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Da “Emmatematica” verso …, sulle tracce di Gal’perin Des « Emmathématiques » vers…, sur les traces de Gal’perin Paolo Longoni, Gianstefano Riva, Ernesto.

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1 Da “Emmatematica” verso …, sulle tracce di Gal’perin Des « Emmathématiques » vers…, sur les traces de Gal’perin Paolo Longoni, Gianstefano Riva, Ernesto Rottoli

2 “Emmatematica” « Emmathématiques » MovimentoMouvement La geometria: una «cosa che si fa con le mani» La Géométrie: une « chose qui se fait avec les mains » Azione ragionata sul concreto Action raisonnée sur le concret Discussioni aperteDiscussions ouverts Temi scritti a rappresentare ragionamenti e deduzioni Rédactions écrites pour représenter raisonnements et déductions ……

3 Dove sta andando l’insegnamento della matematica oggi, in Italia? L’enseignement des mathématiques où va-t-il aujourd'hui, en Italie? Standardizzazione Standardisation Sterilizzazione di “Emmatematica” nei suoi aspetti più innovativi e significativi Stérilisation des « Emmathématiques » dans ses aspects plus innovants et significatifs

4 Che cosa è venuto meno nel percorso di Emmatematica? Qu’est-ce que est manqué dans le parcours des Emmathématiques? Sulle tracce di Gal’perin Sur les traces de Gal’perin

5 Piotr Jakovlevich Gal'perin ( ) medico e psicologo sovietico médecin et psychologue soviétique Lev Vygotsky ( ) approccio socio-culturale approche socio - culturelle internalizzazione internalisation Scuola di Kharkov – Leont’ev teoria dell’attività théorie de l’activité Marx-Il'enkov “ideale” « idéal » Pavlov –Sokolov “riflesso orientante” « réflexe orientant »

6 Formazione sistematica delle azioni mentali e dei concetti Formation « systématique » des actions mentales et des concepts Due aspetti significativi per il nostro scopo: Deux aspects significatifs pour notre but: ruolo centrale delle azioni mentali Le rôle central des « actions mentales » importanza che le azioni mentali siano formate in modo “ottimale”. L’importance que les actions mentales soient formées dans une façon « optimale ».

7 Formazione “ottimale” Formation « optimale »: ha trovato i suoi sviluppi più significativi nell’attività sperimentale di V.V. Davydov elle a trouvé ses développements plus significatifs dans l’activité expérimentale de V.V. Davydov Quantità  early algebra Quantité  early algebra Moltiplicazione Multiplication Frazioni Fractions

8 Azioni mentali Actions mentales Insegnamento dell’algebra: Ruolo fondamentale della costruzione delle azioni mentali Enseignement de l’algèbre: Rôle fondamental de la construction des actions mentales Quattro situazioni didattiche Diversi gradi scolatici, dalle elementari alle superiori Quatre situations didactiques Différents degrés, de la primaire au lycée

9 Concettualizzazione Conceptualisation La matematica è una costruzione mentale e culturale (Dehaenne) Les mathématiques sont une construction mentale et culturelle (Dehaenne) Kant: Le matematiche sono libere dall’esperienza. Les mathématiques sont affranchies de l’expérience Azioni mentali Actions mentales

10 Calcolo mentale Calcul mental Le attività del contare attivitàattività Les activités du compter Non basta contare Compter, ce n’est pas suffisant Automatizzazione prematura Automatisation prématurée È fondamentale costruire le azioni mentali del contare Il est fondamental construire les actions mentales du compter Il gioco del nascondere Le jeux du cacher giocogioco

11 “Ingegneria didattica” di Gal’perin « Ingénierie didactique » Procedura “stepwise” Procédure « stepwise » sequenza di stadi che portano alla formazione delle azioni mentali. séquence des stades qui portent à la formation des actions mentales 1.Stadio motivazionaleStade motivationnel 2.Stadio orientanteStade orientant 3.Stadio materiale(izzato) Stade matériel (isé) 4.Stadio del parlare esplicito Stade du parler explicite 5.Stadio del parlare coperto Stade du parler couvert 6.Stadio mentale Stade mental

12 Stadio orientante – Grumi di difficoltà Stade orientant – Caillots de difficultés Gal’perin: mappa orientante; mappe orientante L’insegnamento è complesso perché è variamente ramificato, ma possiede “fluidità” L’enseignement est complexe parce qu’il est très ramifié, mais il possède « fluidité » Ipotesi: Esistono “grumi” di difficoltà Existence des « caillots » de difficultés

13 “Fluidità” di Gal’perin « Fluidité » de Gal’perin Ingegneria dell’insegnamento Ingénierie de l’enseignement “Ingegnere utopico” (Popper) « Ingénieur utopique » (Popper) “Grumi” di difficoltà « Caillots de difficulté » Emmatematica Emmathématiques “Ingegnere poco alla volta” (Popper) « Ingénieur » un peu à la fois (Popper)

14 Le difficoltà del gioco del nascondere Les difficultés du jeux du cacher Il caso di Alberto Le cas de Alberto Ragazzo di19 anni, con un ritardo mentale medio grave; Il est un jeune homme de 19 ans, avec un retard mental de moyenne gravité; l’area più colpita è quella logico matematica. La zone plus frappée est celle logico-mathématique Sa contare oggetti solo se li manipola. Il sait compter des objectes, seulement s’il les touche avec ses mains Ha lavorato con numeri entro il 9. Il a travaillé avec les nombrés jusqu'à le 9.

15 Dispongo 5 penne sul banco J’arrange 5 plumes sur le banc L’alunno le conta correttamente toccandole con le mani. L’élève les compte correctement en les touchant avec les mains. Ne nascondo 2 Je en cache deux “Quante penne ci sono?” « Combien de plumes y a-t-il? » L’alunno ne conta 3. L’élève en compte 3 “E quelle che ho nascosto?” « Et les plumes que j’ai caché? » “zero; non le vedo” « Zéro; je ne les vois pas »

16 Ora le penne non le metto sul banco ma le tengo in mano. Maintenant, je n’arrange pas les 5 plumes sur le banc mais je les tiens dans mes mains. “Quante penne ho nelle mie mani?” Combien de plumes ai-je dans mes mains? Le conta toccandole e risponde correttamente 5 L’élève les compte en les touchant et réponde correctement Ne metto dietro la schiena 2 tenendole in mano. Je en cache 2 derrière mon dos en les tenant dans ma main “Quante penne ho nelle due mani?” Combien de plumes ai-je dans mes mains? Conta le 3 in vista e risponde “3 e 2”. L’élève compte les 3 plumes en vue et réponde « 3 et 2 »

17 Ipotesi: La ridefinizione del linguaggio e dell’unità spaziale ha permesso di riconfigurare il “campo” del problema e ha guidato l’alunno verso una semplice azione mentale. Hypothèse: La redéfinition du langage et de l’unité spatiale a permis de reconfigurer le « champ » du problème et elle a guidé l’élève vers une simple action mentale.

18 “Grumi di difficoltà” « Caillots de difficultés »: non esiste la soluzione generale. une solution générale n’existe pas. Inventiva dell’insegnante Inventive de l’enseignant: nasce soprattutto dalla esperienza didattica. elle naît surtout de l’expérience didactique. Inventiva  emmatematica Inventive  Emmathématiques

19 Grumi di difficoltà Caillots de difficultés Disequazioni Inéquations Soluzione con il metodo degli intervalli Solution avec la méthode des intervalles (x-1) (x+1) (x-4)

20 Senso della presentazione Sens de la présentation Nell’insegnamento della matematica: Dans l’enseignement des mathématiques: l’“inventiva” di emmatematica, « l’inventive » des emmathématiques le azioni mentali di Gal’perin les actions mentales de Gal’perin

21 Per i gradi scolastici più alti? Et pour les degrés scolaires plus hauts? “il sapere”, “il saper fare”, “il concettualizzare” « Le savoir », « le savoir faire » « le conceptualiser » e le azioni mentali? Et les actions mentales? generali, telescopizzate e automatiche (Gal’perin) générales, telescopisées et automatiques

22 Scuola media Calcolo mentaleCalcul mental GeneralizzazioneGénéralisation Traduzione tra linguaggi naturale e simbolico Traduction entre le langage naturel et celui symbolique Soluzione per azioni di espressioni numeriche Solution par actions de expressions numériques UguaglianzaÉgalité ProblemiProblèmes

23 “Il ruolo delle azioni mentali è di orientare, monitorare e controllare le future azioni in varie situazioni problematiche nuove” (Gal’perin) « Le rôle des actions mentales est d’orienter, surveiller et contrôler les futures actions dans différentes situations e nouvelles problématiques » (Gal’perin) Competenze Compétences

24 Nel seguente grafico di una funzione razionale, quali tra le seguenti proprietà sono false? Spiega perché. 1.La frazione corrispondente ha almeno un punto critico del denominatore di molteplicità pari. 2.Lim f(x) = Lim f(x) x  2+ x  2- 3.f(0) > 0 4.Lim f(x) = Lim f(x) x  +  x  - 

25 Quali delle seguenti equazioni hanno la proprietà che il grafico corrispondente non interseca l’asse delle ascisse in un punto positivo? Spiega perché. 2 g(x) = ─────── x – 1 x 2 + 3x h(x) = ─────── x – 1 2x 2 + 3x – 4 l(x) = ─────── x – 1 2x m(x) = ─────── x – 1

26 Data la funzione 3x + 2 f(x) = ───────, x 3 + 6x 2 quali fra le seguenti proprietà sono false? Spiega il perché Il grafico corrispondente interseca l’asse delle ascisse in un punto positivo Esistono due asintoti verticali Esiste l’asintoto orizzontale Il grafico corrispondente interseca l’asse delle ordinate in un punto negativo

27 Quali dei seguenti grafici non sono la rappresentazione della funzione 3x y = ─────── ? Spiega il perché. x 2 – 1

28 contare oggetti, contare azioni, contare ritmi e suoni, il gioco dell’oca, il gioco del memory con i numeri, la tombola, stime di conteggio, la costruzione di un calendario, il gioco dei “pittori macchiaioli”, ecc… a

29 Succession of the activitiesRules The teacher asks the child to count the marbles in the following situation. “3 marbles are under the cardboard. How many are all the marbles?” The first time, each activity is carried out under the guide of the teacher; then children, in pairs, carried out it in form of game. The duration of the presentation of each activity is of 30 minutes. The teacher shows five marbles; the child counts them. Then the teacher hides some of them. “How many marbles are under the cardboard?” Each activity is resumed three times by children in the following days. The duration of each resumption is of fifteen minutes Two hidden quantities First Modality “Three candies are under the first cardboard, two are under the second one. How many candies are under the two cardboards?” Second Modality “All candies are five; two of them are under the first cardboard. How many candies are under the two cardboards?” At the beginning, quantities within the 5 are used. Teacher shows that also the quantity 0 can be used. Children record when they win and when they lose. The objects used in the different games are often changed: marbles, candies, lego etc. In the following, the games are resumed by gradually growing the quantities. R


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