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Physique du Solide Modèle semi-classique Application d'un champ électrique : masse effective et notion de trou Introduction IV.Dynamique des électrons.

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1 Physique du Solide Modèle semi-classique Application d'un champ électrique : masse effective et notion de trou Introduction IV.Dynamique des électrons de Bloch

2 Physique du Solide Introduction Modèle semi-classique pourquoi ? Description presque rigoureuse et quantique des interactions entre les états électroniques et le potentiel périodique du réseau Description classique des effets de excitations externes : champs électriques, champs magnétiques, (gradients de T) Modèle de la dynamique = Modèle des propriétés de transport IV. Dynamique : Introduction

3 Physique du Solide Paquets d'ondes Pour pouvoir utiliser les équations de la dynamique classique : Construction d'un paquet d'ondes à partir des solutions de l'équation de Schrödinger Cas des électrons libres : Dynamique du gaz d'électrons libres = Dynamique de particules classiques Rigoureusement : le traitement du chapitre II est incorrect ! Mais on peut s'imaginer la "béquille" suivante : IV. Dynamique : Introduction

4 Physique du Solide Paquets d'ondes planes : : vecteur d'onde moyen du paquet d'ondes : position moyenne de l'électron La vitesse du paquet d'onde est la vitesse de groupe : Pour des électrons libres : avecnotable seulement pour a(k') k' k IV. Dynamique : Introduction

5 Physique du Solide Paquets d'ondes des électrons de Bloch Construction d'un paquet d'ondes : avec Autre supposition :  k petit devant la 1 ère zdB, Vitesse du paquet d'ondes : IV. Dynamique : Introduction

6 Physique du Solide a Largeur du Paquet d'ondes Champ externe Largeur du paquet d'ondes dans l'espace direct : Relation de Heisenberg : comme IV. Dynamique : Introduction

7 Physique du Solide Mécanisme de "rappel" : collision Comme dans le cas du modèle de Drude ou du modèle de Sommerfeld il faut introduire la notion de collision des électrons Collisions pourquoi et avec quoi ? Toute perturbation de la périodicité parfaite du réseau -impuretés -défauts -surface -Phonons Sans mécanisme de rappel : pas de retour à l'équilibre possible !!! IV. Dynamique : Introduction

8 Physique du Solide Hypothèses du modèle : -le modèle décrit l'évolution de la position et du vecteur d'onde d'un électron entre deux collisions -la structure de bandes est connue -pas de transitions interbandes IV. Dynamique : Modèle semi-classique

9 Physique du Solide IV. Dynamique : Introduction Rappel : Nouvelle définition d'un électron On considère la valeur moyenne de la position et de l'impulsion d'un paquet d'onde construit à partir des ondes de Bloch, et on considère comme trajectoire (en sens classique) l'évolution temporelle de cette valeur moyenne de position et de cette valeur moyenne d'impulsion. Avec cette conception on peut utiliser le Théorème d'Ehrenfels : "Les valeurs moyennes de la mécanique quantique suivent les lois de la mécanique classique" Commentaire : Ces particules n'ont plus du tout le comportement bien connu d'une petite "bille"

10 Physique du Solide Équations de mouvement : et Attention : n'est plus la quantité de mouvement classique mais le moment cristallin ! La contribution du réseau cristallin à l’impulsion de l’électron est donc formellement retirée de l’équation grâce au fait que n'est défini qu'à un vecteur du réseau réciproque près IV. Dynamique : Modèle semi-classique avec Dans le solide, les forces extérieures appliquées à l’électron s’ajoutent à la force appliquée par le réseau cristallin. L’expression complexe de cette dernière rend l’étude de la dynamique de l’électron quasiment impossible. On admet sans preuve la validité des équations de mouvement classiques pour entre les collisions !

11 Physique du Solide Bandes d’énergie utiles : Bandes utiles = Bandes coupées par le niveau de Fermi si E n > E F  Bandes vides si E n < E F  Bandes pleines Rappel : k E n (k) v n (k) Symétrie ! IV. Dynamique : Modèle semi-classique

12 Physique du Solide  Or Montrons que la RFD peut s’écrire :   avec IV. Dynamique : Relation Fondamentale de la Dynamique On a : 

13 Physique du Solide On garde donc l’expression formelle de la relation fondamentale de la dynamique en ne considérant que les forces extérieures au système, ceci à condition de remplacer la masse de l’électron libre par une masse effective dynamique (ou masse effective) m*. Cette masse effective est définie par :  La masse effective est un tenseur symétrique.  La masse effective est proportionnelle à l’inverse de la courbure de la structure de bande. IV. Dynamique : Masse effective

14 Physique du Solide Électrons légers ( m* faible) Électrons lourds ( m* élevée) B. Cond B. Val kiki kjkj m* < 0  Introduction d’électrons aux masses négatives...  Trous Physiquement, que se passe-t-il pour un électron dans la bande de valence et proche du bord de ZDB ? Une force extérieure, qui lui est appliquée, tend à l’accélérer, et donc à le rapprocher du bord de ZDB. Dans cette configuration, le réseau lui appliquera une force (s’opposant à la force extérieure) beaucoup plus importante que cette dernière. L’impulsion qui lui sera transférée par le réseau sera largement supérieure et opposée à l’impulsion transférée par la force extérieure. Cet effet est lié à la proximité des conditions de réflexion Bragg. IV. Dynamique : Masses effectives

15 Physique du Solide La densité de courant s'écrit k E n (k) v n (k) Cependant i.e. Donc : ou Description du courant soit par des électrons soit par des "trous" IV. Dynamique : Champ Électrique Les trous sont des lacunes d’électrons

16 Physique du Solide Propriétés des trous : IV. Dynamique : Champ Électrique k E n (k) Application d’un champ électrique k E n (k) Bande pleine d’électrons Avec un état vide Tous les électrons se déplacent dans l’espace des k de gauche à droite La lacune d’électron se déplace dans l’espace des k de droite à gauche

17 Physique du Solide Propriétés des trous : IV. Dynamique : Champ Électrique i.Vecteur d'onde du trou ii.Charge du trou On sait que :  Pour l’électron : Pour le trou : Or Donc : D’après le point précédent, l’ impulsion des trous est opposée à celle des électrons. D’où :

18 Physique du Solide iii.L'énergie des trous k E keke 0 Enlèvement d'un électron d'énergie E e (k e ) L'énergie du système : Cette énergie correspond à l'énergie d'un trou avec k e, ou mais donc L‘échelle des énergies est inversée pour les trous ! IV. Dynamique : Champ Électrique

19 Physique du Solide iii.L'énergie des trous k E 0 Partons d’une bande d’énergie pleine d’électrons. Si on enlève un électron, comment vont se réorganiser les électrons restant pour minimiser l’énergie du système ? IV. Dynamique : Champ Électrique Les électrons vont venir occuper la lacune d’électrons en « descendant » l’échelle d’énergie (sauts de gauche). Cette lacune va donc se déplacer vers des énergies électroniques de plus en plus grandes (sauts de droite). On en conclue que lorsqu’un trou se désexcite, il va occuper des états d’énergie électronique de plus en plus grande, donc son échelle d’énergie est inversée par rapport à celle des électrons.

20 Physique du Solide iv.Masse effective des trous m t * est positive ! IV. Dynamique : Champ Électrique On sait que la masse effective est proportionnelle à la courbure de la relation de dispersion. Or l‘échelle des énergies est inversée pour les trous ! Donc lorsque la masse effective de l’électron est négative (courbure vers le bas), celle du trou est positive k E keke 0 et

21 Physique du Solide IV. Dynamique : Champ Électrique v.Vitesse du trou L’impulsion des particules s’écrit : Pour l’électron : Pour le trou : Or : et Donc :

22 Physique du Solide (  /a;  /a)  XM Énergie (0;0)(  /a;0) XCXC XVXV MCMC MVMV EFEF Exemple en 2D Une bande d'électrons Une bande de trous IV. Dynamique : Champ Électrique

23 Physique du Solide Modèle semi-classique : les électrons sont représentés par des paquets d'ondes de Bloch : avec Leur vitesse est : Le mécanisme de "rappel" qui assure un retour à l'équilibre sont des collisions L'équation de mouvement entre deux collisions pour un paquet d'onde est donnée par : La densité de courant portée par une bande est : Les bandes vides et les bandes entièrement occupées ne contribuent pas à la conduction IV. Dynamique : Résumé

24 Physique du Solide IV. Dynamique : Résumé La masse effective définit par : contient toutes les interactions électron - potentiel périodique du réseau

25 Physique du Solide Le courant dans une bande presque vide est décrit avec des électrons Le courant dans une bande presque pleine est décrit avec des trous Propriétés des porteurs de charge : Charge Vecteur d'onde Énergie Vitesse Masse effective électrontrou -e+e IV. Dynamique : Résumé


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