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1 ) Bosons  statistique de Bose-Einstein  les particules sont indiscernables  aucune contrainte sur le nombre de particules par état Ensemble de règles.

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1 1 ) Bosons  statistique de Bose-Einstein  les particules sont indiscernables  aucune contrainte sur le nombre de particules par état Ensemble de règles pour énumérer les états 2 ) Fermions  statistique de Fermi-Dirac  les particules sont indiscernables  le nombre de particules par état est 0 ou 1 3 ) Classique  statistique de Maxwell-Boltzmann  les particules sont discernables  aucune contrainte sur le nombre de particules par état

2 Exemple 2 particules : A et B 3 états : 1, 2 et 3 discernables (A ≠ B) indiscernables (A = B) 9 états distincts 6 états distincts 3 états distincts Plus restrictif (le nombre d’états disponibles pour le système diminue)

3 FD < MB < BE Probabilité que 2 particules soient… même état état différent = 3 6 = 1 2 = 3 3 = 1 = 0 répulsion statistique attraction statistique Exemple 2 particules : A et B 3 états : 1, 2 et 3

4 n r : nombre de particules dans l’état quantique r d’énergie ε r Formulation statistique du problème V, T • N particules identiques (discernables ou non) • On néglige toujours les interactions (gaz idéal)

5 Nombre moyen de particules dans l’état quantique s (ensemble canonique) : r Ex: 3 particules, 4 états état quantique du gaz dans son ensemble Formulation statistique du problème

6 Nous appelons également cette quantité le nombre d’occupation somme restreinte qui exclut l’état s 

7 Nous appelons également cette quantité le nombre d’occupation ne s’annulent pas ! n s = 0 n s = 1 dépend de l’état ‘s’ exclu de la sommation

8 Statistique de photons (cas le plus simple) Paroi chauffée émet des photons absorbe des photons • Photon : boson de masse nulle (spin = 1) • Aucune restriction sur le nombre de photons  • Statistique de photons  cas particulier de la statistique de Bose-Einstein Bose (1920) N ≠ cte Einstein (1925)  masse non-nulle

9 Nombre d’occupation ( nombre moyen de particules dans l’état quantique s ) Cette somme n’est plus restreinte à N n 1, n 2, etc. prennent toutes les valeurs de n r = 0, 1, 2, … pour chaque valeur de r, peu importe le n s en dehors de la sommation  Statistique de photons

10 suite géométrique Distribution de Planck Max Planck (empiriquement)  Nombre moyen de photons dans l’état s d’énergie ε s On peut aussi récrire :

11 Fonction de partition (aucune restriction) 

12 Statistique de Fermi-Dirac • Différent des photons car le nombre de particules est fixé à N • Revenons à la définition : n s = 0 ou 1 pour les fermions somme restreinte sur tous les autres états Énumération des états possibles n s = 0 ou 1 n 1 = pondération (contrainte) Énumération des états possibles n s = 0, 1, 2, 3

13 Statistique de Fermi-Dirac • Différent des photons car le nombre de particules est fixé à N • Revenons à la définition : (contrainte) N particules distribuées sur tous les états, excluant l’état s N – 1 particules distribuées sur tous les états, excluant l’état s N – 2 particules distribuées sur tous les états, excluant l’état s (impossible pour les fermions)

14 n s = 0 ou 1 Fermions → Bosons → on cherche à relier ces 2 qtés Si (Taylor)

15 Comme représente une somme sur plusieurs états, ne dépendra pas beaucoup de quel état « s » est exclu de la sommation :  (i.e. somme non-restreinte) Paramètre de dégénérescence

16 Distribution de Fermi-Dirac  Nombre moyen de particules dans l’état s d’énergie ε s 1) Si ε s >>, n s → 0 3) α est déterminé par 2) 0 < exp < ∞   Donc…

17 Fonction de partition • Beaucoup plus compliqué que dans le cas de la statistique de photons… • Il faut passer ici par la fonction de grande partition (PHY 3214 et section 9.6 de Reif) : =

18 Statistique de Bose-Einstein Bosons → Vu : Avec Statistique de photons → Distribution de Planck

19 Distribution de Bose-Einstein  Nombre moyen de particules dans l’état s d’énergie ε s Distribution de Fermi-Dirac Distribution de Planck (Photons: bosons avec α = 0) • Paramètre de dégénérescence α déterminé par • Fonction de partition + pour Fermi-Dirac

20 Statistique de Maxwell-Boltzmann Ici nous considérons le cas classique où les particules sont discernables Illégal en mécanique quantique n 1 n 2 n A BC D A BD C A CD B B..... C..... D..... Ex : N = 4 particules (A, B, C, D) 3 états 12 états distincts  permutations un état R en particulier Fonction de partition

21 Statistique de Maxwell-Boltzmann Ici nous considérons le cas classique où les particules sont discernables Fonction de partition Formule du binôme généralisé :

22 Statistique de Maxwell-Boltzmann Ici nous considérons le cas classique où les particules sont discernables Fonction de partition  Distribution de Maxwell-Boltzmann  Nombre moyen de particules dans l’état s d’énergie ε s ( distribution canonique ! )

23 Statistiques quantiques dans la limite classique Résumons … Nombre d’occupation Fonction de partition + Fermi-Dirac – Bose-Einstein

24 Signification physique du paramètre de dégénérescence α α est déterminé par la contrainte : On peut aussi obtenir sa valeur en passant pas l’énergie libre de Helmholtz : Potentiel chimique Quiz : quel est le potentiel chimique des photons?

25 Grandeur de α ? Examinons 2 cas limites 1) Densité faible 2) Température élevée 1) Soit N « (faible concentration) à une température T quelconque il faut donc que n r « 1 pour tous les états r pour ne pas excéder N pour tous les états r

26 2) Soit N quelconque quand T » pour tous les états r   «  « • Les termes qui contribuent à cette somme (avec α fixe) sont ceux pour lesquels  ε r « α … …car pour  ε r » α, → 0 • Si  → 0 (i.e. T »), de plus en plus de termes contribuent à. > Pour éviter que, α doit augmenter pour que chaque terme demeure petit :

27 En résumé… Concentration faible Température élevée  c’est la limite classique pour tous les états r α »α »

28 Dans la limite classique : X On retrouve la distribution de Maxwell-Boltzmann Limite classique : ( α >>) BE FD MB

29 Nombre moyen de particules dans l’état s d’énergie ε s Paramètre de dégénérescence

30 Entre 0 et 1 (Pauli) Valeurs de α 0 Pour α >> FD → MB (gaz non-dégénéré) Pour α << 0 n s → 1 (gaz dégénéré)

31 Valeurs de α > 0 (sinon n s < 0) Pour α >> BE → MB (gaz non-dégénéré) Pour α+βε s = 0, n s → ∞ (gaz dégénéré)

32 Intermédiaire entre FD et BE Valeurs de α 0 comme pour FD n s (BE) > n s (MB) (attraction statistique) n s (FD) < n s (MB) (répulsion statistique) MB commence à faire défaut ici...

33 Limite classique

34 Z dans la limite classique « 1 (limite classique) ln (1 + x) ~ x – x 2 /2 + … nombre de permutations possibles (N particules identiques) Statistiques quantiques  aucun paradoxe

35 Note En mécanique quantique, on associe une longueur d’onde à tout objet : Longueur d’onde de de Broglie On peut montrer que si d >> λ distance interparticule d λ 1) Si α >> d non-dégénéré 2) Si α << d dégénéré n s → 1 (FD) n s → ∞ (BE)  limite classique (problème 9.5)

36 Pour α+βε s = 0, n s → ∞ Condensation de Bose-Einstein (gaz dégénéré)

37 Le condensat de Bose-Einstein Prix Nobel 2001 Refroidissement par évaporation 400 nK 200 nK 50 nK


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