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Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n°4 Les oscillations harmoniques.

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1 Physique 3 Vibrations linéaires et ondes mécaniques Leçon n°4 Les oscillations harmoniques

2 Introduction Je vous souhaite la bienvenue à cette quatrième leçon du cours de vibration et ondes mécaniques. Cette leçon s’intitule « les Oscillations harmoniques » et est divisée en deux parties : le mouvement harmonique et l’analyse harmonique. Cette leçon commence donc par donner des définitions sur le mouvement harmonique qui est le mouvement périodique le plus simple avec des solutions en sinus et cosinus, où la trajectoire x(t) est égale à (-  ²) fois l’accélération. Nous donnerons bien sur cette partie toutes les définitions concernant ce genre de mouvement telles que la période, la fréquence; la phase. Nous décrirons ce mouvement sous sa forme vectorielle et sa forme complexe. Nous utiliserons ces deux représentations (vectorielles et complexes) pour additionner deux fonctions harmoniques. Cette première partie de la leçon d’aujourd’hui sur les mouvements harmoniques est plutôt une révision de concepts que vous avez déjà vu. Ce qui peut être différent pour la seconde partie que nous avons intitulé « Analyse harmonique » et qui concerne les développements en série de Fourier de fonctions périodiques.

3 Introduction Ces fonctions concernent soit le mouvement oscillatoire d’un système, soit la force extérieure appliquée au mouvement. Les développements en série de Fourier concerneront le cas général de fonctions périodiques et les cas particuliers de ces fonctions tels que les fonctions paires et impaires ou les extensions de demi-fonctions. Nous apprendrons à calculer numériquement les coefficients des séries de Fourier, et des exemples utilisant Mathlab, auquel vous serez initié, vous seront donnés. Nous traiterons bien sûr des exemples qui vous aideront à la compréhension de ce cours.

4 Le mouvement harmonique Type le plus simple de mouvement harmonique Fig.1 : Exemple d’un Oscillateur Harmonique

5 Représentation vectorielle du mouvement harmonique Fig.2 : Montrant le mouvement harmonique résultant de la projection de l’extrémité d’un vecteur en rotation

6 Représentation complexe d’un mouvement harmonique Un vecteur dans le plan xoy peut être représentée par un nombre complexe Si A est le module de et  son angle avec l’axe ox : Fig. 3 : Représentation vectorielle par un nombre complexe

7 Représentation complexe d’un mouvement harmonique (suite) Fig.4. : La rotation des vecteurs déplacement, vitesse et accélération.

8 Représentation complexe d’un mouvement harmonique (suite) On peut écrire : Si le déplacement harmonique est données par x(t)=A sin  t ; nous aurons :

9 Addition de Fonctions Harmoniques Soient Le vecteur résultant a pour magnitude et pour phase : La projection réelle du vecteur somme s’écrit :

10 Addition de Fonctions Harmoniques (Suite) En utilisant des nombres complexes Fig.5 : Addition Vectorielle de deux Fonctions Harmoniques

11 Exemple 1: Mouvement Harmonique Un mouvement harmonique a une amplitude de 0,05 m et une fréquence de 10Hz. Trouver la période, la vitesse maximale et l’accélération maximale. Solution :

12 Exemple 2 : Addition de deux Mouvements Harmoniques Énoncé :Trouver la somme des deux mouvements harmoniques suivants : Fig.6 : Addition de deux vecteurs

13 Exemple 2 : addition de deux mouvements harmoniques (suite)

14 Deuxième méthode : en utilisant des vecteurs et une représentation graphique pour une valeur arbitraire de  t, la somme graphique des deux vecteurs peut être trouvée comme étant : Exemple 2 : Addition de deux Mouvements Harmoniques (Suite)

15 Troisième méthode : en utilisant les nombres complexes : La somme peut s’écrire : où A et  sont données par Exemple 2 : Addition de deux Mouvements Harmoniques (Suite)

16 Les Oscillations Harmoniques, définitions (Suite) Cycle de vibration : Il décrit le mouvement suivant : Position d’équilibre  position extrême dans une direction  position d’équilibre  position extrême dans l’autre direction  position d’équilibre Exemples : pendule simple, un déplacement de 2  radians de l(extrémité d’un vecteur sur un cercle. Amplitude : Déplacement maximum d’un corps vibrant à partir de sa position d’équilibre. L’amplitude de vibration est égale à A dans les figures (1) et (2). Période des Oscillations : Temps mis pour compléter un cycle du mouvement, dénoté par  ou par T. C’est le temps mis par le vecteur sur un cercle pour effectuer une rotation de 2 .  est la vitesse angulaire. Fréquence des Oscillations : C’est le nombre de cycles par unité de temps

17 Les Oscillations Harmoniques, définitions (Suite) Angle de phase : Les deux mouvements vibratoires Sont dit synchrones car ils ont la même vitesse angulaire . Le second mouvement est en avance sur le premier d’un angle  qu’on appelle l’angle de phase. Fig.7 : Différence de phase entre deux vecteurs

18 Les Oscillations Harmoniques, définitions (Suite) Fréquence naturelle : Si après une perturbation initiale, on laisse vibrer un système librement. La fréquence avec laquelle il oscille est appelée la fréquence naturelle du système. Un système ayant n degrés de liberté a n fréquences naturelles distinctes. Figure 8 : Phénomène des battements

19 Développement en série de Fourrier Si x(t) est une fonction de période , sa représentation en série de Fourrier est donnée par : où les coefficients a 0, a n et b n sont donnés par : On peut aussi écrire :

20 Développement en série de Fourrier Fig. 9 : Une fonction périodique Fig. 9 : Le phénomène de Gibbs

21 Série de Fourriers Complexes

22 Spectre de fréquence Fig.11 Spectre de fréquence d’une fonction périodique typique Fig.12 Représentation d’une fonction dans les domaines temporels et de fréquence

23 Fonctions paires et fonctions impaires Fonction paire Fonction impaire Fig.13 : Fonction paire et fonction impaire

24 Exemple 2 : Fonctions paires et fonctions impaires (suite) 1.Trouver les développements en série de Fourier des fonctions des figures (ii) et (iii). 2.Trouver aussi leur développement en série de Fourier quand l’axe temporel est déplacé vers le bas d’une distance A. 3.Montrer qu’il existe une relation directe entre les développements en séries de Fourier des fonctions des figures (ii) et (iii)

25 Exemple 2 : Fonctions paires et fonctions impaires (suite)

26 Fonction impaire donc

27 Exemple 2 : Fonctions paires et fonctions impaires (suite) Fonction paire donc b n =0

28 Exemple 2 : Fonctions paires et fonctions impaires (suite)

29 Fonction paire donc b n =0

30 Exemple 2 : Fonctions paires et fonctions impaires (suite) 3) Relation en la fonction paire et la fonction impaire

31 Extension de demi-fonction

32 Calcul numérique des coefficients Fig.17 : Valeurs de la fonction périodique x(t) aux points t 1,t 2,…..t N

33 Exemple 3 : Développement en série de Fourier d’une fonction Enoncé : trouver le développement en série de Fourier de la valve du système arbre à came de la figure. On notera que Fig 18 : Système d’arbre à came

34 Exemple 3 : Développement en série de Fourier d’une fonction (suite)

35 Exemple 3 : Développement en série de Fourier d’une fonction (suite)

36 Les fluctuations de la pression de l’eau dans une pipe mesurées à 0,01secondes d’intervalles sont données par le tableau suivant. Ces fluctuations sont de nature répétitives. Faire une analyse harmonique des fluctuations de pression et déterminer les trois premières harmoniques du développement en séries de Fourier. Exemple 4 : Analyse numérique en séries de Fourier iTemps (s), t i Pression (kN/m²), P i , , , , , , , , , , , ,120 Tableau 1 : Mesure des fluctuations de pression dans un pipe

37 Exemple 4 : Analyse numérique en séries de Fourier (suite)

38 n=1n=2n=3 titi pipi 0, , , , , , , , , , , , , ,08307,71416,73608,3-5833,3-2333,3

39 Introduction à MathLab

40 Introduction à MathLab (2)

41 Introduction à MathLab (3)

42 Introduction à MathLab (4)

43 Exemple 4 : Représentation d’une fonction en séries de Fourier Donnez le graphe de la fonction et ses représentations en séries de Fourier avec quatre termes :

44 Exemple 4 : Représentation d’une fonction en séries de Fourier (suite)

45

46 Exemple 5 : Représentation des battements Une masse est soumise à deux mouvements harmoniques donnés par x 1 (t) = X cos  t et x 1 (t)=Xcos(  +  )t avec X=1cm,  =20rad et  =1rad/sec. Faire un graphe du mouvement résultant en utilisant Mathlab identifier la fréquence des battements.

47 Exemple 5 : Représentation des battements (suite) Solution : Le mouvement résultant de la masse x(t) est donnée par : Le mouvement résulte en des battements avec la fréquence :  b =(  +  )-  =  =1rad/s

48 Exemple 5 : Représentation des battements (suite)

49 Exemple 6 : Analyse en série de Fourier utilisant Matlab Les fluctuations de la pression de l’eau dans un pipe (tuyau), mesurées à 0,01 secondes d’intervalle sont données dans le tableau suivant. Ces fluctuations sont de nature répétitives. Faire une analyse harmonique des fluctuations de pression et déterminer les cinq premières harmoniques de l’expansion en séries de Fourier.

50 Exemple 6 : Analyse en série de Fourier utilisant Matlab (suite) iTemps (s), t i Pression (kN/m²), P i , , , , , , , , , , , ,120

51 Exemple 6 : Analyse en série de Fourier utilisant Matlab (suite) Pour trouver les cinq premières harmoniques des fluctuations de pression données dans le tableau (a 0, a 1,…,a 5, b 1, b 2,…., b 5 ), un programme MathLab a été développé en utilisant les équations vu en cours :

52 Exemple 6 : Analyse en série de Fourier utilisant Matlab (suite) Le programme a utilisé en général pour les analyses en séries de Fourier a besoin des données suivants : N=nombre des points équidistants où les valeurs de x(t) sont connus M= nombre de coefficients de Fourier à calculer Time = période de la fonction x(t) X= vecteur de dimension n contenant les valeurs connues de x(i)=x(t i ) T= vecteur de dimension n contenant les valeurs connues Le programme génère les résultats suivants : a zéro =a 0, i, a(i), b(i); i=1, 2, …,m où a 0, a(i) et b i sont les valeurs calculées de a 0, a i et b i données par les équations du cours.

53 Exemple 6 : Analyse en série de Fourier utilisant Matlab (suite)

54 Conclusion Dans cette quatrième leçon intitulée « les oscillations harmoniques », cours de vibrations et ondes mécaniques, nous avons défini ce qu’est un mouvement harmoniques, et l’avons représentée sous sa forme vectorielle, et sa forme complexe. Nous avons aussi appris à développer en séries de Fourier toute sorte de fonctions périodiques. Un mouvement périodiques que l’on peut certainement décomposer en série de Fourier. La force extérieure appliquée au mouvement peut aussi être développée en séries de Fourier, ce qui nous permet dans certains cas de résoudre l’équation différentielle du mouvement. Nous avons aussi dans cette leçon à calculer numériquement les coefficients de Fourier et avons été introduit à l’utilisation de Mathlab pour résoudre des problèmes pratiques sur les séries de Fourier. Cette leçon sur les oscillations harmoniques clos le premier chapitre de ce cours qui donne des généralités sur les vibrations. Ce premier chapitre nous a fourni toutes les bases nécessaires pour aborder les mouvements à un degré de liberté qui font l’objet du deuxième chapitre de ce cours.


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