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Séquence d’enseignement du nombre décimal GDM : groupe départemental de mathématiques de l’Hérault Crystèle Pouget et Mirène Larguier Béziers le 9 février.

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1 Séquence d’enseignement du nombre décimal GDM : groupe départemental de mathématiques de l’Hérault Crystèle Pouget et Mirène Larguier Béziers le 9 février

2 Le GDM • Un site pour le GDM : • Les programmes officiels de 2008, et le socle • La place des anciens documents d’accompagnement et d’application des programmes de 2002 • Autres ressources : ERMEL, manuels Capmaths avec le livre du maître et els fiches photocopiables 2

3 Questions relatives à la séquence d’enseignement visant l’apprentissage des nombres décimaux Objectifs de la formation : • Répondre aux questions suivantes :  Quel point de départ de la séquence ?  Quelle ossature de la séquence ?  Quelles situations de référence pour donner du sens aux apprentissages ? Une constante qui sous-tend les propositions de cette formation : « La résolution de problèmes joue un rôle essentiel dans l’activité mathématique. Elle est présente dans tous les domaines et s’exerce à tous les stades des apprentissages. » (Programmes 2008). 3

4 Question préalable Quand a été introduite l’écriture à virgule dans l’histoire ? 4

5 STEVIN Simon, flamand, ingénieur, physicien, professeur de mathématiques, comptable et administrateur des finances de la ville de Bruges Publie un traité : la disme (1585) Stevin est à l'origine de la notation décimale d'aujourd'hui : Il nota un nombre comme 32,578 sous la forme : la notation va s'alléger devenant 32 o 578, puis utilisée avec les anglo-saxons. Notre notation actuelle 32,578 semble provenir de l'astronome hollandais Snellius ( ) et de Neper. Les nombres décimaux : un peu d’histoire Il était une fois au XVI e siècle …

6 Les nombres décimaux : un peu d’histoire Il était une fois au XVII e siècle … NEPER John, écossais, Invention de ses "réglettes", permettant d'effectuer les quatre opérations élémentaires, A l'origine des premières machines à calculer dont il expose le fonctionnement dans un traité (Rabdologiae, 1617) Introduit, au niveau des notations, la notation décimale actuelle des nombres décimaux, au détriment de la notation fractionnaire : Pour en savoir plus :

7 Les étapes de la séquence visant l’enseignement du nombre décimal Dans une séquence d’enseignement visant l’apprentissage du nombre décimal, comment introduisez-vous, ou introduiriez- vous, le nombre décimal ? Quelles sont les grandes étapes de cette séquence ? 7

8 Ossature de la séquence d’enseignement visant l’apprentissage du nombre décimal Référence au programme de 2008 au cycle 3 : Les nombres décimaux et les fractions : - fractions simples et décimales : écriture, encadrement entre deux nombres entiers consécutifs, écriture comme somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1, somme de deux fractions décimales ou de deux fractions de même dénominateur ; - nombres décimaux : désignations orales et écritures chiffrées, valeur des chiffres en fonction de leur position, passage de l’écriture à virgule à une écriture fractionnaire et inversement, comparaison et rangement, repérage sur une droite graduée ; valeur approchée d’un décimal à l’unité près, au dixième près, au centième près. Socle, palier 2 dans les principaux éléments de mathématiques : L’élève est capable de : - écrire, nommer, comparer et utiliser les nombres entiers, les nombres décimaux (jusqu’au centième) et quelques fractions simples ; 8

9 Repères pour la programmation des enseignements programmes de

10 Ossature de la séquence d’enseignement visant l’apprentissage du nombre décimal Référence au document d’application des mathématiques en cycle 3 des programmes de 2002  « Au cycle 3, une toute première approche des fractions est entreprise, dans le but d’aider à la compréhension des nombres décimaux. » (p.21).  « Les fractions et les nombres décimaux doivent d’abord apparaître comme de nouveaux nombres, utiles pour résoudre des problèmes que les nombres entiers ne permettent pas de résoudre de façon satisfaisante : problèmes de partage, de mesure de longueurs ou d’aires, de repérage d’un point sur une droite. » (p. 21)  « En dehors de la connaissance des fractions d’« usage courant », le travail sur les fractions est essentiellement destiné à donner du sens aux nombres décimaux envisagés comme fractions décimales ou sommes de fractions décimales (fractions de dénominateurs 10, 100, 1 000…). » (p.21).  « Les écritures à virgule prennent sens en étant mises en relation avec les fractions décimales, ce qui correspond à l’introduction historique des décimaux. Cela permet de comprendre que la valeur d’un chiffre est dix fois plus petite que celle du chiffre écrit immédiatement à sa gauche et dix fois plus grande que celle du chiffre qui est écrit immédiatement à sa droite (ce qui est vrai aussi bien pour la partie entière que pour la partie décimale). » (p. 22). 10

11 Ossature de la séquence d’enseignement visant l’apprentissage du nombre décimal Les grandes étapes de la séquence d’enseignement du nombre décimal :  fractions simples dans des situations de partages d’une grandeur ;  fractions simples comme mesures de longueurs ou d’aires par rapport à une unité ;  fractions simples et puis fractions décimales dans des situations de codage d’un point sur une droite graduée ;  écriture d’une fraction décimale sous la forme d’un nombre à virgule (ou écriture décimale). 11

12 Un point sur les fractions en référence aux IO (programme et socle) Fractions et nombres décimaux : rien en apparence dans les programmations des programmes de 2008 en CE2, mais des situations de partage dès le CE2 et l’emploi de fractions simples dans différents contextes même en cycle 2. En CM1, programmes de 2008 : « Fractions : - Nommer les fractions simples et décimales en utilisant le vocabulaire : demi, tiers, quart, dixième, centième. - Utiliser ces fractions dans des cas simples de partage ou de codage de mesures de grandeurs. » Question : Donner un exemple précis d’utilisation d’une fraction dans une situation de partage et un autre exemple dans une situation de codage. 12

13 L’enseignement des fractions simples  Premier sens de la fraction : La fraction exprime le partage d’une grandeur caractérisant un objet  Document d’application du cycle 3 de 2002 : « Les fractions telles que 1/2,1/4,1/8,1/16 … peuvent être illustrées ou évoquées en référence à des pliages successifs en deux de l’unité (on évitera d’utiliser les notations du type 1/2, avec la barre oblique). » 13  Objet Figure géométrique SolideTempsetc. Grandeurlongueurairevolumedurée ExempleLongueur d’un segment, périmètre d’un cercle, etc. Aire d’un disque ou d’un carré, etc. Volume d’un cylindre, d’un pavé, etc. Durée d’un intervalle de temps dans la journée RemarqueCommencer par ces deux grandeurs À reprendre à l’issue de la séquence

14 La fraction en tant que partage d’une grandeur caractérisant un objet mathématique • Question : A partir de la fiche 1, établir la règle utilisée par l’élève et évaluer ses résultats en lui donnant une note sur 10. • Question : Sachant que la fiche 2 a été réalisée par le même élève, à partir de la même règle, évaluer ses résultats en lui donnant une note sur

15 Fiche 1 : 15

16 16 Fiche 2 : « Fiche établie par le même élève, avec le même raisonnement »

17 Des exercices qui nécessitent une conception juste de la fraction 17

18 Les fractions simples déjà là depuis le cycle 2 • Dans le quotidien : – J’ai attendu un quart d’heure ; – Je serai prête dans une demi-heure ; – J’ai fait un quatre quarts ; – Prends un tiers de la pizza ; – La moitié de la pomme ; – En coupant une ficelle en deux morceaux de la même longueur et chaque morceau encore une fois en deux morceaux de la même longueur, chaque morceau représente un quart de la longueur de la ficelle donnée au départ. • En calcul mental : – Quel est le tiers de 21 ? – Quelle est la moitié de 36 ? – Quel est le quart de 100 ? – 8 est le quart d’un nombre, quel est ce nombre ? • En géométrie : – En traçant la diagonale d’un rectangle on le partage en deux demi-rectangles superposables ; – En traçant les diagonales d’un carré on peut le partager en quatre triangles superposables : chaque triangle est le quart du carré – En traçant les diagonales d’un losange on peut le partager en quatre triangles superposables : l’aire de chaque triangle est le quart de l’aire du losange (en cycle 3).

19 • À ne pas oublier : – Le partage doit être régulier : le partage de l’unité est fait en parts égales (même quantité, même longueur, même aire, etc.) – Une fraction-partage est un partage de « quelque chose » : il faut toujours préciser partage « de quoi ». • Les types d’activités proposés aux élèves : – Présenter des cas où l’élève doit faire le partage lui-même ; – Ne pas présenter que des fraction-partage inférieures à 1 ; – Pour comprendre la nécessité des partages réguliers, proposer dans les exercices quelques partages en parts inégales (voir exemple 1) ou des partages où le dénominateur ne correspond pas au partage présenté sur le dessin (voir exemple 2). La fraction partage d’une grandeur

20  Le professeur peut créer des obstacles didactique s, sources d’erreurs chez les élèves, s’il ne fait pas rencontrer les activités précédentes. Exemple 1: Quelle fraction de la figure représente la partie noire ? Exemple 2 : Complète la fraction pour qu’elle représente la partie grise du rectangle TRSP : … 4 LA FRACTION-PARTAGE d’une grandeur

21 Critique de manuels (à faire au td4) La Tribu des Maths, CM1 Magnard, 2009 (p.86)

22 Un exemple de séquence de la fraction simple vers le décimal en CM1 (ERMEL, INRP) 22

23 La fraction codage d’une mesure, une unité étant choisie Vidéo Une situation de référence : « chaque binôme a, en sa possession, une bande unité qui va lui servir à mesurer des segments (les bandes ont toutes la même longueur mais ont des largeurs différentes) ; vous devez écrire un message pour qu’un autre groupe trouve quel segment vous avez choisi parmi les 4 segments donnés. » 23

24 Un exemple de séquence de la fraction simple vers le décimal en CM1 (ERMEL, INRP) 24

25 Vérification des messages 25

26 Un autre outil pour partager un segment Le « guide-âne » • Partage d’un segment en 3 Partage d’un segment en 3 longueurs égales

27 • Partage du même segment en 5 longueurs égales

28 La fraction en tant que nouveau nombre • On vient de voir la fraction qui sert à coder la mesure d’une longueur, une unité de référence étant choisie. Dans le document d’application, on parle des fractions comme « des nouveaux nombres ». • Qu’est-ce qui permet de faire apparaitre la fraction, non pas comme un partage de quelque chose mais comme un nouveau nombre ? 28

29 On passe de la fraction-partage d’une grandeur à la fraction-nombre. La fraction-nombre peut être représentée par un point sur une droite graduée (c’est l’abscisse de ce point). LA FRACTION-NOMBRE Il y a un obstacle épistémologique du fait que l’on change de domaine mathématique : -1- Le segment rouge mesure les sept dixièmes de la longueur du segment noir : la fraction exprime (ou code) la mesure d’une longueur, l’unité étant la longueur du segment noir ; -2- Sept dixième correspond au point rouge sur la droite graduée : il s’agit d’un nombre. segment place

30 La fraction est un nouveau nombre 30 Sur la droite graduée une fraction correspond à un point : la fraction est l’abscisse du point de la droite graduée (programme de sixième). Le concept de fraction est très différent de la conception liée aux grandeurs.

31 Vérification des messages 31

32 Vérification des messages 32

33 La fraction décimale et les différentes écritures du nombre décimal • Un cas particulier de fraction est la fraction décimale, c’est-à-dire une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10. • La fraction décimale est le nombre décimal ! Une définition du nombre décimal est la suivante : a et n étant des nombres entiers naturels, tout nombre qui peut s’écrire sous la forme est un nombre décimal. • Tout nombre décimal possède une écriture décimale qui se compose d’une partie entière et d’une partie décimale finie séparées par une virgule. Exemple : toutes les écritures suivantes représentent le même nombre décimal :  324 centièmes ;  3 unités et 24 centièmes ;  3240 millièmes;  3 unités et 2 dixièmes et 4 centièmes ;  81 sur 25 ;  3,24 ; etc. Nous avons donné 6 noms différents au même nombre ! Et le jeu peut continuer !

34 Synthèse : différents langages 34 Dizaine de mille Unité de mille centainedizaineunitédixièmeCentièmemillième  Trois dixièmes c’est 0 unités et 3 dixièmes, c’est aussi 0,3  Une unité et quatre centièmes c’est 104 centièmes c’est aussi 1,04  La virgule sépare les unités des dixièmes

35 Les étapes de la séquence de la fraction vers le décimal • Fraction simple d’usage courant : demi ; tiers ; quart et aussi les fractions de dénominateurs 5, 6, 8 et même 16 • Fraction simple comme fraction partage d’une grandeur qui peut être : quantité d’un ensemble d’éléments ; longueur ; aire … • Fraction simple puis fraction décimale comme mesure d’une grandeur longueur ou aire, une unité étant choisie ; • Fraction simple comme fraction nombre : la fraction est alors l’abscisse d’un point de la droite graduée ; • Fraction décimale : fraction dont le dénominateur est égal à 10, 100, 1000, etc. (c’est une puissance de 10) ; • Les différentes écritures du nombre décimal et en particulier l’écriture décimale, c’est-à-dire l’écriture à virgule.

36 Remarques  faire varier la longueur de la bande unité U manipulée, pour que l’unité de référence ne se fige pas dans l’esprit des élèves ;  même chose avec la droite graduée, faire varier la longueur de l’unité ;  attention aux difficultés qui risquent de se construire si les décimaux sont introduits avec les mesures de longueur conventionnelles ou avec les prix ;  en revanche des reprises des fractions et des décimaux est possible après cette séquence avec d’autres grandeurs comme les prix, le système métrique, les contenances, les durées …  Toutes les situations de cette séquence peuvent être reprises en CM2 (et en sixième !) 36


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