La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

La présentation est en train de télécharger. S'il vous plaît, attendez

Simulation d ’ un processus de Poisson É tude de la radioactivit é naturelle.

Présentations similaires


Présentation au sujet: "Simulation d ’ un processus de Poisson É tude de la radioactivit é naturelle."— Transcription de la présentation:

1 Simulation d ’ un processus de Poisson É tude de la radioactivit é naturelle

2 Simulation d ’ un processus de Poisson 1 – Observation d ’ une masse de mati è re radioactive, hypoth è ses de travail Simulation num é rique du ph é nom è ne de la radioactivit é naturelle : passer d ’ une simple observation à la connaissance de la p é riode d ’ un é l é ment radioactif en vue d ’ applications comme la datation. D ’ autres objectifs peuvent être vis é s : 1) Compr é hension d ’ un processus de mod é lisation et place de la simulation informatique, 2) Etude de la loi exponentielle et application aux ph é nom è nes d ’ attente, 3) Rapports entre loi exponentielle et loi de Poisson, approximation binomiale de la loi de Poisson, approximation de la loi exponentielle par une loi g é om é trique, 4) Ajustement d ’ une loi, contrôle par un test du  2.

3 Simulation d ’ un processus de Poisson Un capteur enregistre les instants successifs o ù l ’ un des atomes de la masse se d é sint è gre ( é v é nement A). À partir de cette observation, on d é sire conna î tre la p é riode de l ’é l é ment radioactif consid é r é. Premi è re é tape du processus de mod é lisation : formuler des « hypoth è ses de travail » en vue d ’ obtenir un mod è le pseudo concret du ph é nom è ne. Deuxi è me é tape : transformer ces hypoth è ses de travail en « hypoth è ses de mod è le » constituant le mod è le probabiliste dont les cons é quences th é oriques permettront d ’ interpr é ter les donn é es statistiques et de r é soudre le probl è me pos é. Hypoth è ses de travail: L ’é v é nement A peut survenir inopin é ment et se r é p é ter fortuitement. -Il n ’ y a pas de moments o ù A appara î t plus souvent que d ’ autres : le ph é nom è ne est homog è ne dans le temps. -Les « chances » de voir A se produire dans un intervalle de temps donn é, ne d é pendent pas de ce qui s ’ est pass é auparavant : le ph é nom è ne est sans m é moire. - Plus cet intervalle de temps est petit, moins il y a de chance de voir A se produire et A ne se produit pas deux fois presque en même temps : A est un é v é nement dit « rare ».

4 Simulation d ’ un processus de Poisson 2 – Mod è le probabiliste et r é sultats th é oriques Transformer ces hypoth è ses de nature heuristique en é nonc é s abstraits adapt é s aux outils probabilistes. Hypoth è ses de mod è le continu : Ω est l ’ ensemble continu de tous les instants o ù A peut th é oriquement se produire à partir d ’ un instant initial 0. Ω = ] t 0, +∞[. 1) La probabilit é que A se produise dans un intervalle de temps ]t, t + ∆t] ne d é pend que de ∆t (ph é nom è ne homog è ne). Soit p = P(∆t) cette probabilit é. 2) Les apparitions de A dans deux intervalles de temps disjoints sont des é v é nements ind é pendants (ph é nom è ne sans m é moire). 3) On suppose que P(∆t) ~ ∆t quand ∆t  0, o ù > 0 est une constante (les é v é nements A sont rares). Cette situation est caract é ris é e par le param è tre qui peut être estim é à partir d ’ une statistique : on peut observer que, dans des conditions analogues, A se produit en moyenne fois dans un intervalle de temps unit é (cadence du ph é nom è ne).

5 Simulation d ’ un processus de Poisson La th é orie probabiliste permet de d é terminer : - la loi du temps d ’ attente X 1 du premier é v é nement A, - la loi du temps d ’ attente Z r du r i è me é v é nement A, - la loi du nombre N d ’é v é nements A qui se sont produits dans une dur é e [0,  ]. Cette situation peut être d é crite par un sch é ma (processus) de Poisson : A 1 … A r … A N 0 t 1 t 2  t X 1 X 2 … Z r - densit é de la loi de X 1 : f T (t) =, pour t ≥ 0. On a E[X 1 ] = 1/. C ’ est la loi exponentielle de param è tre. -densit é de la loi de Z r :, pour z ≥ 0. On a E[Z r ] = r/. C ’ est la loi gamma  (r, ). - La loi de N est donn é e par les probabilit é s é l é mentaires : P(N = k) =, pour k  IN. On a E[N] =  et Var(N) = . C ’ est la loi de Poisson de param è tre .

6 Simulation d ’ un processus de Poisson Signification du param è tre : E(X 1 ) = 1/ est le temps moyen d ’ attente de A. E[N] =  est le nombre moyen d ’é v é nements A qui se produisent dans une dur é e . Il y a donc en moyenne é v é nements A par unit é de temps ( est la cadence du ph é nom è ne). 3 – Simulation informatique et discr é tisation du mod è le continu Mod è le discret La simulation informatique suppose de discr é tiser l ’ observation. Le capteur n ’ interroge la masse radioactive que par intervalles de temps r é guliers  t suffisamment petits. On limite l ’ observation à la dur é e  =  ∆t (  = 30 dans notre TD). Pour l ’é tude statistique du ph é nom è ne simul é, on recommencera cette observation n fois (n = 1000 dans notre TD). Principe de la simulation : Engendrer dans une feuille de calcul Excel une suite de  chiffres, 0 (pas de d é sint é gration dans l ’ intervalle ∆t pr é c é dent) ou 1 (une d é sint é gration), le chiffre 1 apparaissant al é atoirement avec une probabilit é p (probabilit é d ’ observer une d é sint é gration dans la dur é e ∆t : p = P(∆t)), variable à volont é et install é e dans une cellule cach é e de la feuille de calcul. L ’ objectif de la simulation est d ’ estimer la probabilit é p par une approche fr é quentiste, à partir d ’ un é chantillon de n telles observations.

7 Simulation d ’ un processus de Poisson 4 – É tude th é orique du mod è le discret, loi binomiale et loi g é om é trique On fait une observation à chaque instant multiple de ∆t pour voir si A s ’ est produit. Notons les instants d ’ observation : 1, 2, 3, …, i-1, i, … , s é par é s par l ’ intervalle de temps ∆t. Les hypoth è ses du mod è le continu se transforment en Hypoth è ses de mod è le discret : 1) La probabilit é que A apparaisse à la i i è me observation ne d é pend pas de i (ph é nom è ne homog è ne). Soit p cette probabilit é. 2) Les apparitions de A aux diff é rentes observations sont des é v é nements ind é pendants (ph é nom è ne sans m é moire). 3) On suppose que A ne peut pas appara î tre deux fois dans la même observation (les é v é nements A sont rares). p est donc suppos é assez petit, p = P(∆t) ~ ∆t, tel que  p — >  quand  — > ∞.

8 Simulation d ’ un processus de Poisson a) De la loi binomiale à la loi de Poisson Soit N la variable al é atoire, nombre des apparitions de A au cours des  observations. N est un entier k compris entre 0 et . Les conditions donn é es en hypoth è ses permettent de conclure que N suit une loi binomiale B( , p). On a P(N = k) =, E[N] =  p et Var(N) =  p(1 – p). On peut montrer que lorsque  — > ∞, ces probabilit é s binomiales convergent vers les probabilit é s de Poisson : P(N = k) , avec E[N] =  et Var(N) = .

9 Simulation d ’ un processus de Poisson b) Estimation ponctuelle de  La suite des variable al é atoires, « moyennes arithm é tiques » des valeurs prises par N dans un é chantillon de taille n, converge en probabilit é vers E[N] (loi des grands nombres, c ’ est à dire que l ’ on a pour tout  donn é, P(  –  p  1 quand n tend vers l ’ infini). On consid è re que  est assez grand pour que  p soit assez proche de  La valeur observ é e de dans un é chantillon de taille n est un bon estimateur de la valeur . (On pourrait pr é ciser cette estimation par un intervalle de confiance en posant P(  –  <  ) = 1 – , o ù  est le risque que la valeur r é elle de  ne soit pas dans l ’ intervalle ] – , +  [). Il suffit de calculer la moyenne des valeurs observ é es de N dans un é chantillon assez grand (contrôle exp é rimental de sa taille par observation de la stabilisation de cette moyenne), pour obtenir une valeur estim é e de  p, proche du param è tre de Poisson . On en d é duit la valeur estim é e /  pour la probabilit é p, param è tre du mod è le introduit dans l ’ ordinateur, et /  pour la constante, cadence du ph é nom è ne, qui nous int é resse.

10 Simulation d ’ un processus de Poisson 5 – Interpr é tation de la simulation dans le mod è le pseudo-concret. La masse de mati è re fissile contient M atomes radioactifs. La d é sint é gration de l ’ un ou l ’ autre de ces atomes ( é v é nement A ) v é rifie (en gros) les hypoth è ses heuristiques pr é c é dentes. Soit p = P(∆t) la probabilit é d ’ observer une d é sint é gration pendant un petit intervalle de temps de dur é e ∆t. On observe le ph é nom è ne pendant un temps . Dans notre simulation, nous avons discr é tis é ce temps  en  petits intervalles ∆t :  =  ∆t. Des hypoth è ses il d é coule que  p — >  quand ∆t — >0. La cadence  est donc la limite de P(∆t)/∆t quand ∆t tend vers 0. Le param è tre caract é rise la radioactivit é, c ’ est la « constante de d é sint é gration ». La « p é riode »  de l ’é l é ment radioactif consid é r é est la dur é e pendant laquelle la moiti é de la masse fissile s ’ est d é sint é gr é e. La fr é quence des atomes non encore d é sint é gr é s parmi les M est alors 1/2. La loi des grands nombres permet de relier T à.

11 Simulation d ’ un processus de Poisson Dans le cas de la radioactivit é naturelle, on peut consid é rer que les d é sint é grations des atomes sont ind é pendantes. De plus, pour un intervalle de temps donn é, chaque atome a la même probabilit é d ’ être d é sint é gr é. Soit  cette probabilit é de d é sint é gration entre 0 et T. À chaque atome radioactif de l ’é chantillon, on associe l ’é preuve de Bernoulli qui consiste à voir s ’ il est d é sint é gr é au bout du temps T. Cet é v é nement est donc de probabilit é . On recommence cette exp é rience avec les M atomes de la masse radioactive. Le th é or è me de Bernoulli indique que la fr é quence F des atomes d é sint é gr é s à l ’ instant T dans un é chantillon de mati è re fissile, tend (en probabilit é ) vers  quand la taille de l ’é chantillon (c ’ est- à -dire le nombre d ’é preuves de Bernoulli r é alis é es) tend vers l ’ infini. Ce th é or è me se traduit formellement par :  > 0, P(  F –  >  ) ––– > 0 quand M –– > ∞ M é tant tr è s grand (de l ’ ordre de ), on peut conclure qu ’ il y a une probabilit é infime que  soit notablement diff é rente de cette fr é quence 1/2 des atomes d é sint é gr é s parmi les M consid é r é s. T est donc la dur é e au bout de laquelle un atome donn é a la probabilit é 1/2 d ’ être (ou ne pas être) d é sint é gr é.

12 Simulation d ’ un processus de Poisson La loi exponentielle de la variable X, temps d ’ attente de la d é sint é gration de l ’ atome (mod è le continu), donne le r é sultat : P(X ≤ T ) = 1/2 =, d ’ o ù T = Par exemple T = 1580 ans pour le radium, = = 0,0004 est la cadence annuelle de d é sint é gration des atomes de radium. Dans notre simulation, nous avions  = 30, et par exemple p ≈ 0,085, d ’ o ù  ≈ 2,55/ . En prenant pour  un mois, on a simul é la radioactivit é d ’ un é l é ment relativement actif de demi-vie T = ≈ 0,23 mois, soit environ 8,1 jours. C ’ est la p é riode de l ’ iode-131.

13 Simulation d ’ un processus de Poisson 6 – Principe de la datation par radioactivit é naturelle On consid è re un é chantillon de mati è re radioactive dans lequel il y a à l ’ instant t, M(t) atomes non d é sint é gr é s d ’ un é l é ment radioactif donn é. A partir d ’ un instant initial t 0 o ù l ’ on conna î t le nombre M 0 d ’ atomes radioactifs pr é sents dans l ’é chantillon, la loi de d é croissance de M(t) () et la mesure de M(t) à l ’ instant t, permet de calculer t. La demi-vie de ces atomes est T = o ù est la cadence de d é sint é gration. Celle-ci peut être estim é e par l ’ observation r é p é t é e de l ’é chantillon sur un certain nombre d ’ unit é s de temps. Il suffit de compter le nombre N d ’ atomes d é sint é gr é s par unit é s de temps, et la moyenne est un estimateur de la cadence mesur é e avec cette unit é. Dans notre exemple de simulation o ù p   , avec  = 30 et p = 0,01, si  est l ’ unit é de temps, = 0,3. Avec par exemple M(t) = 6,02  (nombre d ’ Avogadro), et  une ann é e, le taux de d é sint é grations par unit é de temps est M(t)  1,8  (ce qui en fait 5  par seconde !) et une demi-vie de 2,3 ans.


Télécharger ppt "Simulation d ’ un processus de Poisson É tude de la radioactivit é naturelle."

Présentations similaires


Annonces Google