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La géométrie histoire et épistémologie par Jean-Pierre Friedelmeyer Irem de Strasbourg Deuxième Partie : Vers les géométries non euclidiennes et une autre.

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2 La géométrie histoire et épistémologie par Jean-Pierre Friedelmeyer Irem de Strasbourg Deuxième Partie : Vers les géométries non euclidiennes et une autre conception de la géométrie

3 Un grain de sable : le postulat des parallèles Droites parallèles (définition 23 chez Euclide ) : « sont celles qui étant dans un même plan et indéfiniment prolongées de part et dautre ne se rencontrent pas, ni dun côté, ni de lautre » Diapo 39

4 1.mener une ligne droite de tout point à tout point. 2.prolonger continûment en ligne droite une ligne droite limitée. 3.Décrire un cercle à partir de tout centre et au moyen de tout intervalle. 4.Et que tous les angles droits soient égaux entre eux. Demandes (ou postulats) Diapo 40

5 Le cinquième postulat ou postulat des parallèles 5. [PP] : et que si une droite tombant sur deux droites fait les angles intérieurs et du même côté plus petits que deux droits, les deux droites, indéfiniment prolongées, se rencontrent du côté où sont les angles plus petits que deux droits. Diapo 41

6 Où était lerreur ? 2/5 = 16/40 diff. 3/8 = 15/40 109,9° + 68,3° = 178,2° < 180° Diapo 42

7 Diapo 43

8 La critique de Proclus (412 – 485) Proclus de Lycie, un philosophe néoplatonicien et le dernier maître du Lycée à Athènes, écrit au sujet du [PP] : « le fait que des lignes droites se rencontrent finalement lorsquelles sinclinent de plus en plus lune sur lautre dans leur prolongement est probable et non inéluctable, à moins quun raisonnement ne démontre que le fait est vrai pour des lignes droites. En effet certaines lignes, indéfiniment inclinées lune sur lautre, sont asymptotes (…) ; dès lors ce qui est possible pour ces dernières ne lest-il pas aussi pour les lignes droites ?(…) » Diapo 44

9 La géométrie absolue Les propositions 1 à 28 du livre I des Éléments ne dépendent pas du [PP]. Ce sont des propositions de la géométrie absolue (terme introduit par Bolyai en 1832) Diapo 45

10 Le rôle central de la proposition 29 : impossible de la démontrer sans recours au [PP] Une ligne droite tombant sur des droites parallèles fait des angles alternes égaux entre eux et aussi langle extérieur égal à langle intérieur et opposé, et les angles intérieurs et du même côté égaux à deux droits. Une ligne droite tombant sur des droites parallèles fait des angles alternes égaux entre eux et aussi langle extérieur égal à langle intérieur et opposé, et les angles intérieurs et du même côté égaux à deux droits. Diapo 46

11 Durant 20 siècles, de multiples tentatives de démonstration À partir des axiomes et théorèmes de la géométrie absolue En partant de la négation du [PP] et en cherchant une contradiction Diapo 47

12 Propriétés équivalentes au postulat des parallèles Dun point donné on peut mener une parallèle et une seule à une droite donnée : Proclus ; Playfair, Dun point donné on peut mener une parallèle et une seule à une droite donnée : Proclus ; Playfair, ( ) Étant donnée une figure, il existe une figure semblable de taille arbitraire ; Wallis, ( ) ; Étant donnée une figure, il existe une figure semblable de taille arbitraire ; Wallis, ( ) ; Étant donnés trois points non alignés, il existe un cercle passant par ces trois points ; Legendre, Étant donnés trois points non alignés, il existe un cercle passant par ces trois points ; Legendre, (1752 –1833) ; Bolyai Si dans un quadrilatère trois angles sont des angles droits, le quatrième aussi est un angle droit ; Clairaut, ( ) Si dans un quadrilatère trois angles sont des angles droits, le quatrième aussi est un angle droit ; Clairaut, ( ) On peut construire un triangle ayant une aire donnée, arbitrairement grande ; Gauss, ( ) On peut construire un triangle ayant une aire donnée, arbitrairement grande ; Gauss, ( ) Diapo 48

13 Lhypothèse implicite de Wallis : Pour toute figure, il existe une figure semblable, aussi grande que lon veut Diapo 49

14 Démonstration On donne trois droites a, b, c, telles que a et b fassent avec c des angles dont la somme est inférieure à deux droits. En déplaçant b de façon que langle avec c reste constant jusquà b, elle devra nécessairement couper à un moment donné la droite a en un point C1. Nous pouvons alors construire un triangle ABC semblable à AB1C1, ce qui montre que les droites a et b se coupent (en C) Diapo 50

15 La question de fond : quest ce quune droite ? : Une ligne est une longueur sans largeur. Une ligne droite est celle qui est placée de manière égale par rapport aux points qui sont sur elle. Définition par Euclide : Une ligne est une longueur sans largeur. Une ligne droite est celle qui est placée de manière égale par rapport aux points qui sont sur elle. : la ligne droite est le plus court chemin dun point à un autre. Définition par Legendre (1752 – 1833) : la ligne droite est le plus court chemin dun point à un autre. Diapo 51

16 Quel est le chemin le plus court sur le globe terrestre ? Diapo 52

17 Le scandale de la géométrie "On parviendrait plus facilement à la trouver (la démonstration du [PP] ), si on avait une bonne définition de la ligne droite ; par malheur cette définition nous manque "On parviendrait plus facilement à la trouver (la démonstration du [PP] ), si on avait une bonne définition de la ligne droite ; par malheur cette définition nous manque C'est cette non-définition de la droite qui conduit au scandale de la géométrie comme l'explique d'Alembert : "La définition et les propriétés de la ligne droite, ainsi que des lignes parallèles, sont donc l'écueil et le scandale des éléments de Géométrie "La définition et les propriétés de la ligne droite, ainsi que des lignes parallèles, sont donc l'écueil et le scandale des éléments de Géométrie Diapo 53

18 Peut-on développer une théorie géométrique déductive sans le [PP] ? Lobatchevskij (1829) : Théorie des parallèles Toutes les droites tracées par un même point A peuvent se distribuer par rapport à une droite donnée (BC) en deux classes : - celles qui coupent (BC), telle (AF) -celles qui ne coupent pas (BC), telle la perpendiculaire (AE) - La droite (AH) qui forme la limite commune de ces deux classes est dite parallèle à (BC) Lobatchevskij développe la géométrie hyperbolique Diapo 54

19 J. Bolyai développe le concept de géométrie absolue dans : La science absolue de lespace (1832) : Jai créé un autre monde, un nouveau monde à partir de rien Par un point donné on peut construire plusieurs parallèles à cette droite. Par un point donné on peut construire plusieurs parallèles à cette droite. Les seules figures semblables sont les figures égales. Les seules figures semblables sont les figures égales. Par trois points non alignés, il ne passe pas nécessairement un cercle. Par trois points non alignés, il ne passe pas nécessairement un cercle. La somme des angles dun triangle est strictement inférieure à deux droits. La somme des angles dun triangle est strictement inférieure à deux droits. Laire dun triangle est bornée : Aire = k(π – somme des angles) Laire dun triangle est bornée : Aire = k(π – somme des angles) Diapo 55

20 Comment se représenter une telle géométrie ? Le modèle de Poincaré (1854 – 1912) Diapo 56

21 Droites et cercles dans un modèle de Poincaré Diapo 57 Cette construction et les suivantes ont été réalisées grâce au site NonEuclidNonEuclid

22 Les parallèles de Lobatchevskij Diapo 58

23 Langle de parallélisme de Lobatchevskij Diapo 59

24 Diapo 60

25 Diapo 61

26 Diapo 62

27 La quadrature chez les Grecs La figure emblématique du concept grec de quadrature pourrait être celle représentée ci- contre : laire limitée par la lunule formée dun demi cercle et dun quart de cercle est exactement égale à laire du carré construit à partir des deux centres des cercles. Réaliser la quadrature dune figure plane cest construire (avec la règle et le compas seuls) le carré qui a la même aire que celle délimitée par cette figure plane. Diapo 63

28 Un exemple de quadrature, en forme de puzzle le puzzle de Dudeney (1857 – 1931) Diapo 64

29 Diapo 65

30 Quadrature du cercle en géométrie hyperbolique Le carré ABJG a ses quatre côtés égaux et ses quatre angles égaux chacun à π/4. Son aire mesure π Diapo 66

31 Carrés en perspective Diapo 67

32 Paolo Ucello : Le miracle de la profanation de lhostie Diapo 68

33 Pavage du plan par Escher Diapo 69

34 Une figure de Escher Diapo 70

35 Deux types de développement Géométrie euclidienne Les axiomes sont le terme final du développement historique Les théorèmes se sont constitués avant leur organisation logique, par lexpérience lobservation, en accord avec lintuition sensible La géométrie est un abstrait par rapport à lintuitif Géométrie non euclidienne Ce sont les axiomes (et surtout le [PP]) qui sont au départ du développement historique Le commencement historique coïncide avec le début logique. Les théorèmes sont issus du développement logique, en rupture avec lintuition concret modèles La géométrie devient un concret par rapport au logique, au moyen des modèles Diapo 71

36 Définition axiomatique moderne Hilbert (1862 – 1943) : Les fondements de la géométrie (1899) Nous pensons trois systèmes différents de choses : nous nommons les choses du premier système des. Nous pensons trois systèmes différents de choses : nous nommons les choses du premier système des points (…); nous nommons droites, les choses du deuxième système (…) ; nous appelons plans les choses du troisième système. Entre les points, les droites et les plans nous imaginons certaines relations que nous exprimons par des expressions telles que : être sur, entre, … Entre les points, les droites et les plans nous imaginons certaines relations que nous exprimons par des expressions telles que : être sur, entre, … La description exacte (…) de ces relations est donnée par les La description exacte (…) de ces relations est donnée par les axiomes de la géométrie Diapo 72

37 Différents types daxiomes Axiomes dappartenance ex. : il existe une droite liée à deux points donnés à laquelle appartiennent ces deux points Axiomes dordre définissent des expressions comme : A est entre B et C ou la notion de segment Axiomes de congruence définissent par ex. la congruence (égalité) de deux segments Axiome des parallèles par ex. laxiome dArchimède Axiomes de continuité par ex. laxiome dArchimède Diapo 73

38 Quel est alors le statut de la vérité en mathématiques ? Adéquation de la chose et de lentendement : la vérité dans lesprit est le décalque dune réalité hors de lesprit La vérité-copie : Adéquation de la chose et de lentendement : la vérité dans lesprit est le décalque dune réalité hors de lesprit Hilbert à Frege : Si les axiomes choisis arbitrairement ne se contredisent pas, dans toutes leurs conséquences, alors ils sont vrais, les objets définis par eux existent. Ce qui est pour moi critère de vérité et dexistence. Diapo 74

39 Conséquences épistémologiques Linvention des géométries non euclidiennes remet en cause l accord entre lespace sensible et lespace de la géométrie euclidienne ; elle oblige à sinterroger : sur la relation (qui nest plus du tout évidente) entre la théorie que constitue la géométrie et le réel de lespace sensible, sur la relation (qui nest plus du tout évidente) entre la théorie que constitue la géométrie et le réel de lespace sensible, sur le caractère de vérité de la géométrie, puisquil y a maintenant deux géométries, également vraies, et pourtant basées sur des propositions contradictoires, (dont lune nie ce que lautre affirme). sur le caractère de vérité de la géométrie, puisquil y a maintenant deux géométries, également vraies, et pourtant basées sur des propositions contradictoires, (dont lune nie ce que lautre affirme). Diapo 75

40 Problème logique : comment deux théories basées sur deux propositions contradictoires peuvent – elles coexister ? Construction par négation Soit E = {a 1,a 2, …,a n } un ensemble daxiomes construisant une théorie T Soit p une proposition non contenue dans T. Alors E + = {a 1,a 2, …,a n,p} et E - ={a 1,a 2,…,a n,non(p)} définissent deux nouvelles théories aussi vraies lune que lautre dun point de vue logique. G. non Eucl. Diapo 76

41 Un autre exemple linvention des nombres complexes Nombres réels Il nexiste pas de nombres dont le carré soit égal à (- 1) Nombres complexes Il existe (au moins) un nombre dont le carré vaut (-1) Diapo 77

42 Deux logiques mathématiques différentes Logique traditionnelle Empêcher lintrusion dun élément étranger Logique exhaustive : par rapport à un concept bien défini, sa tâche est dépuiser le contenu du concept. Nouvelle logique mathématique : la logique de création Construire des objets nouveaux par négation des concepts anciens. Briser la carapace du concept pour en faire sortir quelque chose de nouveau. Ne fonctionne pas par généralisation : la géométrie non euclidienne nest pas une généralisation de la géométrie euclidienne. Diapo 78

43 En guise de conclusion la déraisonnable aptitude des mathématiques à expliquer la nature. « Comment se fait-il que la mathématique, (…) sadapte dune si admirable manière aux objets de la réalité ? À cette question il faut, à mon avis, répondre de la manière suivante : Pour autant que les propositions de la mathématique se rapportent à la réalité, elles ne sont pas certaines, et pour autant quelles sont certaines, elles ne se rapportent pas à la réalité. » Einstein : La géométrie et lexpérience Diapo 79


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