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1 Amphithéâtre 3 Le modèle à générations imbriquées Etienne LEHMANN Professeurs des Universités CREST – Laboratoire de Macroéconomie

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1 1 Amphithéâtre 3 Le modèle à générations imbriquées Etienne LEHMANN Professeurs des Universités CREST – Laboratoire de Macroéconomie

2 2 Dans le modèle de croissance néo-classique (séance 1) Les agents ont un horizon de vie infini Il ny a pas dimperfection de marché (externalités, concurrence imparfaite, … (contrairement aux modèles de croissance endogène) Léquilibre décentralisé de marché et loptimum social coïncident La meilleure allocation possible des revenus entre consommation et épargne et obtenue en « laissant faire » les agents. Ici, remise en cause de lhypothèse dhorizon de vie infini des agents A chaque date cohabitent des agents dâge différents Lallocation consommation /épargne demeure-t-elle efficace ? Conserve-t-on léquivalence Ricardienne ? Financement des retraites par répartition ou par capitalisation ?

3 3 Plan de la séance 1)Le modèle à générations imbriquées (OLG) avec accumulation de capital (Peter Diamond American Economic Review 1965)Peter Diamond 2)Le modèle OLG avec altruisme intergénérationnel 3)Retraite par répartition ou par capitalisation ? 4)Le modèle de jeunesse perpétuelle

4 4 Le modèle de Diamond (1965) Modèle en temps discret (1 période = +/- 30 ans) Chaque agent vit deux périodes. Coexistence à chaque date de « jeunes » et de « vieux » (Overlapping Generations Model). Les jeunes travaillent, répartissent leur salaire w t entre consommation présente c t et épargne s t avec c t + s t = w t Les vieux reçoivent les intérêts de leur épargne et la consomment d t avec d t = (1+r t )s t-1 Fonction dutilité U(c t ; d t+1 ) avec U i > 0 et U strictement concave Marché du travail concurrentiel, offre de travail inélastique égale au nombre de jeunes L t = L 0 (1+n) t Rendements constants Y t = F(K t ; L t ) avec F i > 0 > F ii Dépréciation totale du capital K t+1 = s t L t

5 5 Le modèle de Diamond (1965) Programme des entreprises (1+r t ) K t = Max F(K t ; L t ) – w t L t doù : w t = F L (K t ; L t ) Théorème dEuler : F(K t ; L t ) – w t L t = F(K t ; L t ) – F L L t = F K K t doù : 1+r t = F K (K t ; L t ) Posons f(x)F(x,1), et k t = K t / L t Alors Y t / L t = f(k t ), 1+r t = f(k t )etw t = f(k t ) – k t f(k t )

6 6 Le modèle de Diamond (1965) Equilibre : Firmes: F(K t ; L t ) = w t L t + (1+r t ) K t Contrainte budgétaire des jeunes :c t + s t = w t etK t+1 = L t s t => w t L t = L t c t + K t+1 Contrainte budgétaire des vieux : (1+r t )s t-1 = d t etK t = L t-1 s t-1 => (1+r t ) K t = L t-1 d t Equilibre sur le marché des biensF(K t ; L t ) = L t c t + L t-1 d t + K t+1 Comme L t+1 = (1+n)L t

7 7 Le modèle de Diamond (1965) : Le modèle de Diamond (1965) : Programme des jeunes Condition du premier ordre (Keynes-Ramsey intragénérationnel) Maximisation dune fonction continue strictement concave sur un espace compact convexe : Un maximum existe et est unique Les conditions nécessaires sont également suffisantes et déterminent entièrement loptimum des agents

8 8 Le modèle de Diamond (1965) Définition : Etant donné k 0, un équilibre est une séquence {c t, d t, k t+1 } t=0,1,… vérifiant 1.Equilibre emploi ressources 2.Allocation intra-générationnelle des ressources 3.Allocation inter-générationnelle des ressources

9 9 Le modèle de Diamond (1965) : Le modèle de Diamond (1965) : Programme des jeunes La condition du premier ordre (Keynes-Ramsey intragénérationnel) Définit implicitement les fonctions de comportement

10 10 Le modèle de Diamond (1965) Equations déquilibre La dynamique dévolution du capital (k t+1 en fonction de k t ) est entièrement décrite (implicitement) par k t+1 = (taux dépargne des jeunes) × (part des salaires = revenus des jeunes dans la production) × production par tête / (1+n) Les deux premiers termes peuvent évoluer de manière ambigüe avec k

11 11 Le modèle de Diamond (1965) Pour étudier S, fonction dutilité additivement séparable Le programme du consommateur donne : Qui détermine alors les propriétés de la fonction S[. ;. ] Avec u(.) > 0 > u et v > 0 > v

12 12 Le modèle de Diamond (1965) Quand w augmente, s augmente … S w > 0 … et donc d t+1 augmente aussi avec w t … Mais effet ambigu de r t+1 … stst u(ct)u(ct) (1+r t+1 ) v(d t+1 ) s t = S[w t ; 1+r t+1 ]

13 13 Le modèle de Diamond (1965) De la même manière c t augmente avec w t ctct u(ct)u(ct) (1+r t+1 ) v(d t+1 ) c t = C[w t ; 1+r t+1 ]

14 14 Le modèle de Diamond (1965) c t d t+1 et s t augmentent avec w t dès que c t et d t+1 sont des biens normaux Aussi 0 < S w < 1 Effet de 1+r t+1 est en général ambigu. Hausse de r t+1 augmente le prix de la consommation présente par rapport à la consommation future (effet substitution) : baisse de c t, hausse de s t et de d t+1 Hausse de r t+1 augmente la frontière des possibles (effet revenu) : hausse de c t, s t et de d t+1 Effet ambigu sur c t et sur s t. Hausse non ambiguë de d t+1

15 15 Le modèle de Diamond (1965) : Equilibre du marché du capital à la date t Tant que les effets revenus ne sont pas trop importants, lépargne augmente ou ne « diminue pas trop » avec r et le marché du capital admet un équilibre temporaire unique Dans ce cas, une hausse de k t => augmente w t => s t et k t+1 augmentent k t+1 r t+1 f(k t+1 ) = 1+r t+1 (1+n)k t+1 = S[w t ; 1+r t+1 ]

16 16 Le modèle de Diamond (1965) Si effets revenus sont très forts, léquation … peut même admettre plusieurs solutions en k t+1 étant donné k t … Ou admettre une dynamique monotone, mais avec plusieurs états stationnaires, certains stables, dautre non. ktkt k t+1 (1+n)k t+1 = k t

17 17 Le modèle de Diamond (1965) Cas particulier : si élasticité de substitution unitaire u(c)=Log(c), v(d)= Log(d) Les conditions doptimalité donnent : Taux dépargne constant : effets revenu et effet substitution se compensent exactement Une hausse du taux descompte intragénérationnel réduit le taux dépargne

18 18 Le modèle de Diamond (1965) Cas particulier (référence) On a Doù : Unique état stationnaire non trivial, qui est stable …

19 19 Le modèle de Diamond (1965) Optimum social. Soit le taux descompte social intergénérationnel Le cas utilitariste correspond à 1/(1+ ) = 1+n, soit < 0 Le cas utilitariste « par tête » correspond à = 0 Pour que le problème soit bien posé, on pose dorénavant > 0. (Utilitarisme par tête avec préférence pour les générations présentes) Loptimum social maximise W en c t, d t et k t+1 pour t = 0, 1, …, étant donnés c -1 et k 0, sous la contrainte emploi-ressources

20 20 Le modèle de Diamond (1965) On utilise la contrainte emploi ressources pour éliminer c t Doù les cpos

21 21 Le modèle de Diamond (1965) A partir des cpo Lallocation intra-générationnelle des ressources est décrite par la même équation à loptimum et à léquilibre Lallocation inter-générationnelle des ressources est décrite par une « règle dor modifiée » (Keynes-Ramsey intergénérationnel) dépendant du facteur descompte intergénérationnel dans lobjectif social

22 22 Le modèle de Diamond (1965) A moins dun « coup de chance » (condition sur ), léquilibre concurrentiel et loptimum diffèrent par la condition dallocation intergénérationnelle des ressources : Lallocation déquilibre peut très bien ne pas être Pareto- efficace Le problème vient de lallocation des ressources entre les générations

23 23 Le modèle de Diamond (1965) Prenons une allocation déquilibre. A quelles conditions redistribuer à chaque période la consommation des jeunes vers les vieux de la génération précédente, sans changer la dynamique du capital améliore le bien-être de toutes les générations ? i.e. pour t=0, 1, … c t = c 0 et k t = 0 Pour la génération née en -1, c 0 < 0 est toujours bénéfique car elle a déjà consommée c -1 à la période précédente. Pour la génération née en t

24 24 Le modèle de Diamond (1965) Redistribuer la consommation des jeunes vers les vieux de la même période a un rendement social n Laisser les jeunes réallouer leur richesse dune période à lautre a un rendement r t+1 Si r t+1 < n il y a suraccumulation de capital. On améliore alors le bien- être de toutes les générations, y compris la première (née en -1) par c t < 0 < d t Lallocation déquilibre est alors dynamiquement (Pareto) inefficace En revanche, en cas de sousaccumulation de capital, il faudrait diminuer la consommation des vieux et augmenter la consommation des jeunes, mais alors, la génération née en -1 perdrait.

25 25 Le modèle de Diamond (1965) Exemple, f(k) = k et U(c t ;d t ) = Log(c t ) + Log(d t+1 ) Aussi à létat stationnaire,

26 26 Le modèle de Diamond (1965) Aussi à létat stationnaire, le k optimal dépend de mais pas de. Si Lallocation déquilibre se traduit par de la suraccumulation de capital. On peut alors augmenter le bien-être de toutes les générations en réallouant la consommation des jeunes vers les vieux de la même période (amélioration Paretienne).

27 27 Le modèle de Diamond (1965) Léquivalence Ricardienne : est-ce que la date à laquelle on effectue un prélèvement forfaitaire compte? Non dans le modèle à horizon infini, car seul compte la contrainte budgétaire intertemporelle des agents qui nest pas affecté par le « timing » des prélèvements Oui dans le modèle à générations imbriqués car cela affecte la contrainte budgétaire dagents de générations différentes Exemple : hausse de T t+k et baisse de T t+k+1 ne change pas la CBI du ménage de génération k mais augmente le revenu des jeunes en k+1 (et donc leur épargne) et diminue anticipée pour les jeunes en k-1

28 28 Le modèle de Diamond (1965) La remise en cause de la seule hypothèse dagents vivant infiniment Peut potentiellement compliquer la dynamique déquilibre (multiplicité et instabilité détat stationnaires, voire indétermination si effets revenus sont très élevés). Laissez faire les agents peut conduire léconomie à un équilibre de suraccumulation du capital qui est Pareto inefficace. Les générations futures nont pas le moyen de compenser les « vieux » de la génération présente en cas de suraccumumation de capital Donne un rôle à létat en terme de taxation du capital pour corriger cette inefficacité. Remet en cause léquivalence Ricardienne La date de remboursement des emprunts est à présent déterminante.

29 29 Générations imbriquées et altruisme intergénérationnel On suppose dorénavant que les individus tiennent également compte du bien-être de leur descendants, en plus de leur utilité de cycle de vie. On suppose ainsi que la génération née en t maximise lutilité dynastique W t définie de manière récursive à partir de lutilité intragénérationnel de cycle de vie U(c t, d t+1 ) et du taux daltruisme intergénérationnel ]0,1[ selon : Doù On autorise un ménage de la génération t à un faire un don x t+1 (leg, héritage donation,…) aux jeunes de la génération suivante … mais « nul nest tenu daccepter un héritage », doù la contrainte x t+1 0

30 30 Générations imbriquées et altruisme intergénérationnel La génération t résout: Soit

31 31 Générations imbriquées et altruisme intergénérationnel Soit les cpos: Compte tenu de la cpo des firmes 1+r t+1 = f(k t+1 ) et de la condition denveloppe

32 32 Générations imbriquées et altruisme intergénérationnel On retrouve lallocation intragénérationnel optimale des ressources Lallocation intergénérationnel dépend si la contrainte de positivité x t+1 0 du leg est ou non mordante. Si elle ne lest pas, on retrouve la condition dallocation intergénérationnelle optimale des ressources (avec ) Sinon, on retrouve la condition dallocation intergénérationnel des ressources déquilibre du modèle de Diamond

33 33 Générations imbriquées et altruisme intergénérationnel En résumé, tant que la contrainte de positivité des legs nest pas contraignante, léconomie réalise une allocation optimale On retrouve les propriétés habituelles (unicité dun état stationnaire non trivial, qui est convergent. « Inutilité » de la politique économique, Equivalence Ricardienne, etc…) En revanche, dès que cette contrainte est mordante, on retrouve une dynamique analogue à celle de Diamond, avec les mêmes problèmes. Intuition : lorsque les agents sont suffisamment altruistes, ils adoptent le point de vue de la dynastie de leur descendants et se comportent comme un agent unique ayant un horizon de vie infini. Le fait de pouvoir léger à leur descendant leur donne un instrument supplémentaire pour réallouer les ressources entre les générations Mais en cas de suraccumulation du capital à léquilibre sans leg, il faudrait des legs négatifs pour réallouer la consommation…

34 34 Retraite On considère lintroduction dun système de retraite A la date t les jeunes payent un prélèvement t et les vieux reçoivent une « pension » p t Il y a deux systèmes de financement Le système de retraite par répartition (qui prédomine en France) fait payer les retraites des « vieux » de la génération t par les « jeunes » de la génération t+1 (Pay as you Go), i.e. L t-1 p t = L t t Intuitivement, ce système est dautant plus « efficace » que la croissance démographique est élevée (que le ratio actifs/ inactifs est élevé

35 35 Retraite Le système de retraite par capitalisation fait payer les retraites des « vieux » de la génération t par un prélèvement quand ils sont jeunes que lon place sur les marchés financiers et que lon ressert avec taux dintérêt (fonds de pension). L t-1 p t = L t-1 (1+r t ) t-1 Intuitivement, le système par répartition est dautant plus productif que le rendement du capital est élevé. En cas de sous-accumulation du capital, on a n < r t+1 et on sattend à ce que la capitalisation domine la répartition En cas de sur-accumulation du capital on a n > r t+1 et on sattend à ce que la la répartition domine la capitalisation La répartition peut-elle restaurer lefficacité dynamique en cas de sous-accumulation ? Quid de leffet sur laccumulation du capital et du taux dintérêt ?

36 36 Retraite Le système de retraite par capitalisation : on a p t = (1+r t ) t-1 et K t+1 = L t (s t + t ) Programme des jeunes Soit Compte tenu de léquilibre du système p t+1 = (1+r t+1 ) t

37 37 Retraite Le système de retraite par capitalisation …laisse inchangée lépargne totale s t + t On a éviction parfaite de lépargne choisie s t par lépargne forcée t La dynamique du capital reste inchangée. Lallocation des ressources est donc inchangée par lintroduction dun système de retraite par capitalisation. … du moins, tant que la retraite nest pas trop élevée. pose des problèmes en pratique: hétérogénéité des préférences intragénérationnel, insécurité des rendements, création de monopsones (fonds de pensions) sur le marché du capital, …

38 38 Retraite Le système de retraite par répartition On a p t = (1+n) t Programme des jeunes Soit Compte tenu de léquilibre du système p t+1 = (1+n)

39 39 Retraite La condition du premier ordre … Définit implicitement leffet sur lépargne de la retraite Si r t+1 = n (règle dor) éviction unitaire. Si U cd = 0 et r t+1 > n (sous accumulation) 0 < - s < - Si U cd = 0 et r t+1 < n (sur accumulation) 0 < - < - s

40 40 Retraite Aussi, la dynamique daccumulation du capital se trouve ralentie ktkt k t+1 (1+n)k t+1 = k t Lintroduction dun retraite par répartition réduit lintensité capitalistique des états stationnaires stables => Baisse de w, hausse de r S[w t ;r t+1 ]

41 41 Retraite Lintroduction dune retraite par répartition Réalloue la consommation des jeunes vers les vieux de la période courante Diminue lintensité capitalistique => r augmente, w diminue Si suraccumulation du capital r < n (et si U cd =0), on a alors une amélioration Parétienne. Sinon, les vieux de la génération présente y gagnent, tous les autres y perdent. A contrario, supprimer ou réduire un système PAYG est toujours néfaste pour au moins une génération…

42 42 Le modèle de jeunesse perpétuelle Le modèle OLG présuppose quune période = 30 ans. Utile pour parler retraite, mais « quid » de questions et de politiques conjoncturelles? Doù le modèle de jeunesse perpétuelle de Yaari (1965) et Blanchard (1985). Temps continu indexé par t. Chaque individu meurt selon un processus de Poisson (doù « jeunesse perpétuelle) de paramètre p ]0,+[ A chaque instant nait une nouvelle cohorte de taille p La cohorte des agents dâge a a une taille égale à p Exp[- p a] La population totale a une taille constante unitaire

43 43 Le modèle de jeunesse perpétuelle Quid de la richesse dun individu lors de sa mort? Blanchard introduit une assurance vie « à lenvers ». Les individus vivant peuvent recevoir un flux de unités de biens contre la promesse de laisser une unité de bien à leur mort. Concurrence parfaite sur lassurance => Profit nul => = p Le caractère Poissonien du processus de décès implique que le comportement des individus est indépendant de leur âge. Ils résolvent (avec t = w t – T t )

44 44 Le modèle de jeunesse perpétuelle Doù la condition de Keynes-Ramsey En labsence dassurance, on aurait eu: Pour boucler simplement le modèle, on prend u(c) = Log(c), si bien que

45 45 Le modèle de jeunesse perpétuelle Aussi, pour un individu né en s, sa consommation en t vérifie En intégrant la contrainte budgétaire du ménage doù:

46 46 Le modèle de jeunesse perpétuelle Or quand t tend vers +, le terme de gauche doit tend vers zéro (condition de non-Ponzi). Aussi : Tous les consommateurs consomment la même fraction + p de leur revenu permanent actualisés Celui-ci est égal à la somme de leur richesse financière a t et des revenus actualisé de leur travail dans le futur Aussi, au niveau agrégé

47 47 Le modèle de jeunesse perpétuelle Impact de C : Keynes-Ramsey habituel… Impact de A : tous le monde consomme une même fraction de son patrimoine plus un terme constant. Les jeunes ont relativement moins de patrimoine, mais ils laccumulent plus vite et leur consommation croît donc plus vite. A plus élevé moins de jeunes C croît moins vite

48 48 Le modèle de jeunesse perpétuelle On a A t = K t et, r t =f(k t ) et léquilibre emploi-ressources Aussi, la dynamique de léconomie est-elle décrite par

49 49 Le modèle de jeunesse perpétuelle KtKt CtCt K cst C cst

50 50 Le modèle de jeunesse perpétuelle Aussi, léconomie converge-t-elle vers un état stationnaire unique On retrouve les propriétés de régularité du modèle de Ramsey… … Mais le taux dintérêt converge vers une valeur supérieure au taux descompte psychologique … et donc supérieur à 0 (sous-accumulation de capital, efficacité dynamique Un allongement de la durée de la vie (baisse de p) fait augmenter K et w et baisser r à létat stationnaire

51 51 Le modèle de jeunesse perpétuelle : rôle de la dette Introduction de la dette B, des dépenses publiques G et des taxes forfaitaires t La dette de létat capte à présent une partie de la richesse financière des ménages. On a à présent A t = K t + B t La dynamique de léconomie est alors décrite par :

52 52 Le modèle de jeunesse perpétuelle KtKt CtCt K cst C cst B > 0 G > 0

53 53 Le modèle de jeunesse perpétuelle : rôle de la dette Létat stationnaire est donné par Le stock de capital de létat stationnaire est implicitement défini par H(K, B, G, p) = 0 où H est définie par

54 54 Le modèle de jeunesse perpétuelle : rôle de la dette On a Si G et B sont suffisamment petits, comme F < F/K, on a par continuité H K < 0 Un pays plus endetté voit à létat stationnaire sont stock de capital diminuer et son taux dintérêt augmenter Si p = 0 (Ramsey), r est indépendant de la dette à létat stationnaire


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