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La résolution de problèmes numériques de lécole maternelle... au cycle 2.

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1 La résolution de problèmes numériques de lécole maternelle... au cycle 2

2 Problème 1 Marie possède 47 images, elle en donne 12 à Claire. Combien lui en reste-t-il ?

3 Problème 2 Anaïs ajoute 12 billes dans une boîte qui en contient déjà. Il y a maintenant 41 billes dans cette boîte. Combien y avait-il de billes dans la boîte au départ ?

4 Définir la résolution de problèmes « Par problème, il faut entendre dans le sens large que lui donne le psychologue, toute situation dans laquelle il faut découvrir des relations, développer des activités dexploration, dhypothèses et de vérification pour produire une solution. » G.VERGNAUD « Un problème est généralement défini comme une situation initiale avec un but à atteindre, demandant au sujet délaborer une suite dactions ou dopérations pour atteindre ce but. Il ny a problème que si la solution nest pas disponible demblée mais possible à construire. Cest dire aussi quun problème pour un sujet donné peut ne pas être un problème pour un autre sujet, en fonction de leur développement intellectuel par exemple. » J.BRUN

5 La résolution de problèmes Pourquoi les élèves ont beaucoup de difficultés à résoudre des problèmes à lécole élémentaire (tous cycles confondus) ? Voir les Évaluations Nationales (CE1 et CM2) et Européennes (PISA). Pourquoi cette partie de lactivité mathématique correspond, pour la majorité des élèves, à un moment difficile, pénible, sans sens et surtout sans enjeu ? Parce que les élèves ne résolvent pas de véritables problèmes à lécole, Parce que le contrat inhérent à la résolution de problème nest pas correctement initié entre lenseignant et les élèves. Parce que ce contrat nest pas toujours bien intégré et reconnu comme essentiel par beaucoup denseignants eux -mêmes. Parce que la « manipulation » est une action sur le réel, pour lélève, qui reste longtemps ambiguë (Cf. « Les 7 malentendus de la maternelle » de R.GOIGOUX)

6 Sur les activités ludiques Se reporter au texte « les 7 malentendus de la maternelle » de R. Goigoux, où il dit : « Beaucoup cherchent à enjoliver les situations en maternelle, afin de les rendre plus motivantes […]. Et cest ainsi que certains élèves sappliquent à colorier des étoiles et à tracer des chemins sur la piste du cirque entre les lions et leurs tabourets, alors que dautres, sur le même matériel, sattachent à réussir des activités de dénombrement et de correspondance terme à terme. Les premiers traitent la surface des problèmes alors que les seconds en abstraient leur structure logico-mathématique. »

7 Les Nouveaux Programmes pour lEcole Maternelle 6 domaines dactivités à lEcole Maternelle Sapproprier le langage Découvrir lécrit Devenir élève Agir et sexprimer avec son corps Découvrir le monde Percevoir, sentir, imaginer, créer

8 À lécole maternelle, lenfant découvre le monde proche ; il apprend à prendre et à utiliser des repères spatiaux et temporels. Il observe, il pose des questions et progresse dans la formulation de ses interrogations vers plus de rationalité. Il apprend à adopter un autre point de vue que le sien propre et sa confrontation avec la pensée logique lui donne le goût du raisonnement. Il devient capable de compter, de classer, dordonner et de décrire, grâce au langage et à des formes variées de représentation (dessins, schémas). Il commence à comprendre ce qui distingue le vivant du non-vivant (matière, objets). 5 sous-domaines Découvrir les objets Découvrir la matière Découvrir le vivant Découvrir les formes et les grandeurs Approcher les quantités et les nombres Découvrir le monde

9 Approcher les quantités et les nombres Lécole maternelle constitue une période décisive dans lacquisition de la suite des nombres (chaîne numérique) et de son utilisation dans les procédures de quantification. Les enfants y découvrent et comprennent les fonctions du nombre, en particulier comme représentation de la quantité et moyen de repérer des positions dans une liste ordonnée dobjets. Les situations proposées aux plus jeunes enfants (distributions, comparaisons, appariements...) les conduisent à dépasser une approche perceptive globale des collections. Laccompagnement quassure lenseignant en questionnant (comment, pourquoi, etc.) et en commentant ce qui est réalisé avec des mots justes, dont les mots-nombres, aide à la prise de conscience. Progressivement, les enfants acquièrent la suite des nombres au moins jusquà 30 et apprennent à lutiliser pour dénombrer. Dès le début, les nombres sont utilisés dans des situations où ils ont un sens et constituent le moyen le plus efficace pour parvenir au but : jeux, activités de la classe, problèmes posés par lenseignant de comparaison, daugmentation, de réunion, de distribution, de partage. La taille des collections, le fait de pouvoir agir ou non sur les objets sont des variables importantes que lenseignant utilise pour adapter les situations aux capacités de chacun. À la fin de lécole maternelle, les problèmes constituent une première entrée dans lunivers du calcul mais cest le cours préparatoire qui installera le symbolisme (signes des opérations, signe égal) et les techniques. La suite écrite des nombres est introduite dans des situations concrètes (avec le calendrier par exemple) ou des jeux (déplacements sur une piste portant des indications chiffrées). Les enfants établissent une première correspondance entre la désignation orale et lécriture chiffrée ; leurs performances restent variables mais il importe que chacun ait commencé cet apprentissage. Lapprentissage du tracé des chiffres se fait avec la même rigueur que celui des lettres.

10 Les compétences numériques à la fin de lécole maternelle comparer des quantités, résoudre des problèmes portant sur les quantités ; mémoriser la suite des nombres au moins jusquà 30 ; dénombrer une quantité en utilisant la suite orale des nombres connus ; associer le nom de nombres connus avec leur écriture chiffrée ;

11 Les objectifs assignés à lécole maternelle concernant lapproche des quantités et des nombres Acquérir la suite des nombres (la comptine numérique) au moins jusquà 30 Utiliser la comptine numérique dans des procédures de dénombrement Comprendre les fonctions du nombre : Une fonction cardinale Une fonction ordinale Il sagit de donner du sens aux nombres par leur utilisation dans la résolution de problèmes dans des situations vécues (jeux, activités de la classe…) ; Ces problèmes sont choisis pour que les nombres y apparaissent comme des outils efficaces pour anticiper le résultat : dune action sur les quantités : - comparaison - réalisation dune collection équipotente - augmentation - diminution - réunion - distribution - partage dune action sur des positions - Repérer des positions dans une liste ordonnées dobjets - Hiérarchiser des séries en utilisant la comptine

12 Les Nouveaux Programmes pour le Cycle 2 7 champs disciplinaires au Cycle des apprentissages fondamentaux FRANÇAIS MATHÉMATIQUES ÉDUCATION PHYSIQUE ET SPORTIVE LANGUE VIVANTE DÉCOUVERTE DU MONDE PRATIQUES ARTISTIQUES ET HISTOIRE DES ARTS INSTRUCTION CIVIQUE ET MORALE

13 MATHÉMATIQUES au Cycle 2 Lapprentissage des mathématiques développe limagination, la rigueur et la précision ainsi que le goût du raisonnement. La connaissance des nombres et le calcul constituent les objectifs prioritaires du CP et du CE1. La résolution de problèmes fait lobjet dun apprentissage progressif et contribue à construire le sens des opérations. Conjointement, une pratique régulière du calcul mental est indispensable. De premiers automatismes sinstallent. Lacquisition des mécanismes en mathématiques est toujours associée à une intelligence de leur signification. 1 - NOMBRES ET CALCUL Les élèves apprennent la numération décimale inférieure à Ils dénombrent des collections, connaissent la suite des nombres, comparent et rangent. Ils mémorisent et utilisent les tables daddition et de multiplication (par 2, 3, 4 et 5), ils apprennent les techniques opératoires de laddition et de la soustraction, celle de la multiplication et apprennent à résoudre des problèmes faisant intervenir ces opérations. Les problèmes de groupements et de partage permettent une première approche de la division pour des nombres inférieurs à 100. Lentraînement quotidien au calcul mental permet une connaissance plus approfondie des nombres et une familiarisation avec leurs propriétés. 2 - GÉOMÉTRIE Les élèves enrichissent leurs connaissances en matière dorientation et de repérage. Ils apprennent à reconnaître et à décrire des figures planes et des solides. Ils utilisent des instruments et des techniques pour reproduire ou tracer des figures planes. Ils utilisent un vocabulaire spécifique. 3 - GRANDEURS ET MESURES Les élèves apprennent et comparent les unités usuelles de longueur (m et cm ; km et m), de masse (kg et g), de contenance (le litre), et de temps (heure, demi heure), la monnaie (euro, centime deuro). Ils commencent à résoudre des problèmes portant sur des longueurs, des masses, des durées ou des prix. 4 - ORGANISATION ET GESTION DES DONNÉES Lélève utilise progressivement des représentations usuelles : tableaux, graphiques.

14 PREMIER PALIER POUR LA MAÎTRISE DU SOCLE COMMUN : COMPÉTENCES ATTENDUES À LA FIN DU CE1 COMPÉTENCE 3 : LES PRINCIPAUX ÉLÉMENTS DE MATHÉMATIQUES ET LA CULTURE SCIENTIFIQUE ET TECHNOLOGIQUE Lélève est capable de : - écrire, nommer, comparer, ranger les nombres entiers naturels inférieurs à ; - calculer : addition, soustraction, multiplication ; - diviser par 2 et par 5 des nombres entiers inférieurs à 100 (dans le cas où le quotient exact est entier) ; - restituer et utiliser les tables daddition et de multiplication par 2, 3, 4 et 5 ; - calculer mentalement en utilisant des additions, des soustractions et des multiplications simples ; - situer un objet par rapport à soi ou à un autre objet, donner sa position et décrire son déplacement ; - reconnaître, nommer et décrire les figures planes et les solides usuels ; - utiliser la règle et léquerre pour tracer avec soin et précision un carré, un rectangle, un triangle rectangle ; - utiliser les unités usuelles de mesure ; estimer une mesure ; - être précis et soigneux dans les tracés, les mesures et les calculs ; - résoudre des problèmes très simples ; - observer et décrire pour mener des investigations ; - appliquer des règles élémentaires de sécurité pour prévenir les risques daccidents domestiques.

15 Les Documents daccompagnement En cycle 2 « Les problèmes doivent se situer dans des contextes maîtrisés par les élèves, le plus souvent possible, à laide de supports effectivement présents dans la classe (matériel, jeu). » « Le choix des situations doit favoriser une entrée rapide dans le problème et permettre une validation des réponses ainsi quune explicitation des procédures par retour à lexpérience. » « Une présentation mimée ou orale, éventuellement avec laide dune image ou dun document, peut également être utilisée. La maîtrise de lécrit nétant pas entièrement assurée pour une partie des élèves de cycle 2, le recours à des situations fictives nimplique pas lutilisation dun énoncé écrit. » « Les situations proposées doivent réellement être problématiques et donc nécessiter un travail intellectuel de la part de lélève pour lélaboration de la réponse. » « Lenfant doit pouvoir valider sa réponse.»

16 Les nombres, ça sert à quoi ? Les nombres servent à mémoriser les quantités et à construire ainsi des collections ayant le même nombre déléments, sans la présence explicite de la collection de référence. Les nombres servent à comparer les quantités sans la présence explicite des collections de référence Les nombres servent à agir sur les quantités sans la présence explicite des collections de référence: à les transformer, les réunir, les partager…, donc à calculer

17 Le nombre : les points clés de lapprentissage La comptine numérique (la chaîne orale) « la chaîne en chapelet » « La chaîne non sécable » « La chaîne sécable » Le comptage-dénombrement Les collections témoins La structuration des quantités : du dénombrement au calcul Lintervalle des petits nombres : de 1 à 3 ou 4 Lintervalle des nombres familiers : selon lâge de lenfant, cet intervalle varie jusquà 4 ou 5, puis 5 à 6 puis 6 à 7 puis 7 à 8… Lintervalle des grands nombres : jusquà linfini

18 La résolution de problèmes : le fondement de lapprentissage des mathématiques Les différentes sortes de problèmes Cf. Document daccompagnement Les problèmes de recherche Les problèmes permettant la construction de connaissances nouvelles Les problèmes favorisant une évolution dans la connaissance de notions déjà rencontrées La situation problème Les types de problèmes Construire une collection équipotente Compléter une collection Comparer deux collections Partager une collection Les variables Pédagogiques Didactiques

19 Schéma de principe dune situation problème daprès ERMEL

20 Quels types de situations ? Rituelles : elles se répètent régulièrement voire quotidiennement, par nécessité, par convention sociale (dénombrement des présents et des absents…) Fonctionnelles : pas forcément quotidiennes, mais incluses dans lorganisation et la réalité de la vie de la classe (mise au point dune sortie…) Construites par lenseignant(e) : ce sont des situations dont lenjeu est un apprentissage ciblé et voulu, par rapport à des compétences des I.O.

21 Des tâches (constitutives de situations) Qui forcent les opérations mentales, en mettant à distance les procédures sensori-motrices. Qui sont anticipatrices sur le réel. Il faut donc mettre en place des contraintes qui incitent les élèves à anticiper. Qui permettent aux élèves de choisir leurs procédures, de les essayer, den mesurer si possible leur pertinence, de les rejeter si nécessaire.

22 Quels matériels et supports ? Les supports et les milieux organisés doivent, le plus souvent, être composés de matériels effectifs. Les moments réservés à la feuille de papier (espace graphique) doivent être rares et ciblés (travail en autonomie, par exemple)…

23 La dévolution du problème Le problème mathématique est posé par lenseignant. Ce problème doit devenir celui de lélève qui devra : Identifier la situation et le but à atteindre (donc savoir : de quoi ça parle et que dois-je faire ?) Accepter la tâche. Comment atteindre la dévolution, comment favoriser lidentification de la situation et de la tâche ? Par le matériel Par lexposition du résultat attendu Par lutilisation dexemples et de contre-exemples Par la formulation puis la reformulation de la consigne par lélève Situations image-puzzle « Lanniversaire » et énoncé-puzzle « Les champignons »

24 Quelles procédures ? Les procédures, mises en œuvre par les élèves, peuvent être « débrouillardes », «personnelles »… Aucune procédure experte ne doit être introduite… Aucune introduction de signes conventionnels (autres que les chiffres, le moment venu).

25 Résolution de problèmes et connaissances numériques Le nombre comme mémoire de la quantité Situation Les serveurs Loral et les consignes Des quantités aux nombres Situation La boîte des absents Les comptines pour apprendre à compter Les albums à compter Ecrire, lire les nombres Situation Habiller les clowns La bande numérique Le nombre pour anticiper Situation Le Trésor Le jeu des choses Le jeu du Greli-grelo Lalbum et les fiches à calculer

26 Un exemple fondamental: « la situation des … serveurs, voleurs, les lutins,... le robot, … etc.… » Consigne: « Il faut aller chercher juste ce quil faut de cuillères, au retour il doit y avoir une cuillère dans chaque gobelet et pas de gobelet vide… » Les variables de la situation: (pour faire évoluer la situation de la PS au CP) Le nombre de gobelets (ce nombre est à adapter en fonction des capacités des élèves (var. pédagogique), mais également pour faire évoluer les procédures (var. didactique): collections-témoins, puis nombres). Le nombre dallers et retours (3, puis 2, puis 1). La distance spatiale et temporelle entre les deux collections. Lorganisation et le choix du matériel (gobelets, quadrillage en robot, grappes de raisin, wagons de voyageurs, coccinelles, etc.). Le type de communication (élève seul, un banquier, par oral, par écrit)…


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