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La fonction quadratique. Les formes d’écriture. f(x) = a ( x – h ) 2 + k f(x) = ax 2 + bx + c.

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1 La fonction quadratique. Les formes d’écriture. f(x) = a ( x – h ) 2 + k f(x) = ax 2 + bx + c

2 Une fonction quadratique peut s’écrire sous des formes différentes. Chaque forme a son utilité. Il est donc important de savoir transformer l’équation: soit en forme canonique: f(x) = a ( x – h ) 2 + k soit en forme générale: f(x) = ax 2 + bx + c

3 De la forme canonique vers la forme générale. Il suffit de développer l’équation. Exemple:f(x) = 3 ( x + 2 ) f(x) = 3 ( x + 2 ) ( x + 2 ) - 5 f(x) = 3 ( x 2 + 4x + 4 ) - 5 f(x) = 3x x f(x) = 3x x + 7 Attention aux priorités d’opérations !

4 De la forme générale vers la forme canonique. Il faut utiliser les formules suivantes: h = - b 2a k = 4ac – b 2 4a Démonstration : Développons la forme canonique en utilisant les paramètres. f(x) = a ( x – h ) 2 + k f(x) = a ( x – h ) ( x – h ) + k f(x) = a ( x 2 – 2hx + h 2 ) + k f(x) = ax 2 – 2ahx + ah 2 + k

5 Comparons la forme canonique développée avec la forme générale. f(x) = ax 2 – 2ahx + ah 2 + k f(x) = ax 2 + bx + c on retrouve le même terme en ax 2 ; en comparant les deux formes, on constate que: a est le même dans les deux formes.donc le paramètre le terme - 2ahx correspond au terme + bx Le terme + ah 2 + k correspond au terme + c donc - 2ahx = bx donc ah 2 + k = c

6 Dans l’équation - 2ahx = bx, isolons h: - 2ahx = bx x x - 2ah = b - 2a h = - b 2a - 2ahx = bx

7 Dans l’équation ah 2 + k = c, isolons k: ah 2 + k = c - ah 2 k = c – ah 2 remplaçons h par - b 2a k = c – a - b 2a 2 k = c – a b 2 4a 2 k = c – ab 2 4a 2 k = c - b2b2 4a k = 4ac 4a - b2b2 k = 4ac – b 2 4a

8 Exemple: f(x) = 2x 2 + 4x + 5 h = - b 2a k = 4ac – b 2 4a a = 2 b = 4 c = 5 h = X 2 h = h = - 1 k = 4 X 2 X X 2 k = k = 24 8 k = 3 a = 2, h = -1 et k = 3 f(x) = a ( x – h ) 2 + ken utilisant : f(x) = 2 ( x ) Attention aux signes ! a = 2 f(x) = ax 2 + bx + c f(x) = 2 ( x + 1 ) 2 + 3

9 Remarque : La forme générale f(x) = ax 2 + bx + c possède aussi sa forme factorisée. Exemple: f(x) = 2x 2 +10x +12 f(x) = 2 ( x 2 + 5x + 6 ) f(x) = 2 ( x + 2 ) ( x + 3) En généralisant cette forme:f(x) = a ( x – x 1 ) ( x – x 2 )


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