à partir dun point de la composante, on reconstruit toute la composante Méthode : dilatation géodésique dans X

20 Reconstruction géodésique : algorithme (cas binaire) Éviter de réitérer dilatation jusquau diamètre des plus grandes composantes connexes Cas efficace : utilisation dune pile des pixels de limage à traiter : –Initialisation de la pile avec les pixels de X Y –Tant quil reste des éléments dans la pile : Extraire un élément (pixel) de la pile Le traiter –labelisation de la composante connexe dans limage résultat –Calcul de ses voisins (dilatation par B) Ajout dans la pile (si nécessaire) des voisins situés dans X

21 Reconstruction géodésique : exemple Itérationcontenu de la pile 1(2,1) 2(1,1) (3,1) 3(3,1) (1,2) 4(1,2) (3,2) (4,1) 5(3,2) (4,1) (1,3) 6(4,1) (1,3) (3,3) 7(1,3) (3,3) (5,1) 8(3,3) (5,1) (2,3) (1,4) 9(5,1) (2,3) (1,4) (4,3) (3,4) 10(2,3) (1,4) (4,3) (3,4) (5,2) 11 (1,4) (4,3) (3,4) (5,2) (2,4) 12 (4,3) (3,4) (5,2) (2,4) (5,3) (4,4) 17 (4,4) (5,4) (3,4) (5,2) (2,4) (5,3) (4,4) 14 (5,2) (2,4) (5,3) (4,4) 15 (2,4) (5,3) (4,4) 16 (5,3) (4,4) (5,4) 18 (5,4)

22 X Exemples dapplication (1) Reconstruction géodésique à partir de Y Algorithme : k=0; Pour chaque pixel s de X : si x s et !z s : - calcul de E B X ({s}) - k++ - t E B X ({s}), z t =k # composantes connexes = k Etiquettage de composantes connexes

23 Filtrage par Erosion-Reconstruction (ne modifie pas les contours des objets restants Erosion-Dilatation) Erosion de X puis reconstruction de B (X) dans X Suppression dobjets touchant le bord de limage Différence entre X et la reconstruction du bord dans X Exemples dapplication (2) - =

24 Bouchage de trous Complément de la reconstruction dans X c dun ensemble qui nintersecte pas X Seuillage avec hystérésis Reconstruction des points au-dessus du seuil haut dans lensemble des points au-dessus du seuil bas. Exemples dapplication (3) et

25 Erodé ultime : définition / algorithme Cas général (binaire) Ensemble des composantes connexes de X disparaissant à litération suivante lors dune séquence dérosions par un élément structurant élémentaire B 1 Pour chaque pixel (non déjà dans érodé ultime) disparaissant à litération t, calculer la composante connexe à t-1 et tester si tous les pixels ont effectivement disparus à t. Cas dun élément structurant disque Ensemble des maxima régionaux de la fonction distance de X à son complémentaire Algorithme : 1.Calcul de limage des distances 2.Calculer lensemble des maxima locaux 3.Pour chaque maximum local (x s x t, t V s ) non déjà traité : 1.Reconstitution géodésique de la composante connexe à x s conditionnellement à limage des valeurs supérieures à x s CC(x s ) 2.Si x t CC(x s ): x t >x s, alors marquer comme traités les maxima locaux qui appartiennent à CC(x s ) 3.Sinon, alors x s est un maximum régional et CC(x s ) érodé ultime

26 Érosions successives par B Erodé ultime : exemple Distance 4-connexitéDistances 8-connexité, respectivement masque (1,0), (4,3,0) et (11,7,5,0)

27 Transformation en tout ou rien : cas binaire Définition : teste lappartenance de certains voisins à X ET de certains autres à X c Notation des éléments structurants : noir = objet (1), blanc = fond (0), gris = quelconque Ex. dapplication : détection de coins (saillants) –ULURLLLR Exemple :

28 Calcul de lenveloppe convexe Rappel : Déf. L'enveloppe convexe d'un objet O est lensemble convexe (Ec / (A,B) 2 points de Ec, [A,B] est entièrement contenu dans Ec) le plus petit parmi ceux incluant O. épaississement (ajout des points sélectionnés) par la transformation en Tout ou Rien suivante : 12 elts struct. Exemple : avec 1 elt. struct. 3 3, il nest pas possible de gérer des pentes autres que {0, /2, /4,3 /4}

29 Squelette morphologique : définition Exemples de propriétés souhaitées : –Préservation de la géométrie, de la topologie –Invariance aux translations, rotations, homothéties –Réversibilité, continuité, épaisseur nulle Squelette morphologique euclidien (cas continu) U des centres des boules maximales (contenues ds X) Cas discret : U des résidus douverture des érodés successifs : Pb : ne préserve pas la topologie Même forme, respect des parties allongées, etc… Mêmes nombres de composantes connexes, de trous. La forme peut être retrouvée connaissant le squelette et la taille des érosions (p.e.). Une petite variation de forme engendre une petite variation du squelette. Épaisseur nulle, réversible Mais : ne préserve pas la topologie, ex : non continu, ex : mais

30 Homotopie discrète et simplicité Définition : F fct de R 2 R 2 préserve la topologie si A ouvert, A et F(A) sont homotopes Cas discret : A K-homotope à A 2 bijections préservant la relation dentourage (au sens du théorème de Jordan) entre : (i) les ensembles des K-cc (K {4,8}) de A et de A, (ii) les ensembles des K-cc (K=12-K) de A c et de (A) c pour A A (i) toute K-cc (K {4,8}) de A contient exactement 1 K-cc de A et (ii) toute K-cc (K=12-K) de (A) c contient exactement 1 K-cc de A c Définition : x point K-simple dans X X-{x} homotope à X x a au moins 1 K-voisin dans X c et x est K-voisin d1 seule K-cc de X se calcule en examinant les 8 voisins

31 Homotopie discrète et simplicité Propriété : x est K-simple N K X ( x )=1 Retrait des points K-simples : –séquentiel perte des propriétés métriques, –parallèle risque de perte de lhomotopie –solution : ¼ parallèle : on ne retire ensemble que les points qui ont 1 voisin Nord (resp. Est, Sud, Ouest) dans X c Rq : noyau homotopique ne préserve pas la forme de X utilisation de points dancrage x3x3 x1x1 x2x2 x4x4 x0,x8x0,x8 x x5x5 x7x7 x6x6 Une réunion de points K-simples nest pas nécessairement un ensemble simple, ex : x et y sont 8-simples mais pas {x,y} x y

32 Caractérisation géométrique des points K-simples Définition : transformation tout ou rien teste lappartenance de certains voisins à X ET de certains autres à X c Définition : amincissement (resp. épaississement) de X enlever (resp. ajouter) des points de X sélectionnés par 1 transformation en tout ou rien. Propriété : 1 amincissement (épaississement) est homotopique si linversion de couleur du point central ne modifie pas la topologie. Ex. préserve topo Exemples délément structurant : Lskel Mskel Ebardage

33 Squelette morphologique : algorithme Rq : noyau homotopique ne préserve pas la forme de X utilisation de points dancrage, e.g. maxima locaux de la distance Algorithme préservant la topologie : –Initialiser S(X) à X –Répéter (jusquà avoir traité tous les points de X) : Soit E S d les points de S(X) ayant un voisin immédiat dans (S(X)) c dans la direction Nord (resp. Est, Sud, Ouest) Déterminer L K-s lensemble (parmi les points de E S d ) des points K-simples (en K connexité) Retirer simultanément de S(X) tous les points de L K-s (sauf points dancrage) Changer la direction considérée (N, E, S, ou O) Informatiquement, utilisation de piles de pixels

34

35 Exemple : X 8-connexité 4-connexité Itérations 0, 1, 2Itérations 3, 4, 5Itérations 6, 7, 8

36 Squelette par zones dinfluence (SKIZ) Définition : Soit X compact de R 2, la zone dinfluence dune composante connexe X i de X est lens. des points plus près de X i que de tout autre composante Le SKIZ est la frontière des zones dinfluence Calcul du SKIZ : 1. Amincissement du fond par Lskel 2. Puis ébardage du résultat de 1. Ex :

37 Exercices (I) Proposer une ou plusieurs solutions pour les problèmes cités en introduction : Comment éliminer le bruit ? Comment séparer ces 2 composantes ? Comment étiqueter différemment 2 formes connexes ? Comment comparer 2 formes ?

38 Exercices (II) Démontrer les propriétés de commutation des opérateurs dilatation et érosion binaires. (Utiliser les définitions de ces opérateurs) Démontrer les propriétés de croissance / décroissance et extensivité / anti-extensivité des opérateurs ouverture et fermeture binaires. (Utiliser les propriétés des opérateurs dilatation et érosion, notamment ladjonction pour démontrer lextensivité / anti- extensivité)

39 Exercices (II) : correction Commutation des opérateurs dilatation et érosion. Propriétés des ouvertures / fermetures binaires –Croissance / X : trivial car B et B / X –Extensivité / anti-extensivité propriété dadjonction car car –(Dé)croissance / B

40 Exercices (III) Soit limage suivante : On cherche à compter les différents types de cellules et leur proportions respectives. Proposez une solution, décrivez le synoptique de lalgorithme à mettre en œuvre et les fonctions à développer (notamment les entrées / sorties), puis pour chacune delles le pseudo-code.

41 Exercices (III) : correction Seuillage Éliminer les objets touchant le bord Éliminer le bruit (petites particules) Squelette Détermination des paramètres pour chaque particule Classification Image niveaux de gris Image binaire Image binaire filtrée Image des squelettes des particules Liste des objets avec caractérist. Liste des objets avec étiquettes Détection des différentes particules Image segmentée des particules

42 Bibliographie H. Maître, Le traitement des images, Hermès éditions. J.-P. Cocquerez & S. Philipp, Analyse dimages : filtrage et segmentation, Masson éditions. S. Bres, J.-M. Jolion & F. Lebourgeois, Traitement et analyse des images numériques, Hermès éditions.


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