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Pour en finir avec l’infini Yves Lafont Institut de Mathématiques de Luminy Université de la Méditerranée (Aix-Marseille 2) 6/6/6.

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1 Pour en finir avec l’infini Yves Lafont Institut de Mathématiques de Luminy Université de la Méditerranée (Aix-Marseille 2) 6/6/6

2 2 Symbole 1 : cycle

3 3 Cycles familiers •Cycles naturels des astres (jours, mois, ans) •Cycles mécaniques des horloges •Cycles biologiques des générations •Cycles scolaires ou universitaires •Cycles de conférences

4 4 Cycles en mathématiques •Cinématique : rotation autour d’un point •Géométrie : paramétrage angulaire du cercle •Topologie : revêtement universel du cercle •Algèbre : générateur du groupe des entiers •Algorithmique : instruction de boucle

5 5 Automate

6 6

7 7

8 8 Symbole 2 : spirale

9 9

10 10 Symbole 3 : point de fuite

11 11

12 12 Fondements de l’analyse L’inverse 1/x échange 0 et l’infini : 1,2,3,…,n,… devient 1,1/2,1/3,…,1/n,… (infiniment petit = infiniment grand) Série infinie dont la somme est finie : 1/2 + 1/4 + 1/8 + … + 1/2 n + … = 1 (paradoxe de Zénon)

13 13 Symbole 4 : abyme

14 14

15 15 Dénombrements •Combien y a-t-il d’étoiles ? •Combien y a-t-il de livres ? •Combien y a-t-il de points ? •Combien y a-t-il de nombres ?

16 16

17 17

18 18 L’hôtel de Hilbert L’hôtel est complet, mais il est infini. Arrive un client. Arrive un autocar infini. Arrive une infinité d’autocars infinis.

19 19 Il faut passer partout :

20 20 Mauvaise réponse :

21 21 Bonne réponse :

22 22 Autre bonne réponse :

23 23 Arithmétique infinie Soit N un cardinal infini : N + 1 = N 2 x N = N + N = N N 2 = N x N = N 2 N > N (diagonalisation de Cantor)

24 24 Représentation des réels Un nombre réel a une infinité de décimales. Exemple : 3, … Idem en base 2 (arithmétique des ordinateurs). Exemple : 11, … Donc il y a plus de nombres réels que d’entiers.

25 25 Il faut écrire toutes les suites :

26 26 Une proposition :

27 27 Diagonalisation de Cantor :

28 28 Cette suite n’apparaît pas :

29 29 Autres diagonalisations Logique : énoncés vrais mais indémontrables Théorème d’incomplétude de Goedel Calcul : problèmes indécidables Machines de Turing Théorie de la complexité algorithmique

30 30 La Bibliothèque de Babel (Borges) La Bibliothèque contient tous les livres. Les livres ont tous la même taille, mais : Comment les numéroter, les cataloguer ? La bibliothèque de Babel est-elle infinie ? A quoi sert une telle bibliothèque ?

31 31


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