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Nombre d’OR Rectangles d’Or Divine proportion …

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Présentation au sujet: "Nombre d’OR Rectangles d’Or Divine proportion …"— Transcription de la présentation:

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4 Nombre d’OR Rectangles d’Or Divine proportion …

5 Avertissement On n’a pas toujours pu déterminer de façon certaine si les proportions observées dans les œuvres architecturales et les ouvrages d’art révélaient une intention plus ou moins consciente de l'artiste, ou si ce n’était qu'une grille de lecture placée a posteriori sur une œuvre ( Il faut dans ce domaine rester modeste et ne pas vouloir à tout prix faire apparaître le nombre d'or partout )

6 Ces limites étant posées, on peut néanmoins présenter quelques exemples d'oeuvres où le nombre d'or semble jouer un rôle important…

7 Partons donc à la découverte du Nombre d’Or…

8 Un petit test : Regardez simplement chacun des rectangles de la diapositive suivante et retenez celui que vous jugez le plus harmonieux

9 Retenez bien le n° choisi…

10 Refaisons le même test …

11 Les rectangles d'or sont respectivement les n os ….

12 Il paraît (*) que ces rectangles sont le plus souvent choisis... Leurs proportions donnent une belle impression d'harmonie. (*) Les rectangles d'or sont respectivement les n os 3 et 4 ! D’après une étude du Philosophe allemand Gustav Feshner en 1876 Gustav Feshner en 1876

13 longueur longueur Le rapport Le rapport largeur largeur vaut à peu près 1,62 vaut à peu près 1,62

14 On désigne généralement le nombre d’or par la lettre grecque φ en hommage au sculpteur grec Phidias ( 490 à 430 avant J.C. ) qui décora le Parthénon à Athènes.

15 La « Section dorée » est une appellation qui remonte à Elle était appelée par les Grecs « partage d’un segment en moyenne et extrême raison »

16 Principe : Ce principe est sensé réaliser en architecture, en peinture, en sculpture…, les proportions les plus équilibrées, les plus harmonieuses … Dans un ensemble composé de 2 parties, le tout est à la plus grande comme celle-ci est à la plus petite.

17 m partage le segment [ a, b ] selon ce principe si abm

18 m partage le segment [ a, b ] selon ce principe si abm Le tout

19 m partage le segment [ a, b ] selon ce principe si abm Le tout La plus grande

20 m partage le segment [ a, b ] selon ce principe si abm Le tout La plus grande La plus petite

21 Un peu de math…

22 abm Le tout La plus grande La plus petite φ =

23 abm Le tout La plus grande La plus petite or φ =

24 abm On a donc …

25 abm

26 abm φ φ φ

27 Réduisons au même dénominateur… φ = 1 + φ

28 φ φ 2 - φ - 1 = 0

29 L’équation φ 2 - φ - 1 = 0 possède deux solutions car

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31 φ = φ 1 = φ = φ 2 =

32 L’équation φ 2 - φ - 1 = 0 possède deux solutions car φ = φ 1 = φ = φ 2 = Seule la 1 ère solution correspond à un point m

33 Constructions du Nombre d’Or

34 Une construction simple c 1 2 a b

35 Traçons la parallèle à [ab] par le milieu de [ bc] … c 1 2 a b

36 c 1 2 a b

37 prenons notre compas… c 1 2 a b

38 c 1 2 a b

39 c 1 2 a b

40 Et voilà le Nombre d’OR ! c 1 2 a b

41 Et voilà le Nombre d’OR ! c 1 2 a b

42 Variante…

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46 +

47 Rectangles d’Or b a Considérons un rectangle d’Or

48 Rectangles d’Or b a Inscrivons-y le plus grand carré possible

49 Rectangles d’Or b a b a - b Carré

50 b a b a - b Carré Examinons le rapport des dimensions du rectangle obtenu

51 b a b a - b Le nouveau rectangle obtenu est donc un rectangle d’Or Carré

52 En inscrivant successivement le plus grand carré aux rectangles obtenus …

53 Rectangle d’or On obtient une succession de rectangles d’Or … Carré

54 Rectangle d’or On obtient une succession de rectangles d’Or … Carré

55 Rectangle d’or On obtient une succession de rectangles d’Or … Carré

56 Rectangle d’or On obtient une succession de rectangles d’Or … Carré

57 Rectan gle d’or On obtient une succession de rectangles d’Or …

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75 Spirale des rectangles d’Or

76 La spirale des rectangles d'or est une « fausse » spirale parce qu'elle est constituée d'arcs de cercles au lieu d'avoir une variation continue du rayon. Cependant les raccordements des arcs sont parfaits car les centres des arcs sont à chaque fois situés sur la même droite et il y a une unique tangente à chaque point de raccordement.

77 Elle tend rapidement vers un centre Z. Le segment de droite qui joint le centre Z à un point de la courbe croît en progression géométrique. La longueur du rayon vecteur est multipliée par le nombre d'or chaque fois que sa direction tourne d'un quart de tour.

78 Cette spirale se rencontre beaucoup dans la nature

79 Nautile

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90 modèle mathématique

91 Quelques repères Historiques…

92 Il y a ans Premiers signes de la connaissance par l’homme ( Temple d’ANDROS découvert sous la mer des Bahamas )

93 2800 Avant J C : Pyramide de Kheops Selon la légende, les prêtres égyptiens disaient que « le carré construit sur la hauteur verticale égalait exactement la surface de chacune des faces triangulaires » a h

94 Encore un peu de math… H² = a.h H a h D’après Herodote

95 H a h H² = a.h

96 H a h

97 H a h

98 H a h

99 H a h

100 H a h

101 H a h

102 H a h

103 H a h

104 H a h

105 H a h

106 H a h

107 H a h

108 H a h

109 H a h

110 H a h

111 H a h

112 H a h

113 H a h h² - a² = a.h

114 H a h H² = a.h h² - a² = a.h Divisons les deux membres par ah :

115 H a h H² = a.h h² - a² = a.h Divisons les deux membres par ah :

116 H a h H² = a.h h² - a² = a.h Divisons les deux membres par ah : Posons

117 H a h On retrouve l’équation qui nous a permis de trouver le nombre d’Or

118 donc la proportion entre la hauteur ( h) d'une face triangulaire et la moitié (a) du côté de la base est égale au nombre d ’ or a h φ

119 Pythagore (- 580;-500)

120 mathématicien et philosophe grec était passionné par l'harmonie et les proportions. Son traité sur la musique est célèbre. On lui doit la découverte de l'irrationalité de certains nombres : et que l'on trouve dans le nombre d'or et le pentagone régulier Pythagore (-580;-500)

121 Les Pythagoriciens voyaient dans les nombres les principes de toute chose Le pentagramme était le symbole des pythagoriciens. pentagramme

122 Pentagones et décagones réguliers

123 C5 72° Pentagone régulier

124 C5 72° Pentagone régulier

125 C5 72° Pentagone régulier

126 C5 72° Pentagone régulier

127 C5 72° Pentagone régulier

128 C5 Pentagone étoilé ( Pentagramme ) E5

129 C5 Pentagone étoilé ( Pentagramme ) E5

130 C5 Pentagone étoilé ( Pentagramme ) E5

131 C5 Pentagone étoilé ( Pentagramme ) E5

132 C5 Pentagone étoilé ( Pentagramme ) E5

133 a b C10 36° 72° o r d c Décagone régulier

134 a b C10 36° 72° o r c Décagone régulier

135 a b C10 36° 72° o r d c Décagone régulier

136 a b C10 36° 72° o r d c Décagone régulier

137 a b C10 36° 72° o r d c Décagone régulier

138 a b C10 36° 72° o r d c Décagone régulier

139 a b C10 36° 72° o r d c Décagone régulier

140 a b C10 36° 72° o r d c Décagone régulier

141 a b C10 36° 72° o r d c Décagone régulier

142 a b C10 36° 72° o r d c Décagone régulier

143 a b C10 36° 72° o j r d c

144 a b C10 36° 72° 36° o Construisons la bissectrice aj de oâb j 36° r d c

145 a b C10 36° 72° 36° o j 72° r d c

146 a b C10 36° 72° 36° o j 72° r d c

147 a b C10 36° 72° 36° o j 72° S  aob  ajb r d c

148 a b C10 36° 72° 36° o j 72° S  aob  ajb oa aj ab jb r d c

149 a b C10 36° 72° 36° o j 72° oa aj ab jb r r d c

150 a b C10 o d c R Le nombre d’Or est donc présent dans le décagone régulier

151 C5 E5 On montre aussi par les triangles semblables que

152 av.JC Le sculpteur grec Phidias utilise le nombre d’Or pour décorer le Parthénon à Athènes, en particulier pour sculpter la statue d’Athéna Parténos.

153 Le Parthénon s’inscrit dans un rectangle doré

154 = AB F G CD E

155 = Sur la toiture, on a aussi

156 a n b entre autre … Statue d’Aphrodite

157 Le théatre d’Epidaure ( IV ème siècle av.J-C )

158 les rapports et sont

159 Retenons bien les nombres 21, 34 et 55 … On y reviendra dans quelques instants ! On y reviendra dans quelques instants !

160 III ème siècle av. J-C. Premières traces écrites : Dans ses « Eléments », Euclide explique le partage d’un segment en « extrême et moyenne raison » raison »

161 « Une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand, comme elle est toute entière relativement au plus grand segment, ainsi est le plus grand relativement au plus petit » (Euclide, Eléments, livre IV, 3eme définition )

162 Léonard de Pise, plus connu sous le nom de Fibonacci, est à l'origine du premier modèle mathématique de la croissance des populations.

163 Il étudia du point de vue numérique la reproduction des lapins.

164 L'unité de base est un couple de lapins, il considère qu'un couple de jeunes lapins met une saison à devenir adulte, attend une deuxième saison de gestation, puis met au monde un couple de jeunes lapins à chaque saison suivante

165 En supposant que les lapins ne meurent jamais …, on obtient donc le schéma suivant :

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173 Lorsque l'on compte le nombre de couples de lapins à chaque saison, cela donne... la suite de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, pour laquelle on a un = un-1 + un-2 … = = = = 55 Etc…

174 Et revoici le Nombre d’Or … on remarque que le rapport entre un nombre de la suite et son précédent s'approche de plus en plus du nombre d'or:

175 Φ ~ ~ 1, …  21/13 ~ 1,615  34/21 ~ 1,619  144/89 ~ 1,617  610/377 ~ 1,618

176 La pomme de pin montre clairement les spirales de Fibonacci : 8 vertes dans un sens, 13 rouges dans l'autre sens. Fibonacci dans la nature…

177 La fleur de tournesol forme deux séries de spirales tournant en sens contraire: 13 spirales partent de son centre dans une direction, 21 dans l'autre

178 Ananas :13 spirales à droite et 8 spirales à gauche

179 Escargot : la spirale de base

180 Les bâtisseurs de cathédrales Aux XIe et XIIe siècles,héritière des traditions anciennes, l’organisation ouvrière du compagnonnage où les savoirs se transmettaient oralement de maître à « compagnon », a fait des règles du nombre d’or le principe du savoir-faire des bâtisseurs

181 Notre-Dame de Paris

182 Notre-Dame de Paris

183 Cathédrale de Strasbourg

184 ab c d py o

185 Le célèbre Taj Mahâl, immense monument funéraire construit en Inde par un architecte persan assisté de nombreux compagnons de nationalités différentes, a été construit également selon les proportions du nombre d’or

186

187 Les coupoles de plusieurs basiliques et mosquées célèbres furent proportionnées selon la Section d'Or et elles reposent sur une base cubique, comme, par exemple, celles de la Basilique Sainte Sophie à Istanbul, de la Basilique Saint Pierre à Rome

188 Les bâtisseurs de cathédrales Les bâtisseurs de cathédrales utilisaient une pige constituée de cinq tiges articulées, correspondant chacune à une unité de mesure de l’époque, relatives au corps humain : la paume, la palme, l’empan, le pied et la coudée

189 Les bâtisseurs de cathédrales Les bâtisseurs de cathédrales utilisaient une pige constituée de cinq tiges articulées, correspondant chacune à une unité de mesure de l’époque, relatives au corps humain : la paume, la palme, l’empan, le pied et la coudée Coudée Paume empan palme

190 Coudée Pied empan palme Paume Les longueurs étaient données en « lignes » ( une ligne mesurant 2,247 mm ) 347,64 palme5512,63 empan8920 Pied14432,36 Coudée23352,36 Lignes cm

191 Coudée Pied empan palme Paume 347,64 palme5512,63 empan8920 Pied14432,36 Coudée23352,36 Lignes cm On retrouve les termes de la suite de Fibonacci !!

192 1498 Fra Luca Pacioli, un moine professeur de mathématique, écrit « De divina proportionne »

193 « De divina proportionne » Léonard de Vinci ( ) a dessiné les polyèdres pleins ou creux qui illustrent le traité de Luca Pacioli, son « maître de géométrie ».

194 D E C Dans ce tableau de Jicopo de Barbari, où Fra Luca Pacioli explique un théorème, on a = 1,62

195 icosaèdre dodécaèdre

196 Pour Platon, le Dodécaèdre ne symbolise rien moins que l’Univers

197 Léonard de Vinci, philosophe humaniste de la renaissance, comme plusieurs autres peintres célèbres a utilisé la proportion d’Or dans ses toiles Le visage de sa célèbre Joconde est inscrit dans un rectangle d’or

198 Le Saint Jérome de Leonard de Vinci est aussi parfaitement intégré dans un rectangle d’or

199 L’Annonciation ( Leonard de Vinci ) a b m c x y

200 Leonardo de Vinci est aussi célèbre par ses observations du corps humain

201 L'Homme est inscrit dans un cercle. Quand il lève les bras et a les jambes écartées, le centre du cercle correspond au nombril. S'il se tient jambes serrées et bras à l'horizontale, il s'inscrit dans un carré.

202 Le nombril divise la hauteur de l'homme en deux segments qui sont dans le rapport d'Or Le rapport entre la distance comprise entre l'extrémité de la main droite et l'épaule gauche et celle comprise entre l'épaule gauche et l'extrémité de la main gauche correspond au Nombre d'Or.

203 Dessin de Leonard de Vinci ( sans doute autoportrait ) certains des rectangles de la grille sont des rectangles d’Or

204 L ’ homme parfait d ’ Aggripa Von Nettesheim ( 1553) (Médecin, philosophe et alchimiste allemand )

205 Bien que les peintres aient souvent travaillé en se laissant guider par un sens inné de l ’ harmonie des volumes et des formes, la construction géométrique de la peinture dans certaines œuvres n ’ est pas le fruit d ’ une spéculation, mais bien une réalité.

206 L'étude de l ’ illustration des Grandes Chroniques de France peintes par Jean Fouquet a été l ’ occasion de vérifier l ’ existence d ’ un trou de compas dans une scène mettant en œuvre le pentagone régulier

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208 Souvent, le peintre, place l ’ élément, le personnage ou l ’ événement dans la section dorée du tableau pour que le regard du spectateur y soit naturellement attiré Voici quelques autres exemples

209 La Naissance de Venus ( Boticelli )

210 La Naissance de Venus ( Boticelli )

211 L’Adoration des Mages ( Velasquez )

212 Le format du tableau correspond à un rectangle d’Or Le tableau s'organise autour de la diagonale. Les visages de Marie et du personnage qui est à ses côtés s'inscrivent également dans un Rectangle d'or.

213 Plus contemporains Pablo Picasso

214 La Parade ( Seurat )

215 g f e a hi

216 Le « Sacrement du Dernier Repas » de Salvator Dali ( ) est peint à l’intérieur d’un rectangle d’or et des proportions dorées auraient été utilisées pour positionner les personnages A B

217 A B une partie d’un gigantesque dodécaèdre symbolisant l’Univers surplombe la table

218 Autres exemples d’utilisation de la proportion d’Or en architecture…

219 Santa Maria Novella ( Florence ) Renaissance Italienne

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222 Tempietto de Bramante ( Rome )

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224 Villa Farnese ( Rome )

225 La Villa Farnese est bâtie suivant un plan pentagonal

226 Un dessin de Francesco Giorgio Martini associe la forme du corps humain et le plan d'une église le rapport des dimensions est analogue à celui de San Spirito à Florence conçue par Brunelleschi ( )

227 Rectangle Rectangle d’Or San Spirito (Florence )

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234 Château de Thoiry L’architecture de Philibert de L’Orme dans ce château est entièrement réglée par les nombres. Les proportions des ailes, fenêtres, cheminées… sont toujours basées sur la longueur du château selon des sous-multiples des entiers fondamentaux 1, 2, 3 et 5

235 le nombre d’or y joue un grand rôle ; le vestibule a les proportions de la chambre funéraire de la pyramide de Cheops ) Château de Thoiry ( Philibert de L’Orme )

236 Un plan de porte Rectangle d’or Rectangle « √2 »

237 Cette proportion fut étudiée à l' époque moderne puisque Le Corbusier, architecte français d ’ origine suisse (1887;1965) l'a immortalisée dans Le Modulor. Cette proportion fut étudiée à l' époque moderne puisque Le Corbusier, architecte français d ’ origine suisse (1887;1965) l'a immortalisée dans Le Modulor. Le ModulorLe Modulor

238 Présenté en avril 1947 par le Corbusier, Le Modulor est un système de mesure basé sur les proportions du corps humain

239 Dessin et photo de la maison d’Amèdée Ozenfant par Le Corbusier

240 Chapelle de Ronchamps ( Le Corbusier )

241 Faut-il voir le nombre d’Or partout ??? Collection "Pratique du dessin et de la peinture", Bordas, Tiré du semestriel des "Amis de Hergé" n° 6 du mois de décembre 1987

242 Recherches réalisées par les élèves de 5LM-SA au cours de Math complémentaires de Mr Colin

243 Bilal Fatima Soufian e

244 Chanthim Laetitia Youness

245 Farah Ikram

246 Nadir Rani Suleyman Ayoub Imad

247 Sources : ligne.com/momo/chronomath/chrono1/Fibonacci.html

248 Ville de Bruxelles - Athénée Léon Lepage rue des Riches Claires Bruxelles  02 / Courriel: Enseignement général - humanités complètes 1 e,2 e,3 e latines, modernes ( orientation sciences ou économie ) 4 e,5 e,6 e latin-mathématique, latin-sciences 4 e,5 e,6 e Modernes, scientifiques A et B, sciences humaines, sciences économiques et langues modernes Cours de rattrapage-Prêt du livre - Sports dans le cadre scolaire. Séjours à l’étranger. Ecole des devoirs, tutorat interne et tutorat ULB, programme « Clé pour l’Adolescence », Agora des Libertés


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