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Le calcul mental aux cycles 2 et 3 Animation pédagogique du mercredi 10 février 2010 Collège de Ploeuc sur Lié

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1 Le calcul mental aux cycles 2 et 3 Animation pédagogique du mercredi 10 février 2010 Collège de Ploeuc sur Lié

2 Si on commençait par un calcul ! Sans calcul posé, trouvez le résultat de lopération suivante : 87² = 7569

3 Quelle est la procédure ? 87² = ² avec = 100 et = 74

4 Démonstration 100x²y = 100 – 2a -a Cas où x = 87 : 87² = (100 x 74) + 13² = = 7569 Effectuer maintenant : 89²94²85² x² = (100 – a)²x² = 100² + a² - 200a x² = 100 (100 – 2a) + a²x² = 100 y + a²

5 Pourquoi cet exercice ? Pour vous mettre dans la situation dun élève rencontrant un calcul dont la procédure lui est inconnue et lui semble à priori complexe. « Cest pas facile !! » Montrer que des pré-requis sont indispensables : carrés des nombres jusquà 15 (si x > ou = 85) compléments à 100 soustraction sur des nombres 100 De même pour un élève, 54 x 9 : distributivité 54 x 9 = 54 x (10 – 1) décomposition de 54 en passage par la centaine inférieure 540 – 40 – 14 Un entraînement est nécessaire pour fixer la procédure Montrer que le calcul mental nécessite une attention soutenue. Il permet de recentrer le groupe-classe et permet à lenseignant de se poser comme expert devant les élèves. Vous : plaisir de savoir maintenant effectuer ce type de calcul. un certain plaisir intellectuel (peut-être pas pour tous !).

6 On pourrait aller plus loin… 987² Remarque : Cest plus facile que 87² !! idem pour une séance avec des élèves : - 9 puis – 99 puis - 19 x 9 puis x 99 puis x 19 … = ² =

7 Point sur les différentes appellations rencontrées dans les programmes ou les différents types de calcul

8 Première distinction Les programmes distinguent: Calcul mental Aucun moyen de poser lopération et pas de calculatrice à disposition Calcul posé Calcul instrumenté Possibilité dutiliser une technique opératoire Calculatrice à disposition

9 Le calcul mental Le plus pratiqué Pratiqué occasionnellement Très peu pratiqué le calcul automatisé le calcul réfléchi avec recherche du résultat le calcul réfléchi avec recherche du résultat approché

10 Calcul mental Calcul automatisé Mémorisation de résultats. Aucun écrit intermédiaire Calcul réfléchi Résultat Approché Ordre de grandeur Contrôle dun résultat Résultat exact Mise en place de procédures Ecrits intermédiaires

11 Définitions du calcul mental Lexpression « calcul mental » signifie quentre lénoncé du problème et lénoncé du résultat, on renonce à utiliser toute opération posée (technique opératoire usuelle). Cela nimplique pas quaucun support écrit ne puisse intervenir dans la consigne, dans la formulation du résultat voire même dans le cours du calcul (doc daccompagnement des programmes). Cest un moment privilégié de lapprentissage pour : enrichir les conceptions numériques et leur domaine de disponibilité, accroître la familiarisation de lélève avec les nombres et les opérations, faire fonctionner et sapproprier les propriétés de ces dernières, enrichir, diversifier, étendre les procédures de calcul. (Denis Butlen et Monique Pézard) Le calcul mental nécessite une intuition des nombres ainsi quune part dinitiative et de choix. (doc daccompagnement des programmes)

12 Un exemple de gestion de lhétérogénéité Au sein dun même niveau : Exemple dun prof de techno en collège Exemple dun enseignant de Saint-Brieuc Anticiper plutôt que remédier

13 Vive lesprit critique Utilisez-vous tous les mêmes techniques opératoires ? Effectuez les 4 opérations suivantes : 46 x 3452 x x x 37 Evidemment, un élève posera les 4 opérations. Par contre vous, adultes maîtrisant le calcul mental, vous navez pas été sans remarquer que 76 x 25 pouvait se calculer de tête ! 76 x 25 = (76 ÷ 4) x 100 = 19 x 100 = « Lexpérience atteste, depuis des dizaines dannées, que les enfants ont tendance à calculer mentalement en appliquant les algorithmes écrits. Ceci est dû très probablement à un établissement insuffisant du calcul mental. » (doc daccomp. des programmes)

14 De limportance du calcul mental…

15 Pourquoi instaurer quotidiennement des séances de calcul mental ? Analyse de vos réponses Quelques pistes : les problèmes où lélève se débat avec les nombres au lieu de se focaliser sur son raisonnement, les résultats incohérents dus à une mauvaise maîtrise du nombre, lamélioration de lhabileté intellectuelle, le plaisir intellectuel, On peut, pour le calcul mental, distinguer deux fonctions : une fonction sociale une fonction pédagogique

16 Une fonction sociale Il est dabord un calcul dusage. Il sagit de mettre en place des moyens efficaces de calculer, utiles dans la vie courante, en labsence de supports ou dinstruments. Dans cette perspective, trois types dobjectifs peuvent être distingués : lautomatisation des calculs simples, orientée vers la production de résultats immédiatement disponibles : récupération en mémoire ou reconstruction instantanée, procédures automatisées. la diversification des stratégies de calcul complexe : calcul réfléchi ou raisonné. une première maîtrise du calcul approchée, souvent utilisée dans la vie courante et dont lapprentissage doit se poursuivre au collège.

17 Une fonction pédagogique En mathématiques, il joue un rôle prépondérant car : Il permet aux élèves de construire et de renforcer leurs premières connaissances relatives à la structuration arithmétique des nombres entiers naturels (relation additives, ou multiplicatives entre les nombres). La pratique du calcul réfléchi sappuie, le plus souvent implicitement, sur les propriétés des opérations et, en retour, en assure une première compréhension. Les premiers maniements des notions mathématiques (ceux qui en permettent la compréhension initiale) sont le plus souvent fondés sur le recours au calcul mental (proportionnalité, fractions,…). Le calcul réfléchi nécessite lélaboration de procédures originales et, par là, contribue au développement des capacités de raisonnement. Le calcul mental apporte souvent une aide à la résolution de problèmes, en permettant de ramener un problème à un champ numérique dans lequel les opérations deviennent plus familières (essai avec des nombres plus petits).

18 On peut en conclure… que le temps passé à faire du calcul mental est du temps de gagné dans la plupart des autres activités mathématiques !

19 Quelle est la différence entre calcul mental et calcul posé ? Calcul posé : travail sur les chiffres des nombres Calcul mental : travail sur les nombres, et donc sur la connaissance des nombres exemple : En utilisant la technique opératoire, certains élèves vont peut-être trouver un résultat à 4 chiffres sans que cela leur pose question. Si on demande à un de ces élèves de revoir son calcul, il va très souvent dabord réinterroger cette technique. Il vérifiera dabord la pertinence de chaque chiffre du résultat et non le résultat lui-même. Or, le résultat est bien 384 ( nombre ) et non ( suite de chiffres ) Si, par contre, lélève a une bonne maîtrise du nombre, et arrondit aux centaines les plus proches, il sait que le résultat est compris entre 300 et 500.

20 Des constats dans les pratiques de classe Daprès le rapport IGEN de 2006 (maths au cycle 3) : Le temps consacré au calcul mental en France est massivement inférieur à une heure par semaine. Lors des observations de lInspection générale, seule une séance sur trois démarre par un temps de calcul mental. De plus : Un grand nombre de séances consacrées au calcul automatisé. Quelques séances consacrées au calcul réfléchi (peu de structuration des procédures). Très peu de travail autour du calcul approché.

21 La mémoire ou plutôt les mémoires On peut en distinguer deux : la mémoire à court terme ou mémoire de travail la mémoire à long terme Si elles sont puissantes, elles ne sont pas élastiques !

22 La mémoire à court terme Jeu : « le train des nombres » (de 0 à 9) une personne du groupe dit un nombre une deuxième répète ce nombre puis en dit un autre (de façon aléatoire) …et ainsi de suite, jusquà la première erreur Elle a une capacité limitée ( jusquà 7 unités environ ) Jeu : redire la dernière suite de nombres proposée Logiquement, échec ! La mémoire de travail est volatile (3 à 30 s)

23 La mémoire à long terme Jeu : mémorisez la suite de nombres suivants : Cette suite dépasse la capacité de la mémoire de travail. Quelquun a-t-il mémorisé cette suite ? Comment as-tu fait ? Cest la suite des nombres premiers démarrant à 13 ! Dans la mémoire de travail, divisée en 7 « cellules », seules la première est utilisée pour conserver le nombre 13 et la deuxième pour mémoriser 43. La mémoire de travail va chercher linformation dans la mémoire à long terme qui connaît les « premiers » nombres premiers ou qui peut reconstruire cette suite. On a intérêt à développer la mémoire à long terme afin déviter la surcharge de la mémoire de travail. Rem : certains « phénomènes » sont capables de mémoriser des dizaines de pages de chiffres ! (construction dun réseau de relations éminemment complexe entre les nombres ; nombres qui deviennent des images mentales…)

24 « Linstinct grégaire » des nombres Abus de langage ? Toujours est-il que le nombre na de signification que par la mise en place de relations entre les nombres. Plus le réseau de relations est dense, plus lélève a dhabiletés dans la manipulation du nombre. Par exemple : Quart de 100 moitié de 50 Carré de impair Double de 12,5 … Probablement ! 25

25 Des nombres clés Certains nombres sont utiles pour le calcul mental. 25 est un nombre intéressant, on la vu précédemment. Mais bien entendu, les multiples de 10, 100… le sont aussi, de même que 50. 6, 12, 15 et 30 le sont également dans le système sexagésimal. Et 33, ainsi que 66 (« presque » tiers de 100, 200…) …

26 Chic ! Bientôt la pause… Pour lanecdote, pourquoi utilisons-nous du papier au format 21 x 29,7 dit A4 ? 29,7 / 21 ½ (ou racine carrée de 2) Ce rapport reste bien entendu le même pour du papier au format A5 ou au format A3. En reformulant la question afin de donner un indice, quel rapport existe-t-il entre ces deux nombres ?

27 Une nomenclature des problèmes Réalisée par Denis BUTLEN Cliquer ici pour ouvrir le document

28 Quelques outils pour manipuler des nombres de manière ludique… et néanmoins efficace. La suite de Kaprekar (mathématicien indien) Le devin Le quinze vainc Le Sudoku Zut : ce nest pas un jeu numérique ! Le jeu du 44 (rien à voir avec la célèbre liqueur) Leffaceur Le compte est bon, etc.


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