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Séminaire CEA-Saclay 15/01/04 Un modèle bifluide pour les écoulements diphasiques à interface libre G. Chanteperdrix J.P. Vila P. Villedieu.

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1 Séminaire CEA-Saclay 15/01/04 Un modèle bifluide pour les écoulements diphasiques à interface libre G. Chanteperdrix J.P. Vila P. Villedieu

2 Séminaire CEA-Saclay 15/01/04 2 CONTEXTE DE L ETUDE LIQUIDE GAZ Comportement des fluides dans les réservoirs de véhicules spatiaux Mouvements provoqués par les accélérations de la fusée LIQUIDE GAZ Remontée du liquide le long des parois par capillarité Phases accélérées : phénomènes inertiels dominants. Phases balistiques : phénomènes capillaires et thermiques dominants. Phase accélérée Phase balistique Chauffage par le rayonnement solaire

3 Séminaire CEA-Saclay 15/01/04 3 Plan de lexposé 1. MODELISATION 2. PROPRIETES DU MODELE 3. DISCRETISATION 4. EXEMPLES D APPLICATION 5. PERSPECTIVES ET TRAVAUX EN COURS

4 Séminaire CEA-Saclay 15/01/ MODELISATION Hypothèses de modélisation Echelle de longueur interface = échelle macroscopique => écoulement à phases séparées => utilisation dun seul champ de vitesse. (notion de «glissement entre phases » non pertinente pour ce type d application) Modèle à deux fluides : présence supposée des deux fluides en tout point de lespace => zone de mélange numérique => interface « diffuse » non repérée explicitement. Ecoulement quasi incompressible => faibles variations de température => couplage faible entre effets dynamiques et effets thermiques => possibilité d utiliser une loi de pression de la forme p( ) pour chaque fluide.

5 Séminaire CEA-Saclay 15/01/ MODELISATION Equations de la dynamique gravitéinertiecapillaire Conservation masse fluide 1 Conservation masse fluide 2 Bilan quantité de mouvement viscosité Fractions volumiques

6 Séminaire CEA-Saclay 15/01/ MODELISATION Loi de pression du « mélange » 2 contraintes doivent être vérifiées : Consistance : loi de pression du mélange = loi de pression du fluide i si la fraction massique du fluide i tend vers 1. Stabilité : il doit exister une entropie au sens de Lax pour le système du premier ordre associé au modèle (D). Modèle retenu : fermeture dite isobare [voir par exemple Abgrall-Saurel (JCP, 2000) ou Coquel et al (CRAS, 2002)]

7 Séminaire CEA-Saclay 15/01/ MODELISATION Forces capillaires Modèle à interface diffuse => nécessité dune formulation volumique des forces de tension de surface procédé de régularisation. Formulation exacte: CourbureForce tangentielle => effet Marangoni Formulation volumique : méthode CSF de Brackbill (JCP, 1992): Or on montre facilement que : (effet Marangoni non pris en compte) Forme conservative

8 Séminaire CEA-Saclay 15/01/ MODELISATION Forces capillaires Soit « Tenseur capillaire » Force tangentielle à linterface Force capillaire agissant sur un volume de contrôle V : Sur une paroi, on pose : Angle de contact Paroi / Interface On pose donc : Force normale à IForce tangente à I Utilisation possible dun modèle dangle dynamique

9 Séminaire CEA-Saclay 15/01/ MODELISATION Forces de viscosité Ecoulement quasi incompressible On peut donc poser : Il est nécessaire de définir une « viscosité dynamique de mélange ». Un choix consistant consiste à prendre : Un autre choix possible est : A notre connaissance, il n existe pas d argument clair en faveur dun choix ou dun autre.

10 Séminaire CEA-Saclay 15/01/ MODELISATION Thermique (modèle de type Boussinesq) Ecoulement à faible vitesse => Equation de bilan denthalpie pour une particule fluide Qté de mouvement WfWf Terme de couplage Enthalpie On pose : T = T - T 0

11 Séminaire CEA-Saclay 15/01/ MODELISATION Thermique Il est nécessaire de se donner un modèle pour la chaleur spécifique du « mélange » diphasique. Nous avons retenu le modèle suivant : Remarque : les phénomènes de changement de phase (cavitation, évaporation) ne sont pas pris en compte dans ce modèle. (voir par exemple les travaux de P. Helluy et al).

12 Séminaire CEA-Saclay 15/01/ MODELISATION Loi d état des fluides Ecoulement quasi incompressible => inutile dutiliser la loi d état exacte pour chacun des deux fluides pour obtenir des champs de vitesse et de pression corrects. Nous avons pris des lois affines de la forme : Avec C i << vitesse réelle du son dans le fluide i Critère de choix pour c i : T a = L/c i << T Estimé par des formules approchées

13 Séminaire CEA-Saclay 15/01/ MODELISATION « Modèle augmenté » (Technique de relaxation) Pour des raisons numériques (voir partie 3), il es préférable de remplacer le modèle (D) par le modèle (D ) : (D ) peut être vu comme une approximation du modèle (D). (Théorie des systèmes hyperboliques relaxés)

14 Séminaire CEA-Saclay 15/01/04 14 Plan de lexposé 1. MODELISATION 2. PROPRIETES DU MODELE 3. DISCRETISATION 4. EXEMPLES D APPLICATION 5. PERSPECTIVES ET TRAVAUX EN COURS

15 Séminaire CEA-Saclay 15/01/ PROPRIETES Cas du modèle augmenté Proposition 1 : Le modèle (D ) est hyperbolique. Les valeurs propres associées ont pour expression avec : Proposition 2 : Le couple (S *, F * ) défini par est un couple « entropie - flux » au sens de Lax pour le modèle (D). Energie libre du fluide i Remarque: Inégalité de Lax second principe

16 Séminaire CEA-Saclay 15/01/ PROPRIETES Cas du modèle à l équilibre Proposition 3 : Le modèle (D) est hyperbolique. Les valeurs propres associées ont pour expression avec : Proposition 4 : Le couple (S *, F * ) défini par est un couple « entropie - flux » au sens de Lax pour le modèle (D ). Energie libre du fluide i

17 Séminaire CEA-Saclay 15/01/ PROPRIETES Commentaires La condition dite subcaractéristique est satisfaite : c > c * Lentropie du modèle (D) vérifie : S * (W) = S(W * ). On a la relation : * minimise S à fixés => justification a-posteriori du modèle (D). Possibilité détendre ces résultats au cas ou la tension de surface est prise en compte dans le bilan d énergie libre (collaboration avec D. Jamet, cf thèse de G. Chanteperdrix) => nouvelle expression de S et nouveau modèle d équilibre, prenant en compte les effets capillaires dans la définition de * (défini dans ce cas par une edp elliptique non linéaire). Extension possible à N fluides, y compris effets capillaires (cf thèse de G. Chanteperdrix).

18 Séminaire CEA-Saclay 15/01/ PROPRIETES Problème de Riemann (1) Proposition 5 : Le problème de Riemann associé au système possède une solution unique pour toute donnée initiale physiquement admissible.

19 Séminaire CEA-Saclay 15/01/ PROPRIETES Problème de Riemann (2)

20 Séminaire CEA-Saclay 15/01/04 20 Plan de lexposé 1. MODELISATION 2. PROPRIETES DU MODELE 3. DISCRETISATION 4. EXEMPLES D APPLICATION 5. PERSPECTIVES ET TRAVAUX EN COURS

21 Séminaire CEA-Saclay 15/01/ DISCRETISATION principe général Méthode basée sur le principe des « schémas de relaxation » : la discrétisation est appliquée formellement au modèle augmenté avec. Discrétisation spatiale: méthode de volumes finis dordre 2 pour la discrétisation des termes de transport, avec un schéma de Godunov pour la partie hyperbolique du système. Les termes capillaires sont traités comme des termes source. Discrétisation temporelle: schéma explicite de type RK2 combiné avec une méthode de pas fractionnaires pour le traitement de la relaxation.

22 Séminaire CEA-Saclay 15/01/ DISCRETISATION Forme générale du schéma puis Flux des contraintes visqueuses Flux associé à la partie hyperbolique du système (schéma de Godunov + méthode MUSCL) Termes source y compris effets capillaires Opérateur de « relaxation » projection

23 Séminaire CEA-Saclay 15/01/ DISCRETISATION Schéma pour les termes capillaires On doit choisir une formulation discrète pour: On impose à la discrétisation choisie de respecter la contrainte : Approximation de au centre de la face e Un choix naturel est donc : = - cos( si paroi

24 Séminaire CEA-Saclay 15/01/ DISCRETISATION Schéma pour les termes de viscosité On impose que le schéma soit exact pour certaines solutions stationnaires particulières, dans le cas dun maillage cartésien, aligné avec la direction de linterface entre les deux fluides : 1) Ecoulement de Couette plan (diphasique) 2) Ecoulement de Couette - Marangoni plan (diphasique) Remarque : on utilise un schéma analogue pour la discrétisation du flux de chaleur. Viscosité moyenne sur la face e Condition 1) + discrétisation naturelle pour la dérivée normale de la vitesse => choix de la moyenne harmonique des viscosités au centre des cellules adjaçantes. Condition 2) => ajout dun terme correctif supplémentaire (voir thèse de G. chanteperdrix).

25 Séminaire CEA-Saclay 15/01/04 25 Plan de lexposé 1. MODELISATION 2. PROPRIETES DU MODELE 3. DISCRETISATION 4. EXEMPLES D APPLICATION 5. PERSPECTIVES ET TRAVAUX EN COURS

26 Séminaire CEA-Saclay 15/01/ EXEMPLES DAPPLICATIONS Test 1: Ballottement linéaire (résultats expérimentaux du ZARM)

27 Séminaire CEA-Saclay 15/01/04 27 Ballottement linéaire Maillage 40 X 80 h/L = 1/40

28 Séminaire CEA-Saclay 15/01/04 28 Ballottement linéaire (résultats expérimentaux du ZARM)

29 Séminaire CEA-Saclay 15/01/04 29 Ballottement linéaire (résultats expérimentaux du ZARM)

30 Séminaire CEA-Saclay 15/01/ EXEMPLES DAPPLICATIONS Test 2 :Ballottement non linéaire (résultats expérimentaux du ZARM)

31 Séminaire CEA-Saclay 15/01/04 31 Ballottement non linéaire (résultats expérimentaux du ZARM) Maillage 75 X 150 h = L/75

32 Séminaire CEA-Saclay 15/01/04 32 Ballottement non linéaire (résultats expérimentaux du ZARM)

33 Séminaire CEA-Saclay 15/01/04 33 Ballottement non linéaire (résultats expérimentaux du ZARM) C 1 =3.4 m/s C 2 = 18 m/s

34 Séminaire CEA-Saclay 15/01/04 34 Ballottement non linéaire (résultats expérimentaux du ZARM) C 1 =3.4 m/s C 2 = 18 m/s

35 Séminaire CEA-Saclay 15/01/ EXEMPLES DAPPLICATIONS Test 4 : Réorientation de linterface après une réduction brutale de la gravité (résultats expérimentaux du ZARM) Modèle d angle de contact dynamique réservoir circulaire effets visqueux pris en compte pas d effet thermique LIQUIDE GAZ

36 Séminaire CEA-Saclay 15/01/04 36 Réorientation de linterface après une réduction brutale de la gravité (Sous cas 1: grand angle de contact) Maillage 20 X 60 non uniforme Hysteresis non reproduite

37 Séminaire CEA-Saclay 15/01/04 37 Réorientation de linterface après une réduction brutale de la gravité (Sous cas 1: grand angle de contact) Modèle dangle dynamique avec Hysteresis

38 Séminaire CEA-Saclay 15/01/04 38 Réorientation de linterface après une réduction brutale de la gravité (Sous cas 2: faible angle de contact) Maillage 30 X 62 non uniforme

39 Séminaire CEA-Saclay 15/01/04 39 Réorientation de linterface après une réduction brutale de la gravité (Sous cas 2: faible angle de contact) Maillage 60 X 124 non uniforme

40 Séminaire CEA-Saclay 15/01/04 40 Test 5 : Oscillations linéaires dune bulle au repos 4. EXEMPLES DAPPLICATIONS Champ de pression au repos Relation de Laplace vérifiée

41 Séminaire CEA-Saclay 15/01/04 41 Oscillations linéaires dune bulle au repos 4. EXEMPLES DAPPLICATIONS Evolution du rayon de la bulle en fonction du temps (forme initiale de la bulle = ellipsoïde) Excellent accord sur la valeur de la fréquence fondamentale Maillage 40 X 80 uniforme

42 Séminaire CEA-Saclay 15/01/04 42 Test 6 : Remontée d une bulle dair dans une colonne deau initialement au repos. Calcul 2D axi-symétrique, avec prise en compte des forces capillaires. Maillage 60 X 180. Très bon accord avec les données expérimentales pour la vitesse de remontée et la forme de la bulle. 4. EXEMPLES DAPPLICATIONS

43 Séminaire CEA-Saclay 15/01/04 43 Test 7: Formation dun Geyser (Résultat expérimentaux du LEGI) 4. EXEMPLES DAPPLICATIONS

44 Séminaire CEA-Saclay 15/01/04 44 Formation dun Geyser (Résultats expérimentaux du LEGI) 4. EXEMPLES DAPPLICATIONS

45 Séminaire CEA-Saclay 15/01/04 45 Formation dun Geyser (Résultats expérimentaux du LEGI) 4. EXEMPLES DAPPLICATIONS

46 Séminaire CEA-Saclay 15/01/04 46 Plan de lexposé 1. MODELISATION 2. PROPRIETES DU MODELE 3. DISCRETISATION 4. EXEMPLES D APPLICATION 5. PERSPECTIVES ET TRAVAUX EN COURS

47 Séminaire CEA-Saclay 15/01/04 47 PERPECTIVES, TRAVAUX EN COURS Travaux en cours: développement d un code 3D sur maillage non structuré. couplage fluide / solide. Poursuite de la validation du couplage avec les effets thermiques (voir thèse de G. Chanteperdrix pour les premières applications : convection naturelle, écoulement de Couette - Marangoni) Perspectives : Application du modèle à la simulation directe dinteraction goutte / paroi (possibilité de comparer à des données expérimentales). Changement de phase (modèle de cavitation, dévaporation) => application à la simulation directe d interaction goutte / paroi chaude.


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