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Rappel... •Diagonalisation. •Transformations linéaires.

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1 Rappel... •Diagonalisation. •Transformations linéaires.

2 Aujourd’hui •Systèmes dynamiques: –discrets; –continus. (valeurs propres complexes)

3 12. Systèmes dynamiques • L’approche moderne en théorie de la commande utilise la représentation d’états. • Cette méthode fait beaucoup appel à l’algèbre linéaire. • On y étudie, entre autres, la réponse en régime permanent.

4 Régime permanent Le régime permanent est analogue au comportement à long terme d’un système x k+1 = Ax k que nous avons déjà étudié pour le cas où x 0 est un vecteur propre de A. Note: systèmes discrets et continus.

5 Systèmes discrets 2  2 Équations aux différences x k+1 = Ax k avec x 0 = c 1 v 1 + c 2 v 2 où v 1 et v 2 sont les vecteurs propres de A avec les valeurs propres  1 et  2.

6 Systèmes discrets 2  2 (suite) x 1 = Ax 0 = A(c 1 v 1 + c 2 v 2 ) = c 1  1 v 1 + c 2  2 v 2 x 2 = Ax 1 = A(c 1  1 v 1 + c 2  2 v 2 ) = c 1 (  1 ) 2 v 1 + c 2 (  2 ) 2 v 2 En général: x k = c 1 (  1 ) k v 1 + c 2 (  2 ) k v 2

7 Systèmes discrets n  n On peut généraliser le cas 2  2. x 0 = c 1 v 1 + c 2 v 2 +… + c n v n x k = c 1 (  1 ) k v 1 +c 2 (  2 ) k v 2 +… + c n (  n ) k v n Note: on suppose que Span{v 1, …, v n } = R n, i.e. v 1, …, v n sont linéairement indépendants.

8 Description graphique des solutions •Systèmes 2  2. x k+1 = Ax k •On cherche à savoir ce qui arrive lorsque k  .

9 Changement de variables •Jusqu’ici on a traité du cas (facile) d’une matrice diagonale. Qu’arrive-t-il si A n’est pas une matrice diagonale?

10 Changement de variables (suite) •Soit x k+1 = Ax k •On définit une autre séquence: y k = P -1 x k, i.e. x k = Py k. où A = PDP -1 (diagonalisation de A). •Donc, Py k+1 = APy k = (PDP -1 )Py k = PDy k. •  P -1  y k+1 = Dy k

11 Valeurs propres complexes •A n’est pas diagonalisable dans R n. •On peut quand même illustrer le comportement du système.

12 Systèmes continus •Équations différentielles. •Soit le système d’équations suivant: x 1 ’ = a 11 x 1 + … + a 1n x n x 2 ’ = a 21 x 1 + … + a 2n x n …. x n ’ = a n1 x 1 + … + a nn x n x’ = Ax

13 Systèmes continus - solutions •Une solution de ce système est une fonction satisfaisant x’ = Ax pour t  0, par exemple. •x’ = Ax est une équation linéaire, car la dérivée et les opérations matricielles sont linéaires.

14 Linéarité •Donc, si u et v sont des solutions de x’ = Ax, alors cu + dv est aussi une solution: (cu + dv)’ = cu’ + dv’ = cAu + dAv = A(cu + dv) •Superposition des solutions. •0 est aussi une solution.

15 Linéarité (suite) •On peut dire que l’ensemble des solutions est un sous-espace de l’ensemble de toutes les fonctions continues dans R n. •On peut trouver un ensemble de solutions fondamentales. •Si A est n  n, on a n fonctions linéairement indépendantes dans cet ensemble  base.

16 Conditions initiales •Si on spécifie x 0 (conditions initiales), alors le problème se ramène à calculer la fonction unique: x’ = Ax et x(0) = x 0

17 Prochain cours... •Orthogonalité. –Produit scalaire, module; –Ensembles orthogonaux.


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