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La géométrie histoire et épistémologie par Jean-Pierre Friedelmeyer Irem de Strasbourg Première Partie : Lélaboration de la géométrie comme science mathématique.

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1 La géométrie histoire et épistémologie par Jean-Pierre Friedelmeyer Irem de Strasbourg Première Partie : Lélaboration de la géométrie comme science mathématique

2 Un extrait du papyrus Rhind (British Museum, London) (environ 1700 avant JC) : largeur 33 cm ; longueur 5,25 m Diapo 6

3 Diapo 7

4 Diapo 8

5 Diapo 9

6 Le problème des six frères (tablette babylonienne ; environ 1500 av. JC ; musée du Louvre) Un trapèze. 2,15 le côté supérieur ; 1,21 le côté inférieur ; 3,33 le front supérieur ; 51 le front inférieur : laîné et le second sont égaux ; le troisième et le quatrième sont égaux ; le cinquième et le sixième sont égaux. Quelles sont les limites ? Début de solution : Toi, en opérant, additionne 3,33 le front supérieur et 51 le front inférieur : cela fera 4,24. Dautre part, sépare la partie de 2,15 le côté, cela fera (0 ; 0),26,40. Porte (0 ; 0),26,40 à 1,21 le côté inférieur, cela fera (0),36. Ajoute (0),36 à 4,24, cela fera 4,24 ; 36. Diapo 10

7 Tablette babylonienne n° YBC 7289 (conservée à New Haven, USA) On y voit mesurée la diagonale dun carré de côté 30 qui, multiplié par le nombre écrit en sexagésimal : 1, 24, 51, 10 (correspondant à notre racine carrée de 2) donne 42, 25, 35 comme longueur de la diagonale Question : si le côté du carré change, faut-il toujours multiplier par racine de 2 pour avoir la longueur de la diagonale ? Diapo 11

8 Du particulier à luniversel Diapo 12

9 La propriété est vraie pour tous les triangles : comment le prouver ? Diapo 13

10 Théorème : la somme des angles dun triangle est égale à deux droits Quelle est la validité dune telle preuve ? Diapo 14

11 La figure de lhypoténuse (Xian Tu ; env av. JC) Le carré de lhypoténuse contient 4 surfaces rouges et 1 surface jaune 25 = 4 x (4x3/2) + 1 ; en généralisant : c 2 = 4(a.b/2) + (b – a) 2 b a c Diapo 15

12 Théorème de Pythagore daprès Liu Hui (vers 270 av. J.C.) extrait du Jiushang suanshu (Neuf chapitres sur lart du calcul) bleu sort rouge sort bleu entre rouge entre bleu sort bleu entre Diapo 16

13 Lewis Carroll (1832 – 1898) Diversions and Disgressions Diapo 17

14 On découpe et on recompose autrement Diapo 18

15 Diapo 19

16 Sur la tablette, la diagonale dun carré de côté 30 est obtenue en multipliant 30 par le nombre écrit en sexagésimal : 1, 24, 51, 10 (correspondant à notre racine carrée de 2), ce qui donne 42, 25, 35 Mais ces calculs, bien que très précis, ne sont quapprochés (1, pour racine de 2, ce qui est tout à fait remarquable comme précision). La découverte des grandeurs incommensurables Diapo 20

17 La soustraction réciproque Les mathématiciens grecs utilisent ce quils appellent soustraction réciproque Les mathématiciens grecs utilisent ce quils appellent soustraction réciproque a = 2 b + a 1 ; b = 3 a 1 + a 2 ; a 1 = 2a 2 ; Donc, en remontant : b = 7 a 2 ; a = 9 a 2 ; alors a 2 est une mesure commune à a et b et définit le rapport a/b = 16/7 Diapo 21

18 Diapo 22

19 Diapo 23

20 Lalgorithme dEuclide par Euclide Euclide VII, 1 : Deux nombres inégaux étant proposés et le plus petit étant retranché du plus grand de façon réitérée et en alternance, si le reste ne mesure jamais [le reste] précédent jusqu'à ce quil reste une unité, les nombres initiaux seront premiers entre eux. Euclide VII, 1 : Deux nombres inégaux étant proposés et le plus petit étant retranché du plus grand de façon réitérée et en alternance, si le reste ne mesure jamais [le reste] précédent jusqu'à ce quil reste une unité, les nombres initiaux seront premiers entre eux. Euclide X, 2 : Si, de deux grandeurs inégales {proposées} la plus petite étant retranchée de la plus grande de façon réitérée et en alternance, le dernier reste ne mesure jamais le [reste] précédent, les grandeurs seront incommensurables. Euclide X, 2 : Si, de deux grandeurs inégales {proposées} la plus petite étant retranchée de la plus grande de façon réitérée et en alternance, le dernier reste ne mesure jamais le [reste] précédent, les grandeurs seront incommensurables. Diapo 24

21 La théorie des proportions Je ne peux pas exprimer par un nombre (rationnel) le rapport des côtés AB et OB, mais je peux exprimer le rapport des aires des deux carrés et celle des deux cercles. Dans les deux cas, ce rapport est exactement égal à 2. Diapo 25

22 Élaboration dobjets idéaux Lincommensurabilité oblige à penser la droite comme un objet abstrait quon ne peut confondre avec ses modèles physiques : trait graphique, arête dun mur, faîte dun toit, etc. Cet objet abstrait doit se soumettre à dautres règles que celles fournies par la mesure ; celles imposées par les définitions et les propriétés déduites par raisonnement Diapo 26

23 Vers une théorie mathématique Lexigence de certitude conduit à élaborer des processus dargumentation, des démonstrations Lexigence de certitude conduit à élaborer des processus dargumentation, des démonstrations La découverte de grandeurs incommensurables oblige à dépasser la considération dobjets sensibles au profit dobjets pensés et abstraits La découverte de grandeurs incommensurables oblige à dépasser la considération dobjets sensibles au profit dobjets pensés et abstraits Laspect arpentage et mesure cède le pas à laspect conceptuel et déductif. Laspect arpentage et mesure cède le pas à laspect conceptuel et déductif. Loutil de base est le rapport et la proportion. Loutil de base est le rapport et la proportion. Diapo 27

24 Quelques définitions chez Euclide Et quand une droite, ayant été élevée sur une droite, fait les angles adjacents égaux entre eux, chacun de ces angles égaux est droit, et la droite qui a été élevée est appelée perpendiculaire à celle sur laquelle elle a été élevée. Un point est ce dont il ny a aucune partie. Une ligne est une longueur sans largeur. Une ligne droite est celle qui est placée de manière égale par rapport aux points qui sont sur elle. Diapo 28

25 Organisation dune démonstration en Éléments Théorèmes Cas dégalité des triangles Cas dégalité des triangles Deux triangles qui ont même base et même hauteur ont même aire Deux triangles qui ont même base et même hauteur ont même aire Une diagonale partage un parallélogramme en deux triangles égaux Une diagonale partage un parallélogramme en deux triangles égaux Notions communes (axiomes) 1. Les choses égales à une même chose sont égales entre elles. 2. Et si, à des choses égales, des choses égales sont ajoutées, les touts sont égaux. …………………………………. 6. Et les moitiés du même sont égales entre elles. 7. Et les choses qui sajustent les unes sur les autres sont égales entre elles. Diapo 29

26 Pythagore selon Euclide (I, 47) Diapo 30

27 [PP] ΣΤΟΙΧΕΙΑ plantation darbres principe dun bon gouvernement acte davancer en rang, comme une armée en ligne de bataille deux sens du mot « Élément » principe constituant dune chose organisation de ces principes en un tout rangé et ordonné Le théorème de Pythagore chez Euclide (Livre I, 47 des Éléments) Diapo 31

28 En résumé : la géométrie dEuclide sest constituée schématiquement en trois étapes : 1. Longue pratique avec observation et accumulation des propriétés de figures géométriques, à partir de nombreuses mesures expérience Diapo 32

29 2. D é couverte du caract è re universel de certaines propri é t é s et de leur liaison logique ; mise en é vidence du caract è re n é cessaire de cette liaison, au moyen des premi è res d é monstrations intuition Ces démonstrations supposent une idéalisation de certains objets empiriques sous forme dobjets géométriques abstraits tels que le point, la droite, le plan … Diapo 33

30 3. Intégration de la plupart des propriétés géométriques connues en un système déductif unique, le système d Euclide, en dégageant les propriétés de base (axiomes - en nombre minimal) desquelles découlent toutes les autres par simple déduction logique. Théorie Diapo 34

31 Au final, laxiomatisation est le résultat dun long processus partant de lexpérience pour arriver à la théorie, en sappuyant sur lintuition. Diapo 35

32 La théorie de la connaissance chez Platon Platon : « nul nentre ici sil nest géomètre » 1 « la recherche et le savoir ne sont au total que réminiscence ». (cf. le dialogue appelé Ménon : 81d) 2. « en outre ils font usage de figures visibles, et sur ces figures, ils construisent des raisonnements sans avoir à lesprit ces figures elle-mêmes, mais les figures parfaites dont celles-ci sont des images » (cf. le dialogue appelé La République : 510) 2. « en outre ils font usage de figures visibles, et sur ces figures, ils construisent des raisonnements sans avoir à lesprit ces figures elle-mêmes, mais les figures parfaites dont celles-ci sont des images » (cf. le dialogue appelé La République : 510) Diapo 36

33 Monde visible Perception Monde intelligible Pensée, esprit RéalitéillusoireRéalitéconcrèteRéalitéabstraiteRéalitéspirituelle Copies Reflets ombres Objets physiques nature Objets de la sciencegéométrie Monde des Idées OpinionVérité Figures géométriques Diapo 37

34 Conclusion de la première partie Durant 2000 ans, la représentation intuitive de lespace sexplicite au contact de la géométrie au point que lespace du géomètre et lespace sensible ne semblent former que deux aspects inséparables dune même réalité. Cest par notre intuition et les expériences sensibles que nous nous sommes construit une certaine représentation de lespace dont lorganisation en un système déductif a donné la géométrie euclidienne. Diapo 38

35 Deuxième Partie Vers les géométries non euclidiennes et une autre conception de la géométrie - cliquer ici cliquer ici


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