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Elaboré par M. NUTH Sothan 1Fonction de plusieurs variables.

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1 Elaboré par M. NUTH Sothan 1Fonction de plusieurs variables

2 Ex.1: L’aire d’un triangle de base x et de hauteur y est une fonction de deux variables. Le domaine de définition est x > 0 et y > 0. y x 2Fonction de plusieurs variables

3 x y z o Ex.2: L’équation de sphère ou, (R=1) est une fonction de deux variables. 3Fonction de plusieurs variables

4 Ex.3 : Le volume d’un parallélépipède rectangle V = xyz est une fonction de trois variables. o z y x 4Fonction de plusieurs variables

5 Soit U=f(x, y, z). Si z=c, alors U=f(x, y, c) est une fonction de deux variables. Si y=b et z=c, alors U=f(x, b, c) est une fonction d’une variables. Ainsi, on peut considérer la fonction U=f(x, y, z) comme une fonction d’une seule variable, de deux variables et de trois variables. L’image géométrique d’une fonction z=f(x, y) est une surface dans l’espace. 5Fonction de plusieurs variables

6 A chaque couple ( x, y ) de  correspond une certaine valeur de z. A tout point N( x, y, 0 ) , on fait corres- pondre un point M( x, y, z ) appartenant au graphe de la fonction et constitu- ant l’extrémité de la perpendiculaire NM menée au plan Oxy. 6Fonction de plusieurs variables

7 X Z Y M(x, y, z) N(x, y, 0) O 7Fonction de plusieurs variables Si le point N parcourt toutes les positions possibles couvrant la totalité de la région , le point M qui lui lié, décrira dans le cas générale une certaine surface P de l’espace qui surplombe la région . P est le toit construit au-dessus de la surface .

8 Définition1 : On appelle ligne de niveau d’une fonction z=f(x, y) l’ensemble des points du plan Oxy en lesquels cette fonction a une seule et même valeur. On note : f(x, y)=c. 8Fonction de plusieurs variables

9 o z=3 y x z=2z=1 9Fonction de plusieurs variables Ex. : Si z=1, on obtient C’est un cercle de rayon R=1. Si z=2, on obtient C’est un cercle de rayon R=

10 Définition2 : On appelle la surface de niveau d’une fonction U=f(x, y, z) l’ensemble des points des l’espace Oxyz en lesquels cette fonction a une seule et même valeur. On note : f(x, y, z)=c. 10Fonction de plusieurs variables

11 Soit z=f(x, y). L’ensemble des valeurs (x, y) est appelé un point. Ainsi z est une fonction d’un point. Soit  x un accroissement de variable x. Soit  y un accroissement de variable y. Alors (1) est appelé accroissement partiel de f(x, y) par rapport à la variable x. 11Fonction de plusieurs variables

12 Analogiquement ( 2) est appelé accroissement partiel de f(x, y) par rapport à la variable y. Enfin ( 3) est appelé accroissement total de f(x, y). Remarque : 12Fonction de plusieurs variables

13 Ex. : Calculer l’accroissement de la fonction si x varie de 2 à 2,2 et y varie de 1 à 0,9. On a et et 13Fonction de plusieurs variables

14 Définition1 : On dit qu’une fonction f(x, y) est continue en point (x 0, y 0 ) si : 1. Elle est définie en ce point et celui-ci est un point limite du domaine d’existence de cette fonction 2. Aux accroissements infiniment petits des variables x et y correspond un accroissement infiniment petit de la fonction f(x, y) : 14Fonction de plusieurs variables

15 Définition2 : On dit qu’une fonction f(x, y) est continue sur un domaine donné si elle est continue en tout point de ce domaine: 15Fonction de plusieurs variables

16 Ex. : Le domaine de définition: De (5) on obtient: où  est un infiniment petit quant  x  0 et  y  0. On peut dire que la fonction f(x, y) est continue si 16Fonction de plusieurs variables

17 Soit z=f(x, y). On a Définition1 : est une dérivée partielle première par rapport à la variable x de f(x,y). On note : 17Fonction de plusieurs variables

18 Définition2 : est une dérivée partielle première par rapport à la variable x de f(x,y). On note : 18Fonction de plusieurs variables

19 Remarque : Si on calcule y est considérée comme constante. Si on calcule x est considérée comme constante. On peut écrire aussi: 19Fonction de plusieurs variables

20 Si y=constant, alors on obtient  x qui représente la section de la surface P par un plan correspondant parallèle au plan Oxz : Analogiquement, si x=constant, alors on obtient  y qui représente la section de la surface P par un plan correspondant parallèle au plan Oyz : 20Fonction de plusieurs variables

21 M(x, y, z) yy X Z Y O N(x, y, 0) xx Y’ X’   21Fonction de plusieurs variables

22 Soit y=f(x). On a l’accroissement y=f(x). On peut écrire: et Soit z=f(x, y). On a: D’après (1), on a: 22Fonction de plusieurs variables

23 où A et B sont constantes et est dite partie linéaire. Donc, il existe les dérivées partielles. En effet, si, alors: 23Fonction de plusieurs variables

24 On a ainsi, d’après (2): Ou Définition1 : Définition2 : De plus Où  et  sont infiniment petits si  x  0,  y  0 24Fonction de plusieurs variables

25 Ex.: Calculer la différentielle de la fonction z=xy. On peut considérer z comme l’aire d’un rectangle de coté x et y. Soit  x l’accroissement au côté x. Soit  y l’accroissement au côté y. Donc 25Fonction de plusieurs variables

26 Th.1 : Corollaire: Une fonction donnée ne possède qu’une seule différentielle. Th.2 : La fonction z=f(x,y) est différentiable dans un domaine donné, si elle possède les dérivées partielles continues. 26Fonction de plusieurs variables

27 Ex.1 : On a Remarque : Soit u=f(x, y, z). 27Fonction de plusieurs variables

28 Ex.2 : On a 28Fonction de plusieurs variables

29 Si l’accroissement  x et  y sont suffisamment petit, alors peut être remplacée par On peut donc écrire: 29Fonction de plusieurs variables

30 Ex. : On considère un rectangle de côté x =6 et y= 8. Quelle sera la variation de la diagonale de ce rectangle si x est augmenté de 0,05 et y est diminué de 0,1 ? La diagonale du rectangle est On a 30Fonction de plusieurs variables

31 Si f=f(x, y), x=  (u,v) et y=  (u,v),alors les dérivées partielles de f par rapport à u et v s’expriment de la manière suivante: 31Fonction de plusieurs variables

32 Soit u=f(x, y) définie sur . Considérons M( x, y )   et la direction l = (cos , cos  ) où  =  ( l, Ox ) et  =  ( l, Oy ) Lorsque M( x, y )    M’( x+ ∆ x, y + ∆ y ) par la direction l la fonction u=f(x, y) varie d’une quantité ∆ l u= f(x+ ∆ x, y+ ∆ y) – f(x, y) (1) 32Fonction de plusieurs variables

33 qui s’appelle l’accroissement de u=f(x, y) dans la direction l. Si MM’= ∆ l est le déplacement du point M( x, y ), d’après du triangle MPM’, on a ∆ x = ∆ l cos , ∆ y = ∆ l cos  (2) Par suite ∆ l u= f(x+ ∆ x, y+ ∆ y) – f(x, y) = f(x + ∆ l cos , y+ ∆ l cos  ) – f(x, y) 33Fonction de plusieurs variables

34 34Fonction de plusieurs variables

35 Définition : La dérivée d’une fonction u=f(x, y) dans la direction donnée l est: D’après cette définition, on peut considérer Comme la dérivée de u=f(x, y) dans la direction positives de l’axe Ox. 35Fonction de plusieurs variables

36 Et comme la dérivée de u=f(x, y) dans la direction positives de l’axe Oy. La dérivée est la vitesse de variation de la fonction u=f(x, y) dans la direction l. Supposons que u=f(x, y) est dérivable 36Fonction de plusieurs variables

37 Où  1  0 et  2  0 quant  x  0 et  y  0. D’après (2), on a: Quant  l  0 (  y  0 et  x  0), on a: 37Fonction de plusieurs variables

38 Ex. : Calculer l’accroissement de la fonction lorsque M(1, 2) se déplace d’une distance ∆ l =0,1 dans la direction l faisant un angle avec la direction positive de l’axe Ox. Quelle est la valeur de la dérivée au point M ? 38Fonction de plusieurs variables

39 On a: tg  =3/4 et 0<  <  /4. D’où par suit: Enfin: 39Fonction de plusieurs variables

40 Alors: Ainsi, le point M’( x 1, y 1 ) : x 1 = x +  x =1+0,08=1,08 y 1 = y +  y =2+0,06=2,06 Et l’accroissement de u :  l u = (1, ,08.2,06-2,06 2 )-( ) = 1,3724-1=0, Fonction de plusieurs variables

41 Et Par ailleurs: Et donc: 41Fonction de plusieurs variables

42 Remarque : La dérivée de la fonction dans la direction à pour l’expression: 42Fonction de plusieurs variables

43 Définition1 : On dit qu’un champ scalaire est définie dans un domaine , si  M  est donné un certain scalaire u = f (M) (1) Ex. : Le champ de température, c’est-à-dire la distribution de la température dans un corps échauffé, est un champ scalaire. Si M( x, y )  dans un plan Oxy, donc le champ scalaire u = f ( x, y ), ( x, y )  (2) 43Fonction de plusieurs variables

44 Définition2 : On dit qu’un champ vectoriel est définie dans un domaine , si  M  est associé un certain vecteur Ex. : Le champ de vitesse, à l’instant donnée, des points d’un courent de fluide … etc. sont des champs vectoriels. Pour le cas d’un champ vectoriel plan (3), on a 44Fonction de plusieurs variables

45 D’où sont des coordonnées de. De façon analogue, pour le cas d’un champ vectoriel dans l’espace, on obtient 45Fonction de plusieurs variables

46 Définition3 : L’ensemble des points M pour lesquels le champ scalaire (1) conserve une valeur constante f (M) = const. est appelé surface (ou ligne) de niveau du champ scalaire. Définition4 : Soit u=f(x, y) (8) un champ scalaire plan dérivable. Alors le vecteur est appelé gradient de ce champ. 46Fonction de plusieurs variables

47 On peut écrire: sont vecteurs unitaires suivants Ox et Oy. De même, dans l’espace u=f(x, y, z) (8’) à pour le gradient: Ainsi, le champ scalaire engendre un champ vectoriel, appelé champ de gradients. 47Fonction de plusieurs variables

48 Définition5 : On appelle dérivée du champ scalaire (8’) dans une direction donnée l l’expression: sont les cosinus directeurs du vecteur l. 48Fonction de plusieurs variables

49 Th. : La dérivée d’un champ scalaire dans une direction donnée est égale à projection du gradient de ce champ sur cette direction: 49Fonction de plusieurs variables

50 50Fonction de plusieurs variables

51 Démonstration : Désignons le vecteur unitaire de la direction l par : D’après (10), on a: 51Fonction de plusieurs variables

52 Corollaire : Le gradient d’un champ scalaire en un point donné est égal en grandeur et en direction à la vitesse maximale de variation du champ en ce point. En effet, d’après (11), on a: Et de plus cos  =1. Donc la direction doit coïncider avec la direction de 52Fonction de plusieurs variables

53 Alors: Remarque : Le gradient du champ ne dépend pas du choix d’un système de coordonnées rectangulaires Oxyz. 53Fonction de plusieurs variables

54 Ex.: Déterminer la grandeur et la direction du gradient du champ, au point M 0 (2,1,0), On a: 54Fonction de plusieurs variables

55 Par suite: Donc: 55Fonction de plusieurs variables

56 On a: Définition1 : Le point M 0 en lequel est appelé point singulier. Dans le cas contraire, M est dit non singulier. Th.2 : En tout point non singulier d’un champ salaire plan le gradient du champ est dirigé suivant la normale de la ligne de niveau passant par ce point, dans le sens de croissance du champ. 56Fonction de plusieurs variables

57 Soit: z=f(x, y). Ses dérivées: Sont fonctions de x et y. Des dérivées du second ordre: 57Fonction de plusieurs variables

58 En continuant, on peut calculer les dérivées partielles du troisième ou plusieurs ordre. Ex. : On a: Alors: 58Fonction de plusieurs variables

59 Si u=f(x, y) est différentiable, alors sa différentielle totale est de la forme: On a: 59Fonction de plusieurs variables

60 A l’inverse, soit: Dans quelle condition pour que (3) soit différentielle totale ? Th. : Pour que l’expression (3) soit différentielle totale dans G d’une fonction u=f(x, y), il faut que dans G soit: 60Fonction de plusieurs variables

61 Démonstration : Supposons que la différentielle total de u=f(x, y) est: On a: 61Fonction de plusieurs variables

62 Corollaire : Si la condition (4) n’est pas réalisée, l’expression (3) n’est pas dans le domaine G une différentielle totale d’une fonction. Ex. : L’expression: Sont-elles les différentielles totales de certaines fonctions. 62Fonction de plusieurs variables

63 Définition1 : On appelle maximum (strict) d’une fonction f(x, y) une telle valeur f(x 1, y 1 ) tel que: f(x 1, y 1 ) > f(x, y), (  f(x, y) ), prise aux points de voisinage de ( x 1, y 1 ). Définition2 : On appelle minimum (strict) d’une fonction f(x, y) une telle valeur f(x 2, y 2 ) tel que: f(x 2, y 2 ) < f(x, y), (  f(x, y) ), prise aux points de voisinage de ( x 2, y 2 ). 63Fonction de plusieurs variables

64 Th.1 (CN) : La fonction dérivable f(x, y) admet un extrémum en point M 0 (x 0, y 0 ), si ou il n’existe pas. Remarque : 1.Le point M 0 (x 0, y 0 ) où ou il n’existe pas s’appelle point critique de cette fonction. 2.Th.1 n’est que la condition nécessaire. 64Fonction de plusieurs variables

65 Th.2 (CS) : Soient : 1. Si  >0  extrémum et si A<0 (ou C<0)  max si A>0 (ou C>0)  min 2. Si  <0  il n’existe pas extrémum 3. Si  =0  on ne peut pas dire. 65Fonction de plusieurs variables

66 Ex.1 : Soit: Trouver l’extrémum ? On a: M 1 (1,2), M 2 (2,1), M 3 (-1,-2), M 4 (-2,-1) 66Fonction de plusieurs variables

67 On a: M 1 (1,2): A=6, B=12, C=6,  <0  n’existe pas l’extrémum. M 2 (2,1): A=12, B=6, C=12,  >0  Z min =-28 M 3 (-1,-2) : A=-6, B=-12, C=-6,  <0  n’existe pas l’extrémum. M 4 (-2,-1): A=-12, B=-6, C=-12,  >0  Z max =28 67Fonction de plusieurs variables

68 Soit z=f(x, y) définie sur D. On cherche un extremum de z=f(x, y) sur la surface donnée, c.à.d. qu’on cherche un extremum liée par une contrainte de la forme Φ (x, y) = 0. En point M(a, b) on aura : f(a, b)=K où K est constant. Φ (a, b) = 0. La relation de proportionnalité entre dérivées partielles de f(x, y) et de Φ (x, y) : 68Fonction de plusieurs variables

69 , où est const. c.à.d. est appelé le multiplicateur de Lagrange. 69Fonction de plusieurs variables

70 Les relation (1), (2) et Φ (x, y)=0 permettent alors de déterminer a, b et. En posant : la recherche des extrémums avec contrainte Φ (x, y)=0 revient à chercher les extrémums libres de la fonction F(x, y). 70Fonction de plusieurs variables

71 Ex.2: Déterminer les extrémums de la fonction définie par f(x, y) = xy qui se trouve sur le cercle de centre O et de rayon 1. Posons où Les points critiques de F(x, y) sont données par le système : 71Fonction de plusieurs variables

72 Et en plus : On trouve : f(A 1 )= f(A 2 )=1/2 ⇒ A 1 et A 2 sont max de f. f(A 3 )= f(A 4 )= -1/2 ⇒ A 3 et A 4 sont min de f. 72Fonction de plusieurs variables

73 1. Ellipsoïde: 73Fonction de plusieurs variables x y z o

74 2. Paraboloïde elliptique: 74Fonction de plusieurs variables x y z 0

75 3. Cône elliptique: 75Fonction de plusieurs variables 0 y x z

76 4. Hyperboloïde à une nappe: 76Fonction de plusieurs variables z x 0 y

77 5. Hyperboloïde à deux nappes: 77Fonction de plusieurs variables x y z 0

78 6. Paraboloïde hyperbolique: 78Fonction de plusieurs variables y z x 0

79 7. Cylindre elliptique: 79Fonction de plusieurs variables y z x 0


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