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Introduction aux équations différentielles ordinaires (EDO) E. Grenier.

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1 Introduction aux équations différentielles ordinaires (EDO) E. Grenier

2 Exemple: dynamique des populations

3 I.1. Dynamique des populations •Population de N(t) individus au temps t •Décrire l’évolution de cette population: –Hypothèses sur la reproduction / prédation –Mise en équation –Simulations numériques –Discussion •Evolution de N ∂t N = naissances – décès •Le modèle le plus simple (Euler) –Le nombre de naissances est proportionnel à la population Naissances = a N –Le nombre de décès est proportionnel à la population Décès = b N –Bilan ∂t N = ( a – b ) N –Résolution N(t) = N(0) exp( (a-b) t).

4 I.1. Dynamique des populations: Euler –Résolution N(t) = N(0) exp( (a-b) t). –Discussion •a > b : natalité plus importante que la mortalité: croissance exponentielle de la population. •a < b: natalité plus faible que la mortalité: décroissance exponentielle de la population. –Discussion du modèle: •Simple à mettre en équations et à résoudre •La croissance exponentielle n’est pas réaliste: limitations dues au milieu ambiant •Pour être plus réaliste il faut faire dépendre a et b de N … •Changement d’hypothèses de mises en équations pour avoir un comportement plus réaliste. –Hypothèses à ajouter: limitation de la croissance dans un milieu fini.

5 I.1. Dynamique des populations: modèle logistique •Le modèle logistique (Verhulst, 1836): les nouvelles hypothèses –Hypothèse de milieu limité: le milieu peut nourrir K individus –Si N < K: il y a suffisamment de ressources: la population augmente car la natalité est supérieure à la mortalité. –Si N > K: il n’y a pas assez de ressources: des individus meurent de faim. La mortalité devient supérieure à la natalité. –Si N << K: cas d’Euler: croissance proportionnelle à N. •Mise en équations: ∂t N = f(N) où f(N) > 0 si N < K f(N) K. f(N) ~ c N si N << K De plus, il n’y a pas de création spontanée d’individus: f(0) = 0. •Choix de f: le f le plus simple satisfaisant ces hypothèses est f(N) = r N (1 – N/K) où r est une constante.

6 I.1. Dynamique des populations: modèle logistique •Equation logistique: ∂t N = f(N) = r N (1 – N/K) •Discussion: –Parfois f(N) est donné par des mesures expérimentales. –Si on connaît bien la dynamique de reproduction / mort, on peut parfois en déduire f, mais il faut pour cela des hypothèses supplémentaires –La fonction proposée est la plus simple qui fonctionne •Signification des constantes –K: capacité du milieu: nombre d’individus qu’il peut nourrir. –r: •c’est l’inverse d’un temps. •Si N << K, f(N) ~ rN donc N(t) ~ N(0) exp(r t) •C’est la vitesse de croissance de la population quand N << K.

7 I.1. Dynamique des populations: modèle logistique •Equation logistique: ∂t N = f(N) = r N (1 – N/K) •Les solutions analytiques existent ….. •Allures des solutions: p2

8 I.1. Dynamique des populations: équilibre stable / instable •Equation logistique : ∂t N = f(N) = r N (1 – N/K) •Etat d’équilibre: N* tel que f(N*) = 0. •Notion de stabilité : –Équilibre stable: après une petite perturbation, le système revient à N* –Equilibre instable: une petite perturbation déstabilise le système. •Equation des petites perturbations: N(t) = N* + u(t) ∂t u = f(N*+u) = f ’(N*) u + O(u^2) soit en négligeant les termes de taille u^2 ∂t u = f ’(N*) u •Discussion: –f ’ (N*) > 0 : croissance de u : N* est un équilibre instable –f ’ (N*) < 0: décroissance exponentielle de u: N* est un équilibre stable. •Application à la logistique: deux états d’équilibre: 0 et K –f ’ (0) > 0 donc 0 est instable –f ’ (K) < 0 donc K est stable

9 I.2. Dynamique des populations: modèles avec prédation •Ajout d’un phénomène : la prédation. •Exemple: vers dans des arbres, mangés par des oiseaux. •Modélisation: –Modèle simple: pas d’équation sur le nombre de prédateurs –P(n) nombre d’individus morts par prédation par unité de temps ∂t N = f(N) – P(N) –Hypothèses sur la prédation: un premier exemple: •La prédation est proportionnelle au nombre de vers •Sauf s’il y a beaucoup de vers: effet de saturation: les oiseaux se gênent entre eux P(N) = BN / (A + N) •Système obtenu ∂t N = r N (1 – N/K) – BN / (A+N)

10 I.2. Dynamique des populations: modèles avec prédation •Modélisation: –Hypothèses sur la prédation: un second exemple: •La prédation est proportionnelle au nombre de vers •Sauf s’il y a beaucoup de vers: effet de saturation: les oiseaux se gênent entre eux •Sauf s’il y a trop peu de vers: les oiseaux ne se déplacent pas: P(N) = BN^2 / (A^2 + N^2) •Système obtenu ∂t N = r N (1 – N/K) – BN^2 / (A^2+N^2)

11 I.2. Dynamique des populations: modèles avec prédation •Etats d’équilibre du second modèle: r N* (1 – N*/K) – BN*^2 / (A^2+N*^2)=0 –soit N* = 0 –Soit r (1 – N*/K) (A^2 + N*^2) – BN* = 0 qui est une équation polynomiale de degré 3 qui a •Soit trois racines réelles •Soit une racine réelle et deux racines complexes conjuguées.

12 II.1. Populations en interaction: Lotka Volterra •Deux populations: une de proies, une de prédateurs •N(t) nombre de proies, P(t) nombre de prédateurs •Le modèle de Lotka Volterra: –Naissances des proies proportionnelles à N –Morts par prédation: proportionnel à N et à P –Naissances de prédateurs: proportionne à P et à N –Mort de prédateur proportionnelle à P (mort naturelle). •Mise en équations ∂t N = a N – b N P ∂t P = c N P – d P •Remarque: pas de limitation par le milieu nourrisant les proies (herbivores). •Propriété remarquable: soit α = d / a. H = α c N / d + b P / a + log (N^α P) ne dépend pas du temps.

13 II.1. Populations en interaction: Lotka Volterra

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15 II.2. Populations en interaction: Lotka Volterra modifié •Deux populations: une de proies, une de prédateurs •N(t) nombre de proies, P(t) nombre de prédateurs •Le modèle de Lotka Volterra: –Modèle logistique + prédation pour les proies –Modèle logistique pour les prédateurs, la capacité du milieu étant proportionnelle au nombre de proies. •Mise en équations ∂t N = r N (1 – N/K) – B N P / (A + N) ∂t P = k (1 – h P/N) •Remarque: plus de quantité conservée comme H. •Notion de cycle limite: les trajectoires « s’enroulent » autour d’une solution périodique.

16 II.2. Populations en interaction: Lotka Volterra modifié

17 II.3. Populations en interaction: compétition •Deux populations en compétition pour la même ressource. •N(t) nombre d’individus de la première espèce, P(t) nombre d’individus de la seconde espèce. •Modélisation: –Les espèces se gênent –La capacité du milieu est partagée par les deux espèces •Mise en équations ∂t N = rn N (1 – N/ Kn – b P /Kn) ∂t P = rp P (1 – P/Kp – b’ N/Kp) •Signification des constantes: –Kn : nombre d’individus de la première espèce que peut nourrir le milieu –Kp : nombre d’individus de la seconde espèce que peut nourrir le milieu –bP: fraction des ressources du milieu utilisées par l’espèce 2 (y compris la gêne) –b’ N: fraction du milieu utilisé par l’espèce 1. •Etats d’équilibre: N + b P = Kn P + b’ N = Kp

18 II.3. Populations en interaction: compétition •Changement d’inconnues: u = N/Kn, v = P/Kp a = b Kp/Kn, a’ = b’ Kn/Kp •Discussion: principe d’exclusion compétitive :

19 II.4. Populations en interaction: mutualisme •Deux populations en symbiose se facilitent mutuellement l’accès à la ressource. •N(t) nombre d’individus de la première espèce, P(t) nombre d’individus de la seconde espèce. •Modélisation: –Les espèces en symbiose –La capacité du milieu est partagée par les deux espèces •Mise en équations ∂t N = rn N (1 – N/ Kn + b P /Kn) ∂t P = rp P (1 – P/Kp + b’ N/Kp) •Signification des constantes: –Kn : nombre d’individus de la première espèce que peut nourrir le milieu –Kp : nombre d’individus de la seconde espèce que peut nourrir le milieu –bP: fraction des ressources du milieu rendue utilisable par l’espèce 2 par symbiose. –b’ N: fraction du milieu rendue utilisable par l’espèce 1.

20 II.4. Populations en interaction: mutualisme

21 Exemple: épidémies

22 Epidémies: SIR •Maladie contagieuse. •Trois populations: –S(t): nombre d’individus sains –I(t): nombre d’individus malades –R(t): nombre d’individus morts, ou guéris et immunisés contre la maladie. •Modélisation: –Contamination proportionnelle au nombre de rencontres entre individus sains et malades. –Les malades ont une certaine probabilité de guérir par unité de temps. •Mise en équations ∂t S = - r S I ∂t I = r S I – a I ∂t R = a I •Remarque: S + I + R ne dépend pas du temps (conservation du nombre d’individus)

23 Epidémies: SIR

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25 Petits systèmes d’EDOs

26 Une EDO •u un scalaire. •Comportements possibles –Explosion: réaction autocatalysée ∂t u = u^2 Solution en 1/ (T_0 – t) –Convergence vers un équilibre stable: ∂t u = f(u) u -> u* avec f(u*) = 0 convergence à vitesse exponentielle généralement –Solution constante, reste sur un équilibre instable (exceptionnel)

27 Une EDO: un exemple •Exemple: comportements possibles pour ∂t u = u (1 – u)

28 Une EDO: pas de comportement oscillant possible •Pas de solution périodique possible pour une seule EDO: •Preuve: ∂t u = f(u) On multiplie par ∂t u ce qui donne (∂t u)^2 = f(u) ∂t u Que l’on intègre entre t et t + T ∫ (∂t u)^2 = ∫ f(u) ∂t u Soit F définie par F’ = f Alors la dérivée de F(u(t)) vaut f(u) ∂t u donc la seconde intégrale vaut F(u(t+T)) – F(u(t)) = 0 Donc la première intégrale est nulle donc u est constante !

29 Deux EDO •u et v deux scalaires. ∂t u = f(u,v) ∂t v = g(u,v) •Comportements possibles –Explosion –Convergence vers un équilibre stable: u -> u* et v -> v* avec f(u*,v*) = g(u*,v*) = 0 convergence à vitesse exponentielle généralement –Solution constante, reste sur un équilibre instable (exceptionnel) –Convergence vers une solution périodique

30 Deux EDO •Exemple: solution périodique stable ∂t (u + i v) = i*(u+i v) + (u+i v)*(1 – u^2 – v^2) cycle limite stable u^2 + v^2 = 1

31 Deux EDO: cas linéaire •u et v deux scalaires. ∂t u = a u + b v ∂t v = c u + d v •Solution explicite: –Matrice M de coefficients a b c d –Recherche de vecteurs propres et valeurs propres M e_1 = λ_1 e_1 M e_2 = λ_2 e_2 (sauf cas particulier λ_1 = λ_2). –Solution est de la forme (u(t),v(t)) = a_1 e_1 exp(λ_1 t) + a_2 e_2 exp(λ_2 t). –Comportement asymptotique dépend des signes des parties réelles de λ_1 et λ_2 –0 est stable si et seulement si Re(λ_1) < 0 et Re(λ_2) < 0.

32 Deux EDO: cas linéaire: classification

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34 Trois ODE •Trois scalaires u, v et w •Les comportements précédents ne sont pas les seuls possibles •Chaos possible: exemple le plus simple: le système de Lorenz: ∂t x = s (y-x) ∂t y = r x – y – xz ∂t z = x y – bz avec s = 10, r = 28, b = 8/3

35 Trois ODE: Lorenz

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37 Plusieurs ODE •Classification impossible … •Notion d’attracteur étrange •Grande variabilité en fonction des paramètres •Etude numérique est la seule possible en général •Sauf cas très rares, pas de solution explicite aux équations différentielles ordinaires !

38 Simulations numériques

39 Schéma d’Euler (explicite) •Le schéma le plus simple pour résoudre ∂t u = f(u). •Principe: –Calcul approché de u(t) pour t = 0, k, 2k, 3k, …. où k est le pas de temps. –On note u_n la valeur approchée de u au temps n k. –Erreur, d’autant plus petite que k est petit –Pour évaluer u au temps T il faut calculer u_(T/k) donc faire T/k calculs –Plus k est petit plus le calcul est précis et plus il est long (logique !) •Le schéma d’Euler explicite –Approche ∂t u au temps n k par ( u_(n+1) – u_n ) / k –Schéma u_(n+1) = u_n + k f(u_n) –u_0 donnée initiale –Calcul itératif de u_(n+1) en fonction de u_n

40 Schéma d’Euler (explicite) •Implémentation informatique de –∂t u = 2 u (1 – u) –u(0) = 0.1 •Programme Matlab ou R: u_0 = 0.1;% donnée initiale k = 0.01;% pas de temps Tmax = 5;% temps maximal de calcul u = zeros(Tmax/k,1);% vecteur qui va contenir la solution u(1) = u_0; for J=1:Tmax/k-1,% boucle de calcul u(J+1) = u(J) + k*2*u(J)*(1-u(J)); end plot(u);% affichage de la solution •Démonstration: programme eulerexplicite.m

41 Schéma d’Euler (explicite) •Précision: proportionnelle à k

42 Schéma d’Euler (explicite) •Limitations: –Erreur: proportionnelle à k … peut mieux faire -> Runge Kutta –Echoue sur les problèmes « raides ». Exemple ∂t u = N f(u) où N est très grand: réaction très rapide. •Avantages: –Très simple à mettre en œuvre –En particulier lorsque f est très complexe •Autres schémas: –Runge Kutta: ordre plus élevé: erreur en k^4 –Euler implicite: supporte mieux les problèmes raides.

43 Schéma d’Euler (implicite) •Le schéma d’Euler implicite –Approche ∂t u au temps n k par ( u_(n+1) – u_n ) / k –Schéma u_(n+1) = u_n + k f( u_(n+1) ) –u_0 donnée initiale –Implicite: il faut résoudre une équation pour obtenir u_(n+1) –Equation u_(n+1) - k f( u_(n+1) ) = u_n –Résolution de cette équation par une méthode de Newton

44 Runge Kutta •Schéma plus complexe u_(n+1) = u_n + k (k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4) /6 avec k_1 = f (t_n, x_n) k_2 = f (t_n + k⁄2, x_n + k⁄2 k_1) k_3 = f (t_n + k⁄2, x_n + k⁄2 k_2) k_4 = f (t_n + k, x_n + k k_3) •Ordre 4: erreur en k^4 •Erreur beaucoup plus petite … mais schéma plus complexe ! •Très souvent implémenté dès que l’on veut plus de précision que pour Euler.

45 Autres méthodes •Schémas d’ordres plus élevés: précision en k^N avec N aussi grand que l’on veut … mais schéma plus complexes. •Schémas implicites •Schémas avec contrôle a posteriori d’erreur. •Bilan: –Débuter par Euler –Si nécessaire passer à Runge Kutta 4 –En cas d’échec … consulter un spécialiste !

46 D’autres modèles

47 Equations avec retard •Dynamique des populations: l’évolution de la population N au temps t dépend de N(t – T) où T est le temps de gestation pour les naissances, et de N(t) pour la mortalité •Epidémie: idem: T temps d’incubation •La dérivée de N(t) est une fonction de N(t – T) et de N(t) ∂t N(t) = f( N(t), N(t-T) ) •Exemple: une variante de l’équation logistique ∂t N(t) = r N(t) ( 1 – N(t-T) / K) avec K capacité du milieu •Solutions oscillantes possibles: exemple ∂t N(t) = π N(t-T) / 2T a pour solution N(t) = A cos (π t / 2 T) périodique de période 4T.

48 Equations avec retard: exemple: mouches et moutons •Moutons australiens et mouches … •Oscillations avec une période 35 à 40 jours.

49 Equations avec retard: respiration de Cheyne Stokes •Physiologie: –Respiration anormale –Périodes d’apnée –L’amplitude de la respiration augmente et diminue régulièrement, avec des périodes d’apnée.

50 Equations avec retard: respiration de Cheyne Stoke •C(t) niveau de CO2 dans les artères •La ventilation V(t) dépend de C(t) avec un retard T V = Vmax c(t-T) / [ a + c(t-T) ] •Vmax : ventilation maximale, T temps de retard •Evolution de c: ∂t C(t) = p – b V C(t) ce qui donne ∂t C(t) = p – b Vmax C(t) C(t-T) / [ a + c(t-T) ]

51 Equations avec retard: respiration de Cheyne Stoke •Simulation numérique

52 Equations avec retard: respiration de Cheyne Stoke •Changement de variables: x = c/a, V* = V/Vmax, α = abVmax/p T* = pT/a, t* = pt/a ce qui donne ∂t x(t) = 1 – α x(t) x(t-T) / [1 + x(t-T)] •Etat stationnaire: x indépendant du temps, égal à x* α x*^2 = 1 + x* •Linéarisation u = x – x* supposé très petit ∂t u(t) = - α V(x*) u(t) – α x* V’(x*) u(t-T) on cherche des solutions u(t) = u_0 exp(λ t) ce qui donne λ = - α V(x*) – α x* V’(x*) exp(-λ T) équation en λ.

53 Equations avec retard: cellules sanguines •Dynamique du nombre de globules rouges ou blancs. •C(t) densité de cellules •Evolution: –Mortalité –Création par la moelle épinière, avec retard •Equation ∂t C(t) = f(C(t-T)) – g C(t) où g est une constante et f(x) = λ a^m x /(a^m + x^m).

54 Equations avec retard: cellules sanguines

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