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IUT de ToulonB. Rossetto1 IUT de Toulon GEII 2 ème année Cours de Mathématiques Bruno ROSSETTO tél. 06 08 45 48 54

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1 IUT de ToulonB. Rossetto1 IUT de Toulon GEII 2 ème année Cours de Mathématiques Bruno ROSSETTO tél site:

2 IUT de ToulonB. Rossetto2 Cours de Mathématiques  Sommaire du module MA 31 Analyse de Fourier, Mathématiques pour le signal discret Rappel – Transformée de Laplace Chap. 1 – Transformation de Fourier Chap. 2 – Transformée en z Chap. 3 – Suites numériques Chap. 4 – Séries numériques, séries entières

3 IUT de ToulonB. Rossetto3 Cours de Mathématiques  Module MA 32 Séries de Fourier, Fonctions à plusieurs variables  Module MC M2 (semestre 4) Algèbre linéaire et applications  Module MC M3 (semestre 4) Probabilités et statistiques inférentielles

4 IUT de ToulonB. Rossetto4 Transformée de Laplace  Définition

5 IUT de ToulonB. Rossetto5 Transformée de Laplace  Exemples U(t) 0 t 1 Echelon unité 0 t 1 Exponentielle décroissante U(t)e -t, a> 0 Note: la TL n’est pas définie pour tout p: la partie réelle de p doit être plus grande qu’une valeur, l’abscisse de convergence.

6 IUT de ToulonB. Rossetto6 Transformée de Laplace  Propriété de linéarité

7 IUT de ToulonB. Rossetto7 Transformée de Laplace  Propriété de linéarité Exercice. Retrouver les expressions des TL suivantes:

8 IUT de ToulonB. Rossetto8 Transformée de Laplace  Propriétés 0 t 1 Impulsion 0 t Rampe R(t) T

9 IUT de ToulonB. Rossetto9 Transformée de Laplace  Propriétés

10 IUT de ToulonB. Rossetto10 Transformée de Laplace  Convolution 0  1 U(t) U(t-) 0  1 U(t) U(-t)

11 IUT de ToulonB. Rossetto11 Transformée de Laplace  Opérateurs Exercice. Un signal à support temporel borné [O, T] est périodisé avec une période T. Retrouver l’expression de sa TF (cf. le tableau)

12 IUT de ToulonB. Rossetto12 Transformée de Laplace  Systèmes linéaires stationnaires H(t) h(p) E(t) e(p) S s(p)

13 IUT de ToulonB. Rossetto13 Transformée de Laplace  Systèmes linéaires stationnaires H(t) h(p) E(t) e(p) SE(t)*H(t))  = s(p)=e(p).h(p) Dans l’espace temps Au niveau des TL Entrée E(t) e(p) SLS H(t) h(p) (rép. percussionnelle) (fonction de transfert) Sortie S(t)=E(t)*H(t) s(p)=e(p).h(p)

14 IUT de ToulonB. Rossetto14 Transformée de Laplace  Déconvolution Pour calculer B, on multiplie l’équation par (p-a) et on fait tendre p vers l’infini. On trouve: B = - C. Les originaux des éléments simples peuvent alors être trouvés directement à partir des tables de TL usuelles. Pour calculer A (resp. C), on multiplie l’équation par (p-a) 2 (resp. p - b) et on fait p = a (resp. p = b). On trouve : 1. Décomposition en éléments simples de première espèce

15 IUT de ToulonB. Rossetto15 Transformée de Laplace  Déconvolution C’est le cas où le dénominateur est un trinôme du second degré qui n’a pas de racines réelles. On décomposition en éléments simples de 2ème espèce : 2. Décomposition en éléments simples de deuxième espèce

16 IUT de ToulonB. Rossetto16 Transformée de Laplace  Déconvolution Exercice: identification d’un système linéaire stationnaire H(t)= ? h(p)= ? E(t)=U(t)S(t) On applique un échelon unité à l’entrée d’un système linéaire stationnaire inconnu. On mesure S(t) en sortie. Déterminer la réponse percussionnelle et la fonction de transfert du système. Exercices. Calculer les fonctions du temps qui ont pour TL les expressions suivantes:

17 IUT de ToulonB. Rossetto17 Transformée de Laplace  Calcul opérationnel Exercice. (t) 0 t 1 Distribution de Dirac H(t)= ? h(p)= ? (t)

18 IUT de ToulonB. Rossetto18 Transformée de Laplace  Réponses Exercice: identification d’un système linéaire stationnaire Exercices. Eléments de réponse: Réponse: H(t) est la dérivée de S(t)


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