Introduction à la Logique (Logique I) 1ère Année

Introduction à la Logique (Logique I) 1ère Année
Pr. El Bakkali Hanane

Introduction à la logique
Sommaire Historique & Introduction Logique des propositions Logique des prédicats

I. Historique & Introduction
Quelques dates de l’histoire de La logique En -300 : Aristote (considéré souvent comme le père de la ‘Logique’ comme discipline) définit les concepts de la logique, il divise la logique en 3 parties : l’étude de la conception, du jugement et du raisonnement; Leibniz ( ) envisage q’une machine puisse raisonner : enchaîner des propositions élémentaires pour faire des déductions; En 1854 : Boole reprend l’étude de Leibniz, il démontre, dans son ouvrage The Laws of Thought (Les lois de la pensée) que tous les processus logiques peuvent être modélisés par des opérations logiques utilisant les opérateurs de base (ET, OU, NON) appliqués à des variables à deux états. Depuis cette date, on peut dire que la logique a migré de la philosophie vers les mathématiques.

Quelques dates de l’histoire de La logique Vers la fin du XIX siècle, Frege fonde la science des systèmes formels et invente le calcul des prédicats. Au début du XX siècle, Tarski propose une théorie de la référence expliquant comment relier les objets d’un système formel logique et les objets du monde réel, autrement dit, la formalisation d’un domaine de connaissances par un système formel devient possible. C’est la naissance de la notion de démonstration automatique En 1931, Gödel montre que la logique des prédicats est seulement semi-décidable : il existe une procédure effective pour prouver (en un temps fini) tout énoncé vrai, mais ce n’est pas le cas pour les énoncés faux.

La Logique est la discipline qui s'attaque à la notion de validité des raisonnements, toutefois, la manière de traiter cette notion, les fondements, le formalisme utilisé, etc., changent d’une logique à une autre. Nous avons une sorte d’arbre d’héritage entre ces différentes logiques :

En logique: un raisonnement valide utilise des règles d’inférence valides. Une règle d’inférence permet le passage d’un certain nombre de prémisses à une conclusion. Une règle d’inférence est valide à cause de sa forme et non pas à cause du sens des prémisses, par exemple, la règle Modus Ponens : A A  B _____________ B

Introduction (fin) Parmi les règles d’inférence valides, citons : Règle Modus Tollens : ¬B A  B _____________ ¬ A Règle du Syllogisme : A  B B  C _____________ A  C Règle de Résolution : ¬X  A X  B _____________ A  B

II. Logique des propositions
Sommaire Introduction Langage propositionnel Théorie des modèles Théorie de la preuve Méthodes axiomatiques Méthode des tables de vérité Méthode de Résolution

Introduction La logique des propositions est une branche de la Logique et plus précisément de la logique classique. Dans la logique des propositions, les opérations qui lient les propositions pour en former d’autres plus complexes sont appelées des connecteurs, Un connecteur binaire permet de composer deux propositions pour en obtenir une troisième, un connecteur unaire permet d’obtenir une proposition à partir d’une autre .

Introduction Dans la logique de propositions, nous pouvons considérer trois niveaux d'analyse: Langage propositionnel (syntaxique) : définition des formules bien formées (fbf ou wff), i.e. les propositions correctes syntaxiquement; Théorie des modèles (sémantique) : définition des notions de validité des propositions et de relation de conséquence logique entre propositions; Théorie de la preuve (axiomatique) : définition des notions de prouvabilité des propositions et de déduction; But : valide = prouvable

Langage propositionnel : LP Définition 1 : l’alphabet de LP L'alphabet de la logique propositionnelle est constitué de : un ensemble dénombrable de variables propositionnelles (ou formules atomiques, ou encore atomes) : par exemple, p, q, r, …., il_pleut, la_route_est_mouillée, … Les constantes : F (faux, ie: ‘0’ de Boole) et V (vrai, ie: ‘1’ de Boole) (Rq1: ¬ F est équivalente à V, on peut s’en passer de V si on veut) (Rq2: F est équivalente à (p ¬p) on peut s’en passer de F si on veut) les connecteurs : ¬ ,  ,  ,  et  (Rq: on préfère ne pas utiliser : ‘ou exclusif ’) les séparateurs ‘(‘ et ‘)‘.

Langage propositionnel : LP (suite) Définition 2 : Formules bien formées (fbf ou wff) L'ensemble des formules (ou propositions) de la logique propositionnelle est le plus petit ensemble de mots construits sur l'alphabet tel que : si A est une formule atomique alors A est une formule; F (faux) est une formule ; ¬ A est une formule si A est une formule; (A  B), (A  B), (A  B) et (A  B) sont des formules si A et B sont des formules. N.B: A et B qui désignent ci-dessus des formules sont des ‘metavariables’ car ils ne font pas partie de l'alphabet de LP. Si on n’utilise pas des parenthèses, l’ordre de priorité des connecteurs est comme suit : ¬ ,  , , ,  , et l’associativité est à gauche pour chaque connecteur.

Langage propositionnel : LP (suite) Définition 3 : Sous-formules L'ensemble des sous-formules d'une formule A est le plus petit ensemble tel que : A est une sous-formule de A. Si (¬ B) est une sous-formule de A alors B est une sous-formule de A. Si (B  C) (respectivement (B v C) ou (B  C) ou(B C)est une sous-formule de A alors B et C sont des sous-formules de A. L'endroit où une sous-formule apparaît est son occurrence. Une ss-formule peut avoir plusieurs occurrences dans une formule.

Langage propositionnel : LP (suite) Définition 4 : Substitution uniforme Une substitution (ou substitution uniforme) associe à une variable propositionnelle p une formule A . Elle est notée [p\A]. L'application de [p\A] à une formule B , notée B[p\A], est le résultat du remplacement simultané de toutes les occurrences de p dans B par A. B [p\A], est appelé une instance de B.

Théorie des modèles : Définition 1: Interprétation Une interprétation I (ou valuation) est une application de l'ensemble des variables propositionnelles dans l'ensemble des valeurs de vérité {V,F} (ou {0,1}). Définition 2: Interprétation des formules Une interprétation donnée I peut être étendue à l'ensemble des formules comme suit (A et B étant des formules) : I(F) = F (ou 0 ) et I(V) = V (ou 1) I(¬A) = V si I(A)= F et I(¬A) = F sinon (ou 1 - I(A)) I(A  B) = V si I(A)= V et I(B) =V et I(A  B) = F sinon (ou min(I(A),I(B))) I(A v B) = V si I(A)= V ou I(B) =V et I(A  B) = F sinon (ou max(I(A),I(B)) ) I(A  B) = V si I(A) = F (ou 0) ou I(B) =V (ou 1) et I(A  B) = F sinon. I(A  B) = V si I(A  B) =V (ou 1) et I(B A) =V (ou 1) et I(A  B) = F sinon.

Théorie des modèles (suite): Définition 3 : Modèle I est un modèle pour une formule A (ou I satisfait A) ssi I(A) = V , noté |=I A. I est un modèle pour un ensemble de formules S ssi I est un modèle pour toute formule A de S. Définition 4 : Validité, Satisfaisabilité Soit A une formule: A est valide (ou tautologique ; noté |= A) si I(A) = V pour toute interprétation I. Sinon A est invalide ou falsifiable. A est satisfaisable ssi il existe une interprétation I t.q. I(A) = V. Sinon A est non satisfaisable ou contradictoire. Exemples

Théorie des modèles (suite): Définition 5 : consistance. Soit S un ensemble de formules. S est inconsistant s’il n'existe aucun modèle pour S, autrement dit, un modèle pour lequel toutes les formules de S ont simultanément la valeur vrai. Si un tel modèle existe S est dit consistant ou satisfaisable. Définition 6 : Conséquence logique. Une formule A est conséquence logique de n formules A1, ... ,An, noté {A1, ... ,An} |= A, ssi tout modèle de {A1, ... ,An } est un modèle de A. Définition 7 : Équivalence tautologique Soit A1 et A2 deux formules, elles sont dites tautologiquement équivalentes si A1 |= A2 et A2 |= A1 . Exemples

Théorie des modèles (suite): Théorème 1 : Conséquence logique et implication Soient A et B deux formules et S un ensemble de formules contenant A : A |= B ssi |= (A  B). S |= B ssi S /{A} |= (A  B).

Théorie de la preuve : Introduction L’intérêt pratique de la théorie de la preuve est qu’elle répond à l’un des buts recherchés en intelligence artificielle, qui est la démonstration automatique de théorèmes (formules valides). Dans la théorie de la preuve, il existe différentes méthodes (appelées aussi systèmes formels) qui permettent de prouver la validité –ou seulement la satisfiabilité- d’une formule propositionnelle. Ces méthodes peuvent être utilisées pour déduire une proposition à partir d’un certain nombre de propositions (hypothèses).

Théorie de la preuve : Introduction (suite) Parmi ces méthodes, on trouve : Méthodes axiomatiques Exemples: Axiomatique de Kleene Axiomatique de Hilbert Méthode des tables de vérité Méthode des tableaux sémantiques Méthode de résolution

Théorie de la preuve : Introduction (fin) Les méthodes de preuve formelles, peuvent, en effet, être classifiées selon différents critères, dont : Méthodes directes ou par réfutation, Méthodes axiomatiques ou sémantiques, Méthodes nécessitant une forme normale ou pas, etc. Toutefois, ces méthodes de preuve doivent toutes répondre au critère de correction, i.e, toute proposition prouvable est valide. Un autre critère important est la complétude, i.e, toute proposition valide est prouvable.

Théorie de la preuve : Méthodes axiomatiques Définition 1 : Axiome & Schéma d’axiomes Un axiome est une formule propositionnelle valide (à cause de sa forme et non pas à cause de l’interprétation de ses propositions atomiques). L’ensemble d’axiomes étant infini, on utilise plutôt des schémas d’axiomes de nombre fini pour représenter la forme générale d’une famille d’axiomes. Un axiome est donc une instance (par substitution uniforme) d'un schéma. Exemple : A  (B  A) (p q )  ( (r  s)  (p q ) ) A B A Schéma d’axiome Axiome

Théorie de la preuve : Méthodes axiomatiques (suite) Définition 2 : Méthode de preuve axiomatique. Une méthode axiomatique est une méthode formelle se basant sur un certain nombre de schémas d’axiomes (valides) et de règles d’inférence valides et qui pour une proposition (fbf) donnée (à prouver), elle peut donner une suite finie de propositions, constituant une preuve, telle que : La 1ère proposition de la suite soit un axiome instance d'un des schémas d’axiomes retenus par la méthode. Chacune des propositions qui suivent soit un axiome ou soit directement dérivable de quelques unes des propositions qui la précèdent dans la suite, en vertu des règles d’inférences. La dernière proposition de la suite (de propositions) est la proposition à prouver.

Théorie de la preuve : Méthodes axiomatiques (suite) Définition 3 : Prouvabilité Soit A une formule. A est prouvable (noté |- A) s’il existe une preuve de A.

Théorie de la preuve : Méthodes axiomatiques (suite) Définition 4 : Déduction. Une déduction d'une formule A à partir d'hypothèses (propositions) B1,...,Bm (notée {B1,...,Bm } |- A) est une liste finie de formules (A1, ... ,An) t.q : An = A pour i = 1, ...,n, la formule Ai est : soit un axiome, soit égal à une des hypothèses Bj, soit obtenue par application de la règle de Modus Ponens à partir de deux prémisses Aj, Ak précédant Ai dans la liste. Rq: Une preuve n’utilisant que la règle Modus Ponens est une déduction sans hypothèses.

Théorie de la preuve : Méthodes axiomatiques (suite) Lemme 1 : La règle de Modus Ponens préserve la validité : Si |= A et |= (A  B) alors |= B . Lemme 2 : La substitution uniforme préserve la validité : Soient A et B des formules et p une proposition atomique: Si |= A alors |= A[p\B].

Théorie de la preuve : Méthodes axiomatiques (suite) Théorème 1 : Adéquation d’une preuve Si A est prouvable alors A est valide : Si |- A alors |= A. Théorème 2 : Complétude Si A est valide alors A est prouvable : Si |= A alors |- A. But : valide = prouvable

Théorie de la preuve : Méthodes axiomatiques (suite) Théorème 3 : Déduction et implication A |- B ssi |- (A  B). (A et B étant des formules) S |- B ssi S /{A} |- (A  B). (S ensemble de formules contenant A) Problème : Décidabilité Si une formule est valide alors elle est prouvable par une méthode axiomatique (complétude), mais si elle ne l'est pas alors la méthode ne s'arrêtera jamais. Théorème 4 : Procédure décidable La logique propositionnelle est décidable : il existe une procédure effective qui pour toute formule A en entrée s'arrête et retourne `oui' si A est valide, et `non' sinon.

Théorie de la preuve : Méthodes axiomatiques (fin) Exemple : Axiomatique de Kleene Schémas d’axiomes (10): A  (B  A) (A ( B  C))  ((A  B)  (A  C)) A  (B  (A  B) ) (A  B)  A (A  B)  B A  A v B B  A v B (A  C)  ((B  C)  ((A v B)  C)) (A  B)  ((A  ¬B)  ¬A) ¬¬A  A ¬ F (toujours vraie) Règle d’inférence : Modus Ponens Propriété : Complétude.

Théorie de la preuve : Méthode des Tables de vérité Définition 5 : Elle permet de donner les valeurs de vérité possibles d’une formule composée F pour chaque combinaison possible des valeurs de vérité des propositions atomiques qui sont sous-formules de F. Construction : On commence par définir, pour chaque connecteur c, une table qui associe une valeur de vérité à une formule de type ‘A c B’ pour chaque attribution de valeurs de vérité à ces sous-formules (A et B dans ce cas). C'est ce qu'on appelle les tables de vérité des connecteurs tvc. Étant donné une formule quelconque, il est alors possible de construire sa table de vérité, en calculant sa valeur de vérité pour chaque combinaison possible des valeurs de vérité de ces variables propositionnelles moyennant les tables de vérité des connecteurs.

Théorie de la preuve : Méthode des Tables de vérité (suite) Validité d’une formule : Chaque ligne d'une table de vérité d’une formule A correspond à une combinaison possible des valeurs de vérité de toutes les variables propositionnelles apparaissant dans A. Ceci peut être vue comme la description d’une interprétation de l'ensemble des n variables propositionnelles de la formule dans l'ensemble des valeurs de vérité {F, V}. L’ensemble des lignes (2n) de la table représente, donc, toutes les interprétations possibles de l'ensemble des variables propositionnelles de la formule dans l'ensemble des valeurs de vérité {F, V}. Si pour chaque ligne la valeur de la formule A est V alors, chaque interprétation -de l'ensemble des variables propositionnelles de la formule dans l'ensemble des valeurs de vérité {F, V} - est un modèle pour A, et donc A est valide.

Théorie de la preuve : Méthode de Résolution Formes normales et clausales : Définition 6 : littéral, forme normale disjonctive Un littéral est une formule atomique ou la négation d'une formule atomique (exps : p et ¬ q avec p et q atomes). Une formule est une Forme Normale Disjonctive (FND) si elle est une disjonction de conjonctions de littéraux. Définition 7: clause, forme normale conjonctive Une clause est une disjonction de n (n0) littéraux (exp: ¬p1 v p2v p3). Une formule est une forme normale conjonctive (FNC) si elle est une conjonction de clauses .

Théorie de la preuve : Méthode de Résolution (suite) Théorème 6 : Équivalence et formes normales Toute formule propositionnelle est équivalente à une forme normale conjonctive et à une forme normale disjonctive Algorithme de mise en forme normale conjonctive Entrée : une formule A1 Sortie : une fnc A’1 équivalente à A1 Début Eliminer  et  et F (si il est utilisé); Appliquer à A1 les remplacements suivants autant de fois que nécessaire: ¬ ¬ A --> A ¬ (A v B) --> ¬ A  ¬B ¬ (A  B) --> ¬ A v ¬B A v (B  C) --> ( A v B)  (A v C) A et B des sous formules de A1 Fin

Théorie de la preuve : Méthode de Résolution (suite) Théorème 7 : Validité d’une clause Une formule en fnc est valide ssi toutes ses clauses sont valides. Une clause est valide ssi elle contient deux littéraux opposés, c-à-d , de la forme L1 v ... v p v ... v ¬p v ... v Ln. Définition 8 : Notation ensembliste/ Forme clausale Une clause C = L1 v ... v Li v ... v Ln peut s’écrire comme étant l’ensemble de ces littéraux : C = {L1 , ... , Li , ... , Ln } . Une forme normale conjonctive A= C1 …  Ci …  Cn est écrite en forme clausale sous la forme d’un ensemble de clauses A = {C1 , ... , Ci , ... , Cn } ou d’une suite de clauses C1 , ... , Ci , ... , Cn. A est donc valide ssi toutes les clauses qu’elle contient sont valides.

Théorie de la preuve : Méthode de Résolution (suite) Conséquence 1: clause vide La clause vide est équivalente à F, elle est contradictoire. En effet, elle ne contient pas deux littéraux opposés vu qu’elle n’en contient pas du tout. Conséquence 2 : ensemble vide de clauses L’ensemble vide de clauses est équivalent à ¬F, il est donc valide. En effet, on peut dire que toutes ses clauses sont valides puisque il n’en contient pas du tout.

Théorie de la preuve : Méthode de Résolution (suite) Théorème 8 : Principe de Résolution Soient C1 et C2 deux clauses : Si il existe un littéral L1 tel que L1  C1 et son opposé L2  C2 (ie l’équivalent de L1) alors, la clause C3 = (C1 - L1)  (C2 – L2) est une conséquence logique de C1 et C2 : {C1 , C2} |= C3. C3 est dite un résolvant de C1 et C2. Rappel : Règle de résolution ¬X  A X  B _____________ A  B {¬X, A} {X, B} _____________ {A, B}

Théorie de la preuve : Méthode de Résolution (suite) Conséquence Les clauses C1={ p } et C2= {¬p } ont pour résolvant la clause vide { }. Or, une formule A= p  ¬p est équivalente à l’ensemble de clauses S={C1,C2} qui est tel que S |= { } d’après le théorème 8. Or A est équivalente à F (toujours fausse) ou encore S inconsistant. D’où le théorème qui suit : Théorème 9 : Ensemble de clauses inconsistant Soit S un ensemble de clauses, S est inconsistant ssi S |= { } .

Théorie de la preuve : Méthode de Résolution (suite) Théorème 10 : Réfutation Soit une formule A et S un ensemble de formules, S|= A est équivalent à S{¬A} est inconsistant (i.e. S{¬A} |= F) . Preuve par réfutation Soit S un ensemble de clauses et G une clause à montrer comme conséquence logique de S (S |= G) ; On considère S  { G} et on montre qu’il est inconsistant, c-à-d, S {G} |= { }, d’après le théorème précédent ceci est équivalent à S|=G.

Théorie de la preuve : Méthode de Résolution (suite) Algorithme de résolution par réfutation Soit S= {C1, C2,…., Cn} un ensemble fini de clauses : Soit G une clause à prouver: 1/ Remplacer S par S  {G} (S S  {G}) . 2/ Si on peut choisir une nouvelle paire de clauses C1 et C2 dans S telqu’il existe p atome avec p  C1 et  p  C2 alors calculer le résolvant R de C1 et C2. a/ Si R ={ }, la preuve est faite. b/ Sinon, S S  {R} et retourner à l’étape 2 4/ Sinon (plus de choix possibles) alors S est consistant.

Théorie de la preuve : Méthode de Résolution (suite) Exemple de résolution par réfutation H1 : P  Q H2 : Q  R B : P  R? H1 : P  Q  C1: {P , Q } H2 : Q  R  C2 : {Q , R } B :  (P  R)  P  R  C3= {P}  C4= {R}  2 clauses C1: {P , Q } C2 : {Q , R } R1 : {  P, R } C3 : {P} R2 : {R} C4 : { R}  R3 : { } C.Q.F.D

Théorie de la preuve : Méthode de Résolution (suite) Théorème 11 : Conséquence logique et clauses Soient C1 et C2 deux clauses (en notation ensembliste), Si C1  C2 alors C1 |= C2. Théorème 12 : Élimination des clauses valides Soit S un ensemble de clauses et C une clause valide , S  {C} est valide (resp. satisfaisable) ssi S est valide (resp. satisfaisable) . Remarque : Ce théorème stipule que pour montrer la validité (resp. satisfaisabilité) d’un ensemble de clauses, on peut toujours ignorer les clauses tautologiques.

Théorie de la preuve : Méthode de Résolution (suite) Définition 9: déduction par résolution Soit S un ensemble de clauses et C une clause , Une déduction par résolution de C à partir de S est une suite de clause C1, …, Cn telle que : Cn = C et  i / 0< i< n, on a : Soit Ci  S ; Soit,  k,l / 1 k < l < i tels que Ci est un résolvant de Ck et Cl. Lorsque une telle preuve existe on peut la noter : S |- res C

Théorie de la preuve : Méthode de Résolution (fin) Théorème 13: Validité d’une preuve par résolution Soit S un ensemble de clauses et C une clause , Si S |- res C alors S |= C. Remarque : La preuve par réfutation d’une clause C à partir d’un ensemble de clauses S est une déduction par résolution de la clause vide à partir de l’ensemble S  { C} qu’on appelle, plus brièvement, réfutation. Théorème 13: Complétude de la résolution par réfutation Si S {C} |= { }, alors S {C} |- res { } .

III. Logique des prédicats
Sommaire Introduction Langage des prédicats Théorie des modèles Théorie de la preuve Méthode de Résolution Forme de Prénexe et Skolémisation Forme clausale et clauses de Horn Unification Résolution par réfutation

Introduction Considérons l’exemple de raisonnement qui suit : TOUT être humain est mortel. OR Socrate est un être humain. DONC Socrate est mortel. La logique des propositions ne permet pas de ‘formuler’ des raisonnements comme celui-ci, vu qu’il n’existe pas de notion d’énoncé singulier (exp. Socrate est mortel) et d’énoncé générique (Tout être humain est mortel). En logique de prédicats, nous avons cette notion d’énoncé singulier et d’énoncé générique qui se base sur d’autres notions, à savoir, les objets ou les individus et leurs désignateurs : les constantes et les variables (cf. Lois de la pensée) , les propriétés d’objets (exp. Mortalité) et les relations entre les objets (exp. Ahmed est le père d’Ali) appelées prédicats.

Introduction (fin) En logique de prédicats, nous pouvons écrire (ou formuler) ‘Socrate est un être humain’ sous la forme : être-humain(Socrate) où ‘Socrate’ est l‘individu ou l’objet, et ‘être-humain’ est la propriété. Pour formuler un énoncé générique comme ‘TOUT être humain est mortel’, la logique des prédicats emploie le quantificateur universel " . Le raisonnement précédent peut être formulé comme suit : "x être-humain(x)  mortel(x) être-humain(Socrate) DONC mortel(Socrate) La logique de prédicats a pour but de généraliser la logique propositionnelle en introduisant les variables (exp. x), les quantificateurs (exp. . ") et les prédicats (exp. mortel), c’est pour cela qu’on la nomme aussi logique de 1er ordre.

Langage des prédicats : LP1 Définition 1 : l’alphabet de LP1 L'alphabet de la logique des prédicats est constitué de : un ensemble dénombrable R de symboles de prédicats à n arguments (0 n), par exemple, p, q, r, ….,mortel, aime, … un ensemble dénombrable VAR de variables d'objets ou d'individus, par exemple, x,y,z,... un ensemble dénombrable F de symboles de fonctions à à n arguments (0 n), par exemple, f, g, ... , âge-de, ... les quantificateurs ", $ les connecteurs : ¬ ,  ,  ,  et  les séparateurs ‘(‘ et ‘)‘. Rq: les constantes : F (faux,) et V (vrai) sont généralement non considérées.

Langage des prédicats : LP1 Définition 2 : Fonctions et prédicats à 0 arguments Les constantes de l'alphabet de la logique des prédicats sont les fonctions à 0 arguments et elles permettent de désigner des objets et des individus particuliers. Dans la suite, elles seront notées en minuscule, par exemple, a,b,socrate, ali,... Les prédicats à 0 arguments peuvent être considérés comme des variables propositionnelles, par exemple, il-pleut, la-route-est-mouillée, p, q, … Rq: On peut donc considérer l’alphabet propositionnel comme faisant partie de l’alphabet de la logique des prédicats.

Langage des prédicats : LP1 (suite) Définition 3 : Termes L'ensemble des termes de LP1 est le plus petit ensemble de mots construits sur l'alphabet de la logique des prédicats tel que : Toute variable est un terme ; Toute constante est un terme ; f(t1,...,tn) est un terme(dit fonctionnel) si f est une fonction à n arguments (n>0) et t1,...,tn sont des termes. Définition 4 : Formule atomique Si p est un prédicat à n (resp 0) arguments (n>0) et t1,...,tn sont des termes alors p(t1,...,tn) (resp p) est une formule atomique.

Langage des prédicats : LP1 (suite) Définition 5 : Formules bien formées (fbf ou wff) L'ensemble des formules de LP1 (appelé FOR) est le plus petit ensemble de mots construits sur l'alphabet de LP1 tel que : si A est une formule atomique alors A est une formule; ¬ A est une formule si A est une formule; (A  B), (A  B), (A  B) et (A  B) sont des formules si A et B le sont. (Q x A) est une formule si Q est un quantificateur, x une variable et A une formule. Rq :L'ensemble FOR est défini de la même manière que celui de la logique propositionnelle, mais en considérant en plus les quantificateurs et les variables. N.B : tout ensemble L1 définie sur un alphabet restreint de LP1(donc, R1  R et F1 F) et respectant les règles concernant les fbf est aussi un langage de prédicat avec FOR1  FOR.

Langage des prédicats : LP1 (suite) Définition 6 : Sous-formules La même définition que dans la logique des propositions, avec en plus : Si (Q x B) est une sous-formule de A (avec Q quantificateur et x variable) alors B est une sous-formule de A. Définition 7 : Occurrence d’une variable Une occurrence d’une variable x dans une formule A est un endroit où x apparaît dans A sans être immédiatement précédée par  ou . Définition 8 : Portée d’un quantificateur Dans une formule A=Q x B, avec Q quantificateur et x variable , B est appelée la portée du quantificateur Q.

Langage des prédicats : LP1 (suite) Définition 7 : occurrence libre (resp. liée) d’une variable Une occurrence libre de x dans une formule A est définie comme suit : Si A =  (B), les occurrences libres de x dans A sont celles de B. Si A = (B)  (C), les occurrences libres de x sont celles de B et celles de C ( est un connecteur parmi  , ,,  ). Si A= y(B) ou A = y(B) avec x distincte de y, les occurrences libres de x sont celles de B. Si A =  x (B) ou A =  x (B), aucune occurrence de x dans A n’est libre. Si A est un atome alors toute occurrence d’une variable x dans A est libre. Une occurrence liée de x dans A est toute occurrence non libre .

Langage des prédicats : LP1 (suite) Définition 8 : variable libre Une variable est dite libre dans une formule A si elle a au moins une occurrence libre, sinon on dit qu’elle est liée. RQ : si x1, … , xn sont les variables libres dans A, pour exprimer ceci, on note A comme suit : A(x1, … , xn) Définition 9 : formules closes Une formule est dite close (ou fermée) si elle ne contient pas de variables libres. Sinon elle est dite ouverte. Définition 10 : clôture universelle d’une formule La clôture (ou fermeture) universelle d’une formule A(x1, … , xn) est la formule close A’=  x1 …  xn A(x1, … , xn) .

Langage des prédicats : LP1 (suite) Définition 11 : clôture existentielle d’une formule La clôture (ou fermeture) existentielle d’une formule A(x1, … , xn) est la formule close  x1 …  xn A(x1, … , xn) . Définition 12 : formules propres Une formule A est dite propre lorsque : Il n’existe pas de variable dans A qui a, à la fois, des occurrences libres et des occurrences liées. Deux occurrences liées d’une même variable dans A appartiennent à la portée d’un même quantificateur. Définition 13 : Renommage de formules Un renommage d’une variable consiste à changer les noms de certaines de ces occurrences et ce, en donnant le même nom pour ces occurrences liées appartenant à la même portée d’un quantificateur et le même nom pour ces occurrences libres.

Langage des prédicats : LP1 (suite) Définition 13 : formules impropres et renommage Une formule A est dite impropre si elle n’est pas propre. On peut rendre une formule propre par un renommage qui consiste à : Changer les occurrences liées d’une variable libre par d’autres noms de variables, de telle sorte que toute variable libre ne puisse pas avoir d’occurrences liées. Pour chaque occurrence liée d’une variable qui appartient à la portée d’un quantificateur différent donner un nom différent. Exemples : A = x ( y p(x, y)  z r(y, z))  impropre A’= x ( y1 p(x, y1)  z r(y, z))  propre.

Langage des prédicats : LP1 (suite) Définition 14 : Substitution de variables Une substitution s de n variables {x1 , ... , xn} est une application de l’ensemble des variables dans l’ensemble des termes qui est telle que: Pour tout xi dans {x1 , ... , xn}, s(xi) =ti Pour tout x / x {x1 , ... , xn}, s(x) =x. s est notée par :{x1\t1 , ... , xn\tn} (parfois, (t1 /x1 ,…, tn /xn )). L'application d'une substitution s à une formule (resp. un terme) E donne une formule (resp. un terme) Es qui est le résultat du remplacement simultanée de toutes les occurrences libres des variables dans E par leur terme associé. Es est appelé une instance de E Si Es ne contient pas de variables on dit que s instancie E.

Langage des prédicats : LP1 (fin) Remarques 1 : Substitution et renommage Le résultat As de l’application d’une substitution s= {x1\t1 , ... , xn\tn} à une formule propre A n’est pas forcément une formule propre, à moins de respecter la règle suivante: les variables apparaissant dans les termes ti ne sont pas des variables liées de A. On dit que s est définie pour A si elle respecte cette règle. Lorsque une substitution ne respecte pas cette règle pour une formule A on peut avoir recours au renommage, Si s= {x\ t } est définie pour A, on dit aussi que t est substituable à x ou libre pour x.

Théorie des modèles : Définition 1: Domaine d’interprétation et conceptualisation Un domaine d’interprétation pour un langage de prédicat est un ensemble non vide D (appelé parfois domaine d'individus ou univers de discours) tel que il existe une application de son ensemble de constantes dans D. Définition 2: Conceptualisation Une conceptualisation C est un triplet (D, Fc, Rc), telle que : D est un domaine d’interprétation ; Fc est un ensemble de fonctions f tq si n est l’arité de f;alors f est de Dn vers D, Rc est un ensemble de relations r tq si n est l’arité de r, alors r est inclue dans Dn ( r un sous ensemble de Dn),

Théorie des modèles (suite): Définition 3 : Interprétation Étant donné un langage des prédicats L1, une interprétation I de L1 est la donnée d’une conceptualisation C=(D,Fc,Rc) et d’une application –notée aussi I - qui associe à chaque élément de l’alphabet du langage L1(sauf les connecteurs, quantificateurs et les parenthèses) un élément des ensembles de la conceptualisation sous les conditions (1), (2) et (3) : I : L1  C   I () (1) : Si  est une constante alors I ()  D ; (2) : Si  est un symbole de fonction d’arité n de F alors I ()  Fc et elle est d’arité n; (3) : Si  est un un symbole de prédicat d’arité n de R alors I() Rc et elle est d’arité n.

Théorie des modèles (suite): Définition 4: Assignation de variables, assignation de termes Une assignation de variables est une fonction U qui associe à chaque variable d’un langage de prédicat L un élément de D. U : L  D v  U(v) Une fonction TIU est dite une ‘assignation de terme’ correspondante à une interprétation I et à une assignation de variables U, si elle associe à un terme T du langage L un élément appartenant à D de la manière suivante : Si T est une constante alors TIU(T)=I (T) ; Si T est une variable alors TIU (T) =U(T) ; Si T est un terme fonctionnel de la forme (T1, …, Tn) tel que I() = f et TIU(Ti) = xi pour tout 0<i n, alors TIU(T) = f (x1,…,xn).

Théorie des modèles (suite) : Définition 5: variante d’une assignation de variable Une assignation de variables U’ est dite une variante en x (variable) de U , si U’ est identique à U sauf -peut être- en x. Définition 6: Interprétation des formules Étant données une interprétation I et une assignation de variable U , on peut calculer la valeur de vérité (dans {V, F} ) de chaque formule A d’un langage de prédicat par une fonction IU, comme suit : Si A est atomique, càd, il existe un symbole de prédicat p tel que A=p(t1,...,tn), alors IU (A)= V ssi (TIU(t1),..., TIU(tn))  I(p) ; Si A = "x B alors IU (A)= V ssi pour tout U’ variante de U en x , IU’ (B)= V. Si A = $ x B alors IU (A)= V ssi il existe U’ variante de U en x tq IU’ (B)= V. Plus les règles concernant les connecteurs propositionnels.

Théorie des modèles (suite): Définition 7 : Modèle I est un modèle pour une formule A (ou I satisfait A) ssi pour toute assignation de variable U, on a IU(A) = V , noté |=I A (parfois noté, I(A)= V) I est un modèle pour un ensemble de formules S ssi I est un modèle pour toute formule A de S. Définition 8 : Validité, Satisfaisabilité Soit A une formule: A est valide (ou tautologique ; noté |= A) si |=I A (ou I(A) = V) pour toute interprétation I. Sinon A est invalide ou falsifiable. A est satisfaisable ssi il existe une interprétation I et une assignation de variable U, t.q. IU(A) = V (ont dit que I satisfait A pour l’assignation de variable U ou (I,U) satisfait A). Sinon A est contradictoire.

Théorie des modèles (suite): Propriété 1 : Modèle d’une formule close Si I satisfait une formule close A pour une assignation de variable U, càd, IU(A)=V , alors I est un modèle pour A : |=I A . En effet, pour une formule close, les valeurs assignées à ses variables n’ont aucune influence sur sa valeur de vérité par une interprétation du moment qu’elles sont toutes liées. Théorème 1 : Satisfaction d’une formule et clôture universelle Si une interprétation I satisfait la clôture universelle d’une formule A alors elle satisfait A. Si la clôture universelle d’une formule A est valide alors A est valide.

Théorie des modèles (suite): Définition 9 : Conséquence logique, consistance et équivalence. Une formule B est conséquence logique d’une formule A si tout couple (I,U) satisfaisant A, satisfait également B (noté A |= B ) Pour les autres, appliquer les mêmes définitions et notations que celles de la logique propositionnelle en respectant évidemment la nouvelle définition de conséquence logique, de satisfaisabilité et de modèle. Théorème 2 : Conséquence logique et implication Soient A et B deux formules et S un ensemble de formules contenant A : A |= B ssi |= (A  B). S |= B ssi S /{A} |= (A  B).

Théorie des modèles (suite): Théorème 3 : Remplacement des équivalences Soit B une sous-formule de A, et soit C une formule tautologiquement équivalente à B. Si A' est obtenue à partir de A par le remplacement d’une occurrence de B par C alors A et A’ sont tautologiquement équivalentes. Théorème 4 : Substitution d’une variable et quantificateurs Si A est une formule, x est une variable libre de A et t un terme tq la substitution s= {x\t} soit définie pour A, alors les formules : ((" x A)  As) et (As  $ x A) sont valides.

Théorie des modèles (fin): Théorème 5 : Renommage et équivalence Si A’ est une formule obtenue suite à un renommage de variables à partir d ’une formule A, alors A et A’ sont tautologiquement équivalentes. Théorème 6 : Équivalences importantes Si A est une formule et x est une variable, les couples de formules suivantes sont équivalentes : ($ x ¬A et ¬(" x A) ) & ("x ¬ A et ¬($ x A) ) A et " x A si x n’est pas libre dans A. A et $ x A si x n’est pas libre dans A. " x (A  B) et (" x A)  (" x B) $ x (A  B) et ($ x A)  ($ x B)

Théorie de la preuve : Introduction Pour la logique des prédicats comme pour la logique propositionnelle , il existe au niveau de la théorie de la preuve, différentes méthodes qui permettent de prouver la validité –ou seulement la satisfiabilité- d’une formule ou de déduire une formule à partir d’un certain nombre de formules (hypothèses). La plupart des définitions et résultats de la logique des propositions restent plus au moins valables tant qu’on respecte les nouvelles définitions.

Théorie de la preuve : Méthode de Résolution Formes normales de prénexe : Définition 2 : forme normale de prénexe Une formule A est en forme normale de prénexe si elle est sans quantificateurs ou de la forme Q1x1 ... Qnxn B , où B est une formule sans quantificateurs et les Qi des quantificateurs. La suite des quantificateurs est appelée préfixe, et B est appelée matrice. Théorème 4 : Équivalence à une forme normale de prénexe Toute formule A est équivalente à une forme normale de prénexe .

Théorie de la preuve : Méthode de Résolution (suite) Algorithme de mise en forme normale de prénexe (sans  et  ) Entrée : une formule A1 Sortie : une fn de prénexe A’1 équivalente à A1 Début Eliminer  et  (et F si il est utilisé); Appliquer à A1 les remplacements suivants autant de fois que nécessaire: ¬ ¬ A  A ¬ (A v B)  ¬ A  ¬B ¬(A  B)  ¬ A v ¬B ( " x A)  $ x  A ($ x A)  " x  A (" x A(x))  (" x B(x)  " x (A(x)  B(x)) ($ x A(x)) v ($x B(x))  $ x (A(x) v B(x)) Passage des  devant les prédicats Sortie des quantificateurs devant les formules Rendre A1 propre par renommage. Appliquer à A1 les remplacements suivants autant de fois que nécessaire Idem pour B (Q x A(x))  B  Q x (A(x)  B) (x est non libre dans B) (Q x A(x)) v B  Q x (A(x) v B) (x est non libre dans B) Fin

Théorie de la preuve : Méthode de Résolution (suite) Définition 3 : Forme de Skolem Une formule est en forme normale de Skolem si elle est en forme normale prénexe et ne contient pas de quantificateur existentiel. Définition 4 : Pas de skolémisation Soit une formule A en fn de prénexe et qui n’est pas en fn de skolem, donc, il existe une variable y tq : A= Q1x1 … Qi-1xi-1 y Qi+1xi+1... Qnxn B (avec Qk = pour tout k<i), càd : A=  x1 …  xi-1 y C, avec C= Qi+1xi+1... Qnxn B (C est donc en fn de prénexe). Un pas de skolémisation appliqué à A et portant sur la variable y consiste à substituer y par f(x1 , … xi-1 ) dans C, avec f un nouveau symbole de fonction. N.B : si i=1 alors f est d’arité 0, càd, une constante qu’on notera avec un nouveau symbole de constante, par exemple, a, b, c…

Théorie de la preuve : Méthode de Résolution (suite) Définition 5 : Skolémisation d’une fn de prénexe La skolémisation As d’une formule A en forme normale prénexe est la formule résultante de l’application, n fois successivement, d’un pas de skolémisation à A avec n le nombre de variables existentiellement quantifiées de A. As est dite aussi forme de skolem de A. Rappel: une forme de skolem est propre car une forme de prénexe est propre . Théorème 5 : (de Skolem) Le pas de skolémisation préserve la satisfaisabilité. Soit A une formule sous forme prénexe et As la forme de skolem associée. La formule A est satisfaisable dans une interprétation I (pour U) ssi As est satisfaisable dans une interprétation étendue I’ (pour U). Rq : la démonstration utilise le théorème 3 de la partie Théorie des modèles et les définitions de modèle et de satisfaisabilité.

Théorie de la preuve : Méthode de Résolution (suite) Définition 6 : littéral, clause, FNC, etc. Un littéral : formule atomique ou une négation d’une formule atomique. Une formule universelle : une formule de skolem close. Une clause : une disjonction de littéraux. Une clause fermée : une formule universelle dont la matrice est une clause. Une FNC: conjonctions de clauses. Une forme de prénexe est sous FNC si sa matrice est une FNC. Définition 7 : Clauses de Horn Une clause de Horn est une clause avec au plus un littéral positif. Ce littéral (si il existe) est appelé la tête de la clause et les autres le corps. Théorème 6 : Équivalence à une fn de prénexe sous FNC Toute formule A est équivalente à une forme normale de prénexe sous FNC.

Théorie de la preuve : Méthode de Résolution (suite) Définition 8 : Mise en Forme clausale d’une formule 1. Passage à une forme normale de prénexe ; 2. Rendre fermée la formule par clôture existentielle ; 3. Passage en forme de Skolem; 4. Mettre la matrice en FNC; 5. Distribution des quantificateurs universels par rapport aux conjonctions ; 6. Considération des conjonctions comme ensemble de clauses fermées et utilisation de la notation ensembliste des clauses en ignorant les quantificateurs. Le résultat formé d’un ensemble de clauses est la forme clausale en notation ensembliste de la formule de départ. N.B : Il est préférable de renommer les variables de telle façon qu’aucune variable n’apparaît dans plus d’une clause. Rq :on peut ignorer les quantificateurs, car toute variable est quantifiée universellement.

Théorie de la preuve : Méthode de Résolution (suite) Théorème 7 : Satisfaisabilité et forme clausale Une formule A est satisfaisable (resp. insatisfaisable) ssi sa forme clausale est satisfaisable (resp. insatisfaisable). Remarque : Démonstration du théorème L’étape 2 préserve la satisfaisabilité, car : si A(x1 , ... , xn) est satisfaite par (I,U) alors x1...  xn A(x1 , ... , xn) est satisfaite par (I,U) (et même pour les variantes de U en xi). En effet, on a : A(x1 , ... , xn) |= x1...  xn A(x1 , ... , xn) si x1...  xn A(x1 , ... , xn) est satisfaite par (I,U) alors A(x1 , ... , xn) est satisfaite par (I,U’) ou U’ variante de U pour les variables xi. L’étape 3 (skolémisation) préserve la satisfaisabilité et l’existence d’un modèle. Toutes les autres étapes sont des remplacements d’équivalences .

Théorie de la preuve : Méthode de Résolution (suite) Définition 9 : Unificateur/ termes et formules atomiques unifiables Une substitution s unifie deux termes t1 et t2 si elle est telle que : t1s = t2 s . On dit que t1 et t2 sont unifiables. Deux formules atomiques A1=p(t1, …., tn) et A2=q(t’1, …, t’m) sont unifiables si : p= q , n=m et les couples de termes (ti, t’i) sont unifiables pour 0<i<n. Définition 10 : Unificateur le plus général Soient t1 et t2 deux termes, et s un unificateur de t1 et t2. s est un unificateur le plus général (upg) si pour tout unificateur s' de t1 et t2 , il existe une substitution s'' telle que s' = s'' o s. Conséquence : Si deux termes sont unifiables, il n’existe qu’un seul upg pour ces termes, à une permutation de variables près.

Théorie de la preuve : Méthode de Résolution (suite) Algorithme d’unification : Initialisation : Pile vide Entrée: Deux termes terme1 et terme2 à unifier. Sortie: Une substitution S (upg) ou Échec. Empiler (terme1, terme2) et Affecter {} à S et Initialiser Succès à Vrai Tant que (Pile  {} et Succès = Vrai) faire Dépiler(t1, t2); Suivant les cas faire : 1. t1 variable : Si t1 est sans occurrence dans t2 : Ajouter t1\ t2 à S et Remplacer t1 par t2 dans la Pile Sinon : Affecter Faux à Succès 2. t2 variable : Si t2 est sans occurrence dans t1: Ajouter t2\ t1 à S et Remplacer t2 par t1 dans la Pile 3. t1 et t2 sont des constantes : Affecter (t1 = t2) à Succès ; 4. t1 et t2 sont fonctionnels tels que t1=f(t11,…,t1n) et t2=g(t21,…,t2m) : Si f g ou n m : Affecter Faux à Succès Sinon : Empiler(t1i , t2 i) pour i=n à 1; 5. Autres cas : Affecter Faux à Succès. Si Succès = Faux : Retourner(‘Échec ’) Sinon : Retourner(S).

Théorie de la preuve : Méthode de Résolution(suite) Définition 11 : Résolvant(e) Soient C et C' deux clauses telles que : C = {p(t1,...,tn)} U C1 C' = {¬p(t'1,...,t'n)} U C2 Si il existe un unificateur le plus général s des couples de termes (t1,t'1), ... (tn,t'n) (après avoir renommé si nécessaire les variables d'une des deux clauses pour éviter le cas où ti a une occurrence dans t’i) Alors (C1 U C2)s est un(e) résolvant(e ) de C et C'.

Théorie de la preuve : Méthode de Résolution(suite) Définition 12 : Facteur Soit C une clause telle que : C = {p(t1,...,tn), p(t'1,...,t'n)} U C’ ou bien C = {¬p(t1,...,tn), ¬p(t'1,...,t'n)} } U C’ Si il existe un unificateur le plus général s des couples de termes (t1,t'1), ... (tn,t'n) (après avoir renommé si nécessaire les variables d'une des deux clauses pour éviter le cas où ti a une occurrence dans t’i) Alors (C)s est un facteur (ou une clause réduite) de C . Dans ce cas C est dite réductible.

Théorie de la preuve : Méthode de Résolution(suite) Théorème 8 : Résolvante et facteur La résolvante R de deux clauses C1 et C2 est telle que la clôture universelle de R est conséquence logique des clôtures universelles de C1 et C2. Si s est l’unificateur utilisé dans le calcul de la résolvante alors R est conséquence logique de C1 s et C2 s Si C une clause réductible alors tout facteur (ou clause réduite) de C est conséquence logique de C.

Théorie de la preuve : Méthode de Résolution(suite) Définition 13 : Résolution par réfutation Une résolution par réfutation (ou réfutation) d’une formule A en forme clausale {C1,...,Cm} est une liste finie de clauses (D1, ... ,Dn) telle que : Dn est la clause vide {} ; Pour tout i tq 0<i<n , Di est soit : égale à une des clauses Cj résolvante de deux clauses Dj, Dk précédant Di dans la liste ; facteur d'une clause Dj précédant Di dans la liste. Théorème 9 : réfutation et insatisfaisabilité (complétude) Une formule A est insatisfaisable ssi il existe une réfutation de sa forme clausale.

Théorie de la preuve : Méthode de Résolution(suite) Conséquence : Preuve par réfutation Une preuve par réfutation d’une formule A est la donnée de la réfutation de sa négation. En effet, si ¬A est insatisfaisable alors A est satisfaisable. Définition 14 : Stratégie de recherche linéaire Lors de la recherche d'une réfutation d'un ensemble de clauses il faut explorer tous les choix possibles de production de résolvante de deux clauses résolubles, et ceci itérativement. Une stratégie restreint cette combinatoire et diminue ainsi l'espace de recherche. Une réfutation est linéaire si : chaque facteur est obtenu à partir de la clause immédiatement précédente; chaque résolvante est obtenue à partir de deux clauses dont exactement une la précède immédiatement.

Théorie de la preuve : Méthode de Résolution(suite) Théorème 10 : réfutation linéaire et clauses de Horn (complétude) Soit A une formule dont la forme clausale est un ensemble de clauses de Horn. Si il existe une réfutation de A alors il existe une réfutation linéaire de A où la règle de factorisation n'est pas utilisée. Soit A Une formule dont la forme clausale est un ensemble de clauses de Horn. A est insatisfaisable ssi il existe une réfutation linéaire (sans factorisation) de sa forme clausale.

Théorie de la preuve : Méthode de Résolution(suite) Définition 15 : Programme et but un programme logique est un ensemble fini de clauses de Horn qui ne contient pas de clauses négatives (sans littéral positif). Un but est une clause négative. Définition 16 : Stratégie de recherche linéaire par entrée (SLD) Une réfutation linéaire SLD (Sélection Linéaire Définie) d’un but B à partir d’un programme E est une réfutation linéaire où à chaque étape une clause de l’ensemble de départ E est utilisée et la première étape utilise le but (par entrée).

Théorie de la preuve : Méthode de Résolution(suite) Algorithme de résolution SLD pour clauses de Horn (non déterministe) Entrée: E un programme et un but B (clause sans littéral positif). Sortie: Une instance de B ou Échec. 1. R est une clause de ss-buts (après elle va contenir des résolvantes) initialisée à B et S une substitution initialisée à l’identité. Tant que R non vide faire (R= { } càd clause vide donc fin de la réfutation ) a. Choisir un sous-but P dans R (la 1ère étape utilise un ss-but de B) b. Si aucune clause de E n’a de tête qui peut s’unifier avec P alors Retourner Échec. c. Sinon Choisir une clause A={T,B1,…,Bn ) de E dont la tête T s’unifie avec P grâce à une substitution S1 (S1= pgu(T, P)). d. Remplacer dans R le sous but P par B1,…,Bn (si n=0 on supprime P de R) e. Appliquer S1 à R et à B.et ajouter S1 à S 2. Retourner B (qui représente en effet une instance du B initial)

Théorie de la preuve : Méthode de Résolution (fin) Théorème 11: complétude d’une réfutation SLD Une réfutation SLD est complète pour les clauses de Horn, càd : Si E un programme et B un but : E {B} est insatisfaisable ssi il existe une réfutation SLD de sa forme clausale et donc  BS (s la composée des substitutions utilisées dans l’algorithme) est conséquence logique de E. Conséquence : La SLD réfutation permet donc de savoir pour quelle substitution une formule atomique (ou conjonction de formules atomiques) est conséquence logique d’une formule dont la forme clausale est un programme.

Annexe Sommaire Le carré logique d’Aristote Exemples de tautologies
Exemples de formules équivalentes Élimination des connecteurs Propriétés des connecteurs

Le carré logique d’Aristote (1/3)
contraires Tout homme est blanc (Affirmative universelle) A Aucun homme n ’est blanc (négative universelle) E contradictoires subalternes subalternes subcontraires Quelque homme n ’est pas blanc (Négative particulière) O Quelque homme est blanc (Affirmative particulière) I

Les inférences immédiates de ce carré logique sont: Les Contraries (A < - > E): ne peuvent être vraies ensemble, mais peuvent être fausses ensemble. Si A vraie Alors E Fausse. Les contradictoires (A < - > O et E < - > I) ne peuvent être ni vraies ni fausses ensemble. Les subcontraires (O< - > I) ne peuvent être fausses ensembles. Les subalternes (A< - > I et E < - > O ) peuvent être fausses et vraies ensembles mais si A est vraie alors forcément I est vraie, de même, si E est vraie alors forcément O est vraie.

Ce carré logique, au moyen âge, a été considéré comme un carré modal : Ce carré modal formalise les modalités du possible et du nécessaire.

Exemples de tautologies
Les formules suivantes sont bien des tautologies:

Exemples de formules équivalentes
Les formules de chaque paire des formules ci-dessous sont équivalentes tautologiquement :

Élimination des connecteurs
Le remplacement des équivalences permettant d’éliminer des connecteurs: Élimination de l'implication : A  B ¬A v B Élimination de l'équivalence : A  B (A  B)  (B  A) Élimination de F : F p  ¬p (pour un p qlcq) Élimination de la négation : ¬A A  F Éliminations de la disjonction : A v B ¬(¬A  ¬B) (A  F)  B Éliminations de la conjonction : A  B ¬(¬A v ¬B) (A  (B  F))  F

Propriétés des connecteurs
Les équivalences suivantes traduisent les propriétés algébriques des connecteurs: Idempotence de  et v A  A  A A v A  A Idempotence de ¬ ¬ ¬ (A)  A Associativité de de  et v A  (B  C)  (A  B)  C A v (B v C)  (A v B) v C Commutativité de de  et v A  B  B  A A v B  B v A Distributivité (lois de Morgan) (A v B)  C  (A  C) v (B  C) (A  B) v C  (A v C)  (B v C)

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