Nombre d’OR Rectangles d’Or Divine proportion …

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3 Nombre d’OR Rectangles d’Or Divine proportion …

4 Avertissement On n’a pas toujours pu déterminer de façon certaine si les proportions observées dans les œuvres architecturales et les ouvrages d’art révélaient une intention plus ou moins consciente de l'artiste, ou si ce n’était qu'une grille de lecture placée a posteriori sur une œuvre ( Il faut dans ce domaine rester modeste et ne pas vouloir à tout prix faire apparaître le nombre d'or partout )

5 Ces limites étant posées, on peut néanmoins présenter quelques exemples d'oeuvres où le nombre d'or semble jouer un rôle important…

6 Partons donc à la découverte du Nombre d’Or…

7 Un petit test : Regardez simplement chacun des rectangles de la diapositive suivante et retenez celui que vous jugez le plus harmonieux

8 Retenez bien le n° choisi…
1 2 3 4 5 6 Retenez bien le n° choisi…

9 Refaisons le même test …
2 1 3 4 6 5

10 Les rectangles d'or sont respectivement les nos ….

11 Les rectangles d'or sont respectivement les nos 3 et 4 !
Il paraît (*) que ces rectangles sont le plus souvent choisis... Leurs proportions donnent une belle impression d'harmonie . (*) D’après une étude du Philosophe allemand Gustav Feshner en 1876

12 Le rapport ------------- largeur vaut à peu près 1,62
longueur Le rapport largeur vaut à peu près 1,62

13 On désigne généralement le nombre d’or par la lettre grecque φ en hommage au sculpteur grec Phidias ( 490 à 430 avant J.C. ) qui décora le Parthénon à Athènes.

14 La « Section dorée » est une appellation qui remonte à 1830 .
Elle était appelée par les Grecs « partage d’un segment en moyenne et extrême raison »

15 Principe : Dans un ensemble composé de 2 parties, le tout est à la plus grande comme celle-ci est à la plus petite . Ce principe est sensé réaliser en architecture , en peinture, en sculpture…, les proportions les plus équilibrées , les plus harmonieuses …

16 m partage le segment [ a , b ] selon ce principe si

17 m partage le segment [ a , b ] selon ce principe si
Le tout a b m

18 m partage le segment [ a , b ] selon ce principe si
Le tout La plus grande La plus grande a b m

19 m partage le segment [ a , b ] selon ce principe si
Le tout La plus grande La plus petite La plus grande a b m

20 Un peu de math…

21 φ = La plus grande Le tout La plus grande La plus petite a b m

22 φ = La plus grande Le tout La plus grande La plus petite or a b m

23 φ = On a donc … a b m

24 φ = a b m

25 φ = φ φ φ a b m

26 Réduisons au même dénominateur…
φ = 1 + φ

27 Une simple équation du 2eme degré…
φ = 1 + φ φ φ = 0

28 L’équation φ 2 - φ - 1 = 0 possède deux solutions car

29 L’équation φ 2 - φ - 1 = 0 possède deux solutions car

30 L’équation φ 2 - φ - 1 = 0 possède deux solutions car
φ 1 = φ 2 =

31 L’équation φ 2 - φ - 1 = 0 possède deux solutions car
φ 1 = φ 2 = Seule la 1ère solution correspond à un point m

32 Constructions du Nombre d’Or

33 Une construction simple
1 2 a b Théorème de Pythagore

34 Traçons la parallèle à [ab] par le milieu de [ bc] …
1 2 a b

35 c 1 2 a b

36 prenons notre compas… c 1 2 a b

37 c 1 2 a b

38 c 1 2 a b

39 Et voilà le Nombre d’OR ! c 1 2 a b

40 Et voilà le Nombre d’OR ! a c 1 b 2

41 Variante… A nouveau Pythagore …

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43

44

45 +

46 Rectangles d’Or Considérons un rectangle d’Or b a

47 Rectangles d’Or Inscrivons-y le plus grand carré possible b a

48 Rectangles d’Or b Carré b a - b a

49 Examinons le rapport des dimensions du rectangle obtenu
Carré b b a - b a

50 Le nouveau rectangle obtenu est donc un rectangle d’Or
a - b Le nouveau rectangle obtenu est donc un rectangle d’Or Carré

51 En inscrivant successivement le plus grand carré aux rectangles obtenus …

52 On obtient une succession de rectangles d’Or …
Carré Rectangle d’or

53 On obtient une succession de rectangles d’Or …
Rectangle d’or Carré

54 On obtient une succession de rectangles d’Or …
Rectangle d’or Carré

55 On obtient une succession de rectangles d’Or …
Carré Rectangle d’or

56 On obtient une succession de rectangles d’Or …
Rectangle d’or

57 On obtient une succession de rectangles d’Or …

58 On obtient une succession de rectangles d’Or …

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74 Spirale des rectangles d’Or

75 La spirale des rectangles d'or
est une « fausse » spirale parce qu'elle est constituée d'arcs de cercles au lieu d'avoir une variation continue du rayon. Cependant les raccordements des arcs sont parfaits car les centres des arcs sont à chaque fois situés sur la même droite et il y a une unique tangente à chaque point de raccordement .

76 Elle tend rapidement vers un centre Z .
Le segment de droite qui joint le centre Z à un point de la courbe croît en progression géométrique. La longueur du rayon vecteur est multipliée par le nombre d'or chaque fois que sa direction tourne d'un quart de tour.

77 Cette spirale se rencontre beaucoup dans la nature

78 Nautile

79 Nautile

80 Nautile

81 Nautile

82 Nautile

83 Nautile

84 Nautile

85 Nautile

86 Nautile

87 Nautile

88 Nautile

89 Nautile modèle mathématique

90 Quelques repères Historiques…

91 Il y a 10 000 ans Premiers signes de la connaissance par l’homme
( Temple d’ANDROS découvert sous la mer des Bahamas )

92 2800 Avant J C : Pyramide de Kheops
Selon la légende , les prêtres égyptiens disaient que « le carré construit sur la hauteur verticale égalait exactement la surface de chacune des faces triangulaires » a h

93 Encore un peu de math… h H D’après Herodote a H² = a.h

94 H a h H² = a.h

95 H a h H² = a.h

96 H a h H² = a.h

97 H a h H² = a.h

98 H a h H² = a.h

99 H a h H² = a.h

100 H a h H² = a.h

101 H a h H² = a.h

102 H a h H² = a.h

103 H a h H² = a.h

104 H a h H² = a.h

105 H a h H² = a.h

106 H a h H² = a.h

107 H a h H² = a.h

108 H a h H² = a.h

109 H a h H² = a.h

110 H a h H² = a.h

111 H a h H² = a.h

112 H² = a.h H a h h² - a² = a.h En utilisant à nouveau le théorème de Pythagore…

113 H² = a.h H a h h² - a² = a.h Divisons les deux membres par ah :

114 H² = a.h H a h h² - a² = a.h Divisons les deux membres par ah :

115 H² = a.h H a h h² - a² = a.h Divisons les deux membres par ah : Posons

116 On retrouve l’équation qui nous a permis de trouver le nombre d’Or
H a h On retrouve l’équation qui nous a permis de trouver le nombre d’Or Posons

117 φ donc la proportion entre la hauteur
( h) d'une face triangulaire et la moitié (a) du côté de la base est égale au nombre d’or a h φ

118 Pythagore (-580;-500)

119 Pythagore (-580;-500) mathématicien et philosophe grec était passionné par l'harmonie et  les proportions. Son traité sur la musique est célèbre. On lui doit la découverte de l'irrationalité de certains nombres : et que l'on trouve dans le nombre d'or et le pentagone régulier

120 Les Pythagoriciens voyaient dans les nombres les principes de toute chose
Le  pentagramme était le symbole des pythagoriciens. 

121 Pentagones et décagones réguliers

122 Pentagone régulier C5 72°

123 Pentagone régulier C5 72°

124 Pentagone régulier C5 72°

125 Pentagone régulier C5 72°

126 Pentagone régulier C5 72°

127 Pentagone étoilé ( Pentagramme )
C5

128 Pentagone étoilé ( Pentagramme )
C5

129 Pentagone étoilé ( Pentagramme )
C5

130 Pentagone étoilé ( Pentagramme )
C5

131 Pentagone étoilé ( Pentagramme )
C5

132 d a 72° C10 36° r 72° c b o Décagone régulier

133 a 72° C10 36° r 72° c b o Décagone régulier

134 d a 72° C10 36° r 72° c b o Décagone régulier

135 d a 72° C10 36° r 72° c b o Décagone régulier

136 d a 72° C10 36° r 72° c b o Décagone régulier

137 d a 72° C10 36° r 72° c b o Décagone régulier

138 d a 72° C10 36° r 72° c b o Décagone régulier

139 d a 72° C10 36° r 72° c b o Décagone régulier

140 d a 72° C10 36° r 72° c b o Décagone régulier

141 d a 72° C10 36° r 72° c b o Décagone régulier

142 d a 72° C10 36° r 72° c b o j

143 Construisons la bissectrice aj de oâb
36° C10 36° 36° r 72° c b o j

144 d a 36° C10 36° 36° r 72° 72° c b o j

145 d a 36° C10 36° 36° r 72° 72° c b o j

146 d a 36° C10 36° 36° r 72° 72° c b o j S  aob  ajb

147 d a 36° C10 36° 36° r 72° 72° c b o j S  aob  ajb oa ab aj jb

148 d a 36° r C10 36° 36° r 72° 72° c b o j oa aj ab jb

149 d Le nombre d’Or est donc présent dans le décagone régulier a R C10 c b o

150 C5 E5 On montre aussi par les triangles semblables que

151 av.JC Le sculpteur grec Phidias utilise le nombre d’Or pour décorer le Parthénon à Athènes, en particulier pour sculpter la statue d’Athéna Parténos .

152 Le Parthénon s’inscrit dans un rectangle doré

153 A G B E F D C =

154 Sur la toiture , on a aussi
=

155 b Statue d’Aphrodite entre autre … n a

156 Le théatre d’Epidaure ( IVème siècle av.J-C )

157 les rapports et sont

158 Retenons bien les nombres 21 , 34 et 55 …
On y reviendra dans quelques instants !

159 III ème siècle av. J-C. Premières traces écrites :
Dans ses « Eléments », Euclide explique le partage d’un segment en « extrême et moyenne raison »

160 « Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand,
comme elle est toute entière relativement au plus grand segment, ainsi est le plus grand relativement au plus petit » (Euclide , Eléments, livre IV , 3eme définition )

161 Léonard de Pise, plus connu sous le nom de Fibonacci, est à l'origine du premier modèle mathématique de la croissance des populations.

162 Il étudia du point de vue numérique la reproduction des lapins.

163 L'unité de base est un couple de lapins, il considère qu'un couple de jeunes lapins met une saison à devenir adulte, attend une deuxième saison de gestation, puis met au monde un couple de jeunes lapins à chaque saison suivante

164 En supposant que les lapins ne meurent jamais …, on obtient donc le schéma suivant :

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172 Lorsque l'on compte le nombre de couples de lapins à chaque saison, cela donne... la suite de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, pour laquelle on a … = 13 = 21 = 34 = 55 Etc… un = un un-2

173 Et revoici le Nombre d’Or …
on remarque que le rapport entre un nombre de la suite et son précédent s'approche de plus en plus du nombre d'or:

174 Φ ~ , … 21/13 ~ 1,615 34/21 ~ 1,619 144/89 ~ 1,617 610/377 ~ 1,618

175 Fibonacci dans la nature…
La pomme de pin montre clairement les spirales de Fibonacci : 8 vertes dans un sens, 13 rouges dans l'autre sens.

176 La fleur de tournesol forme deux séries de spirales tournant en sens contraire: 13 spirales partent de son centre dans une direction, 21 dans l'autre

177 Ananas :13 spirales à droite et 8 spirales à gauche

178 Escargot : la spirale de base

179 Les bâtisseurs de cathédrales
Aux XIe et XIIe siècles ,héritière des traditions anciennes, l’organisation ouvrière du compagnonnage où les savoirs se transmettaient oralement de maître à « compagnon », a fait des règles du nombre d’or le principe du savoir-faire des bâtisseurs

180 Notre-Dame de Paris

181 Notre-Dame de Paris

182 Cathédrale de Strasbourg

183 a b c d p y o

184 Le célèbre Taj Mahâl, immense monument funéraire construit en Inde par un architecte persan assisté de nombreux compagnons de nationalités différentes, a été construit également selon les proportions du nombre d’or

185

186 Les coupoles de plusieurs basiliques et mosquées célèbres furent proportionnées selon la Section d'Or et elles reposent sur une base cubique, comme, par exemple, celles de la Basilique Sainte Sophie à Istanbul, de la Basilique Saint Pierre à Rome

187 Les bâtisseurs de cathédrales
Les bâtisseurs de cathédrales utilisaient une pige constituée de cinq tiges articulées, correspondant chacune à une unité de mesure de l’époque, relatives au corps humain : la paume, la palme , l’empan, le pied et la coudée

188 Les bâtisseurs de cathédrales
Les bâtisseurs de cathédrales utilisaient une pige constituée de cinq tiges articulées, correspondant chacune à une unité de mesure de l’époque, relatives au corps humain : la paume, la palme , l’empan, le pied et la coudée Coudée Paume empan palme

189 Coudée Pied empan palme Paume Lignes cm Paume 34 7,64 palme 55 12,63 empan 89 20 Pied 144 32,36 Coudée 233 52,36 Les longueurs étaient données en « lignes » ( une ligne mesurant 2,247 mm )

190 On retrouve les termes de la suite de Fibonacci !!
Coudée Pied empan palme Paume Lignes cm Paume 34 7,64 palme 55 12,63 empan 89 20 Pied 144 32,36 Coudée 233 52,36 On retrouve les termes de la suite de Fibonacci !!

191 Fra Luca Pacioli, un moine professeur de mathématique , écrit
« De divina proportionne »

192 Fra Luca Pacioli, un moine professeur de mathématique , écrit
« De divina proportionne » Léonard de Vinci ( ) a dessiné les polyèdres pleins ou creux qui illustrent le traité de Luca Pacioli, son « maître de géométrie ».

193 D E C Dans ce tableau de Jicopo de Barbari, où Fra Luca Pacioli explique un théorème , on a = 1,62

194 icosaèdre dodécaèdre

195 Pour Platon , le Dodécaèdre ne symbolise rien moins que l’Univers

196 Le visage de sa célèbre Joconde est inscrit dans un rectangle d’or
Léonard de Vinci , philosophe humaniste de la renaissance, comme plusieurs autres peintres célèbres a utilisé la proportion d’Or dans ses toiles Le visage de sa célèbre Joconde est inscrit dans un rectangle d’or

197 Le Saint Jérome de Leonard de Vinci est aussi parfaitement intégré dans un rectangle d’or

198 L’Annonciation ( Leonard de Vinci )
x y a m c b

199 Leonardo de Vinci est aussi célèbre par ses observations du corps humain

200 L'Homme est inscrit dans un cercle
L'Homme est inscrit dans un cercle. Quand il lève les bras et a les jambes écartées, le centre du cercle correspond au nombril. S'il se tient jambes serrées et bras à l'horizontale, il s'inscrit dans un carré.

201 Le nombril divise la hauteur de l'homme en deux segments qui sont dans le rapport d'Or
Le rapport entre la distance comprise entre l'extrémité de la main droite et l'épaule gauche et celle comprise entre l'épaule gauche et l'extrémité de la main gauche correspond au Nombre d'Or.

202 Dessin de Leonard de Vinci
( sans doute autoportrait ) certains des rectangles de la grille sont des rectangles d’Or

203 L’homme parfait d’Aggripa Von Nettesheim ( 1553) (Médecin, philosophe et alchimiste allemand )

204 Bien que les peintres aient souvent travaillé en se laissant guider par un sens inné de l’harmonie des volumes et des formes , la construction géométrique de la peinture dans certaines œuvres n’est pas le fruit d’une spéculation, mais bien une réalité.

205 L'étude de l’illustration des Grandes Chroniques de France peintes par Jean Fouquet a été l’occasion de vérifier l’existence d’un trou de compas dans une scène mettant en œuvre le pentagone régulier

206

207 Voici quelques autres exemples
Souvent, le peintre, place l’élément, le personnage ou l’événement dans la section dorée du tableau pour que le regard du spectateur y soit naturellement attiré Voici quelques autres exemples

208 La Naissance de Venus ( Boticelli )

209 La Naissance de Venus ( Boticelli )

210 L’Adoration des Mages ( Velasquez )

211 Le format du tableau correspond à un rectangle d’Or  Le tableau s'organise autour de la diagonale.  Les visages de Marie et du personnage qui est à ses côtés s'inscrivent également dans un Rectangle d'or.

212 Plus contemporains Pablo Picasso

213 La Parade ( Seurat )

214 h i g f e a

215 B A Le « Sacrement du Dernier Repas » de Salvator Dali ( ) est peint à l’intérieur d’un rectangle d’or et des proportions dorées auraient été utilisées pour positionner les personnages

216 B A une partie d’un gigantesque dodécaèdre symbolisant l’Univers surplombe la table

217 Autres exemples d’utilisation de la proportion d’Or en architecture…

218 Renaissance Italienne
Santa Maria Novella ( Florence )

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221 Tempietto de Bramante ( Rome )

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223 Villa Farnese ( Rome )

224 La Villa Farnese est bâtie suivant un plan pentagonal

225 Un dessin de Francesco Giorgio Martini associe la forme du corps humain et le plan d'une église
le rapport des dimensions est analogue à celui de San Spirito à Florence conçue par Brunelleschi ( )

226 San Spirito (Florence )
Rectangle Rectangle d’Or San Spirito (Florence )

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233 Château de Thoiry L’architecture de Philibert de L’Orme dans ce château est entièrement réglée par les nombres. Les proportions des ailes, fenêtres, cheminées… sont toujours basées sur la longueur du château selon des sous-multiples des entiers fondamentaux 1 , 2 , 3 et 5

234 Château de Thoiry ( Philibert de L’Orme )
le nombre d’or y joue un grand rôle ; le vestibule a les proportions de la chambre funéraire de la pyramide de Cheops

235 Un plan de porte Rectangle d’or Rectangle « √2 »

236 Cette proportion fut étudiée à l' époque moderne  puisque Le Corbusier, architecte français d’origine suisse (1887;1965) l'a immortalisée dans Le Modulor.        

237 Présenté en avril 1947 par le Corbusier, Le Modulor est un système de mesure basé sur les proportions du corps humain

238 Dessin et photo de la maison d’Amèdée Ozenfant par Le Corbusier

239 Chapelle de Ronchamps ( Le Corbusier )

240 Faut-il voir le nombre d’Or partout ???
Collection "Pratique du dessin et de la peinture", Bordas, 1973. Tiré du semestriel des "Amis de Hergé" n° 6 du mois de décembre 1987

241 Recherches réalisées par les élèves de 5LM-SA au cours de Math complémentaires de Mr Colin

242 Soufiane Fatima Bilal

243 Chanthim Laetitia Youness

244 Ikram Farah

245 Nadir Suleyman Ayoub Imad
Rani Suleyman Ayoub Imad

246 Sources : http://trucsmaths.free.fr/nombre_d_or.htm

247 Enseignement général - humanités complètes
Ville de Bruxelles Athénée Léon Lepage rue des Riches Claires 30 1000 Bruxelles  02 / Courriel: Enseignement général - humanités complètes 1e,2e,3e latines, modernes ( orientation sciences ou économie ) 4e,5e,6e latin-mathématique, latin-sciences 4e,5e,6e Modernes, scientifiques A et B , sciences humaines, sciences économiques et langues modernes Cours de rattrapage-Prêt du livre - Sports dans le cadre scolaire. Séjours à l’étranger. Ecole des devoirs , tutorat interne et tutorat ULB , programme « Clé pour l’Adolescence », Agora des Libertés