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Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n°3 Dérivation et solutions des équations des vibrations.

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1 Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n°3 Dérivation et solutions des équations des vibrations

2 Je vous souhaite la bienvenue à cette troisième leçon du cours de vibrations linéaires et ondes mécaniques. Cette leçon intitulée «Dérivation et solution des équations des vibrations ». Pour exprimer les lois de la mécanique, il y’a plusieurs formalismes tels que les formalismes de Newton, de d’Alembert, d’Hamilton et le formalisme de Lagrange. Ce dernier formalisme est un outil particulièrement adapté et très puissant pour mettre sous équations les systèmes vibratoires les plus complexes. Ce formalisme est basé sur le principe d’Hamilton ou principe de moindre action. Si on prend une particule allant entre les temps t 1 et t 2 d’un point A à un point B. Cette particule a une trajectoire. Nous avons besoin d’une équation différentielle qui nous donne la position de la particule en fonction du temps entre les points A et B. Hamilton a défini un scalaire S appelé action qui est l’intégrale entre les instants initiaux et finaux de déplacement de la particule, cette intégrale est prise sur une quantité L qu’on appelle le Lagrangien et qui n’est autre que la différence entre l’énergie cinétique et l’énergie potentielle pour une masse et un ressort par exemple :

3 où (L=T-V) dépend de la trajectoire x(t) et de la vitesse. Le principe de moindre action dit que la différentielle de l’action S c’est-à-dire  S est égale à zéro. Dans ce cours, nous allons d’une manière très simple dériver les équations de Lagrange à partir du principe de moindre action. De manière à ce que vous ne sentiez pas que ces équations de Lagrange sont parachutées. Il existe des démonstrations laborieuses et rigoureuses de ces équations de Lagrange, mais ce n’est pas le but de ce cous. Une fois ces équations de Lagrange démontrées, nous les avons d’abords appliqués, pour retrouver la deuxième loi de Newton, nous les avons ensuite appliquées à des systèmes mécaniques simples et libres a un degrés de liberté, libres, amortis et forcé, puis à un système à deux degrés de liberté, juste pour trouver les équations différentielles du mouvement. Ces exemples montrent que toutes les équations différentielles des vibrations linéaires sont de la forme :

4 qui sont des équation linéaires du deuxième degré à coefficients constants où m est une masse équivalente du système,  est un coefficient d’amortissement équivalent et k est une constante de rappel équivalente. F dans le deuxième membre est une force extérieure appliquée au système. Vous avez appris en première année comment résoudre ce genre d’équation différentielle. Nous allons reprendre cela pour trouver les solutions par ce qu’on appelle la formation caractéristique. Ces solutions nous serviront, devront être trouvées dans ce cours pour tous les cas qui peuvent se poser c’est-à-dire : -Les systèmes libres non amortis -Les systèmes libres amortis -Les systèmes forcés non amortis et amortis avec des forces extérieurs qui peuvent être sinusoïdales, périodiques non sinusoïdales, des forces quelconques qui en pratique sont des impulsions ou des chocs ayant une forme quelconque. Ce genre d’analyse est important pour résoudre des problèmes pratiques tels que la protection contre les vibrations dans les appareils et machines, la résistance des bâtis aux tremblements de terre et bien d’autres applications que nous verrons dans les prochains cours.

5 Deuxième loi de newton Pour les forces dérivant d’un potentiel : Exemple : Poids d’un corps : Force de rappel d’un ressort : Temps final Temps initial

6 Le principe de moindre action Temps final Temps initial

7 Equation de Lagrange (1)

8 Equations de Lagrange (2)

9 Mettre : Dans : On obtient : Deuxième loi de Newton à partir de l’équation de Lagrange

10 Démonstration de

11 Démonstration de :

12 En général : Dans le cas d’un système forcé et amorti où F M (t)= Forces motrices, F R (t)=forces résistantes En général, Ecriture pour N degrés de liberté

13 Liaisons, degrés de liberté et coordonnées généralisées On appelle liaisons, les contraintes imposées au mouvement d’un système Le nombre de degrés de liberté est le nombre total de coordonnées diminué du nombre de liaisons. Les coordonnées généralisées sont les coordonnées nécessaires pour décrire le système. Exemple : pour un pendule simple en mouvement dans un plan : - z = constante, x²+y²=ℓ² donc deux contraintes. - nombre de degrés total (x, y, z)=3, nombre de degrés de liberté =3-2=1 - Coordonnée généralisée 

14 Exemple 1 : Liaisons et degrés de liberté Donner dans chacun des cas suivants, les liaisons, le nombre de degrés de liberté et les coordonnées que et les coordonnées que l’on peut utiliser pour définir le système. Deux particules séparées par une distance d constante Particule se déplaçant sur un cercle

15 Exemple 1 : Liaisons et degrés de liberté (2) LiaisonsDegrés de liberté Coordonnées généralisées (a) (x B -x A )² + (y B -y A )² + (z B -z A )² = d² N=6-1=5x B, x A, y B, y A, z B, z A (b) z=cste (x-a)²+(y-b)²=R² N=3-2=1  x=a + R cos  y=b + R sin 

16 Exemple 2 : Équation de Lagrange de Systèmes Simples à un Degré de Liberté Énoncé : On considère les quatre systèmes à un degré de liberté représentés sur les figures ci après. On se propose d’étudier les mouvements de faible amplitude. Déterminer pour chaque système : l’énergie cinétique, l’énergie potentielle, le Lagrangien, l’équation différentielle du mouvement, la période T des petits oscillations. Système n°1 Système n°2 Système n°3 Système n°4

17 Exemple 2 : Solution (1) Système n°1 : Système n°1

18 Exemple 2 : Solution (2) Système n° 2 : Système n° 2

19 Exemple 2 : Solution (3) Système n° 3 : Système n° 3

20 Exemple 2 : Solution (4) Système n°4 : Système n° 4

21 Exemple 3 : Applications de l’équation de Lagrange, mouvement à un degré de liberté libre Définir pour chacun des systèmes des quatre figures : 1- Les énergies cinétiques, potentielle et le Lagrangien 2- L’équation du mouvement linéarisée au voisinage de la position d’équilibre stable (c’est-à-dire l’équation des petites oscillations). Figure 4 : Système de bras rigides tournent autour du point fixe O. A l’équilibre  =0 Figure 3 : Fléau portant les masses M et m oscillant autour du point fixe O A l’équilibre,  =0 Figure 2 :cylindre M oscillant autour de O fixe, attaché à un ressort k. le fil s’enroule sans glisser Figure 1 : bras de longueur ℓ d’un cylindre qui roule sans glisser

22 Exemple 3 : Applications de l’équation de Lagrange, mouvement à un degré de liberté libre (Suite) Energie potentielle : E pm =mgl (1-cos  ) Lagrangien :

23 Exemple 3 : Applications de l’équation de Lagrange, mouvement à un degré de liberté libre (Suite) Equation du mouvement :   cos  1, sin , on néglige les termes de puissance supérieure ou égale à 2.

24 Exemple 3 : Applications de l’équation de Lagrange, mouvement à un degré de liberté libre (Suite) Position d’équilibre (  =0), m 1  m 2 le ressort est soit comprimé, soit allongé. Energie cinétique : Energie potentielle : ; x 0 = allongement à l’équilibre La condition d’équilibre (  =0) impose que

25 Exemple 3 : Applications de l’équation de Lagrange, mouvement à un degré de liberté libre (Suite) Le Lagrangien : Pour   sin    et cos  =1 Equation du mouvement : avec

26 Exemple 3 : Applications de l’équation de Lagrange, mouvement à un degré de liberté libre (Suite), exercice 4 -Energie potentielle : - Le Lagrangien : En posant

27 Position d’équilibre stable (  =0) Energie cinétique : Energie potentielle : Condition d’équilibre Exemple 3 : Applications de l’équation de Lagrange, mouvement à degré de liberté libres (Suite), exercice 4

28 Lagrangien : Equation du mouvement : Cas des faibles oscillations    sin    et cos   1. avec Exemple 3 : Applications de l’équation de Lagrange, mouvement à un degré de liberté libres (Suite), exercice 4

29 Pour les deux systèmes montrés dans les figues ci-dessus, écrire les équations différentielles du mouvement dans le cas de petites oscillations. La force appliquée est de la forme : Exemple 4 : Applications de l’équation de Lagrange, mouvement à un degré de liberté amortis et forcés

30 Exercice 1 de la forme :

31 Exercice 2 pour les petits angles L’équation de Lagrange : avec

32 Exemple d’un système à deux degrés de liberté

33 m et  = masse et amortissements équivalents F(t) périodique ou quelconque Equation du deuxième degré à coefficients constants Solution par formation de l’équation caractéristique Solution des équations différentielles des vibrations, généralités

34 Solution des équations différentielles de vibration par formation de l’équation caractéristique Les équations homogènes Équation homogène Solution de la forme L’équation caractéristique Les racines de l’équation caractéristique

35 Solution des Équations Différentielles de Vibration (Suite) Solution Générale : (i) 1 et 2 sont réels et différents  (ii) 1 = 2 réels  (iii) 1,2 =   i  avec   0 

36 Exemple 5 Trouver les solutions des systèmes (a) L’équation caractéristique : =0 qui a pour racines 1 =1 et 2 =-2 La solution générale La dérivée s’écrit Les conditions initiales donnent La réponse

37 Exemple 5 : (Suite1) (b) L’équation caractéristique : =0 Les racines 1 = -1+3i, 2 =-1-3i La solution générale Sa dérivée Les conditions initiales donnent La réponse est :

38 Exemple 5 : (Suite2) (c) L’équation caractéristique : =( -2) 2 La solution générale Sa dérivée Les conditions initiales donnent La réponse est :

39 Les Équations Non Homogènes La solution générale y(t) On utilise la méthode des coefficients indéterminés pour trouver la solution particulière. Les choix pour y p sont résumés dans le tableau suivant, mais peuvent être l’objet d’une règle de modification.

40 Les Équations Non-Homogènes Termes dans F(t)Choix pour y p 0 p iq Règle de modification : Si les valeurs listées dans la dernière colonne sont des racines de l’équation caractéristique de l’équation homogène, la fonction de la seconde colonne du tableau doit être multipliée par x m où m est la multiplicité de la racine de cette équation. M est donc égal à 1 ou à 2 pour une équation du second degré.

41 Exemple 6 Résoudre les équations différentielles: a) y" + 4y'= 8 x² b) y" - y' - 2y = 10 cosx c) y" - 2 y'+ y = e x + x (a) Par substitution :

42 Exemple 6 : (Suite 1) (b) car =0  =-1 et =2 Par substitution dans l’équation différentielle : En égalant les coefficients des deux cotés :

43 Exemple 6 : (Suite 2) (c) L’équation caractéristique et la solution de l’équation homogène : La fonction x dans le membre de droite indique une solution de la forme 1 est une racine double de l’équation caractéristique, la fonction e x doit avoir comme solution particulière : La solution générale de l’équation est :

44 Equations des vibrations 1. Systèmes libres non amortis 2. Systèmes libres amortis 3. Systèmes non amortis soumis à une force sinusoïdale 4. Systèmes amortis soumis à une force sinusoïdale 5. Système amorti soumis à une force périodique quelconque 6. Système amorti soumis à une force quelconque non périodique

45 Equations des vibrations (2) Système libre non amortis Equation Equation caractéristique et racines : Solution C 1 et C 2 dépendent des conditions initiales du système.

46 Equations des vibrations (3) Systèmes libres amortis Equation Equation caractéristique et racines : Solution C 1 et C 2 sont des constantes arbitraires à déterminer à partir des conditions initiales du système. Pour qu’il y ait des vibrations, le radical sous la racine doit être négatif

47 Equations des vibrations (4) Systèmes non amortis soumis à une force sinusoïdale Equation Solution de l’équation homogène et forme de la solution particulière. On pose solution Générale C 1 et C 2 sont des constantes à déterminer à partir des conditions initiales du système.

48 Equations des vibrations (5) Systèmes amortis soumis à une force sinusoïdale Equation Solution particulière Calcul intermédiaires : – On substitut – relations trigonométriques – On remplace ou on égale les coefficients de cos  t et sin  t : - Solution

49 Equations des vibrations (6) Systèmes amortis soumis à une force périodique quelconque Equation Développement en série de Fourier : Ce qui revient à résoudre les équations suivantes et utiliser le principe de superposition : Solution :

50 Equations des vibrations (7) Systèmes amortis soumis à une force quelconque non périodique Equation La réponse à une impulsion dans le sens de la fonction de Dirac est : La réponse à la force F(t) est : Ce cas est beaucoup plus réel que les forces périodiques et nous permet d’anticiper sur les conséquences d’évènements tels que les tremblements de terre ou les explosions.

51 Conclusion (1) Dans cette troisième leçon intitulé «Dérivation et solution des équations des vibrations», nous avons démontré l’équation de Lagrange à partir du principe de moindre action. Nous avons utilisé cette équation pour trouver les équations différentielles du mouvement de plusieurs systèmes vibratoires partant des plus simples à des systèmes à un degré de liberté plus complexes, nous avons utilisé l’équation de Lagrange pour trouver aussi les équations du mouvement de systèmes amortis et forcés et de systèmes à deux degrés de liberté. Nous avons montré que les équations des vibrations linéaires étaient des équations différentielles du deuxièmes degré à coefficients constants. Des solutions ont été proposées utilisant la méthode de la formation de l’équation caractéristique.

52 Conclusion (2) Différentes solutions ont été proposées suivant que le système est : -Libre non amorti - Libre amorti -Non amorti soumis à une force sinusoïdale -Amorti soumis à une force périodique quelconque -Amorti soumis à une force quelconque non périodique tel qu’une impulsion ou un choc. C’est la solution de ces équations dans les différents cas qui nous permettra de -Contrôler les fréquences naturelles d’un système en évitant les résonnances sous des excitations extérieures, -En prévenir les réponses excessives d’un système même à la résonance en introduisant un amortissement ou un mécanisme de dissipation d’énergie. -Réduire la transmission des forces d’excitation d’une partie de la machine à l’autre en utilisant des isolateurs de vibration, -Réduire la réponse du système par l’addition d’une masse auxiliaire pour neutraliser ou absorber les vibrations.


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