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Fonction exponentielle Etabli : (P) : f non nulle dérivable sur R telle que f(x + y) = f(x).f(y) équivaut à : (Q) : f non nulle dérivable sur R telle.

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2 Fonction exponentielle Etabli : (P) : f non nulle dérivable sur R telle que f(x + y) = f(x).f(y) équivaut à : (Q) : f non nulle dérivable sur R telle que : f’ = f et f(0) = 1 Théorème : (existence admise) Il existe une unique fonction f non nulle, définie et dérivable sur R telle que : f ‘= f et f (0) = 1. Cette fonction est la fonction exponentielle notée : exp Conséquences directes : exp’ = exp et exp(0) = 1 exp(0)= 1 doncexp’(0) = 1. La tangente à (C f ) au point (0 ; 1) a pour équation réduite : y = x + 1

3 Pour tous réels x et y : exp(x + y) = (1) exp (-x) = (2) exp (x - y) = (3) exp (nx) = (4) exp(x).exp(y) Propriétés : [exp(x)] n Autre notation (introduite par Euler) (4) pour x = 1 : exp (n) = On note e le nombre exp (1). Alors : On étend cette notation à tout réel x. Ainsi : En particulier : = 1 et = On réécrit avec cette notation les propriétés ci-dessus : [exp (1)] n exp (n) =e n exp (x) =e x e0e0 e1e1 e e x-y = e x. e y e x+y = e -x =


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