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Equation différentielle de 2 ème ordre Elaboré par M. NUTH Sothan.

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1 Equation différentielle de 2 ème ordre Elaboré par M. NUTH Sothan

2 I. Notion général Déf.: F(x, y, y’,y ’’) = 0 (1) où x est une variable, y est une fonction de variable x, y’ sa dérivée 1 ère et y’’ sa dérivée second. s’appelle équation différentielle de 2 ème ordre. On peut résoudre par rapport y’’ : y’’=f(x, y, y’) (1’) 2 ED1

3 I. Notion général… Th.de Cauchy: Si f(x, y, y’), f’ y (x, y, y’), f’ y’ (x, y, y’) sont définies et continues dans G, alors il existe uniquement la solution de l’équation y’’=f(x, y, y’) à l’intérieur d’un point (x 0, y 0, y 0 ’ )  G, vérifiant la CI y=y 0, y’=y’ 0 pour x=x 0. (2) 3 ED1

4 II. Solution… Déf.1: La solution générale de (1) est une fonction y=  (x, c 1, c 2 ), x  G et c 1, c 2 sont des constants, qui vérifie (1) et pour toute CI y=y 0, y’=y’ 0 pour x=x 0, (x 0, y 0 )  G, il existe uniquement c 1 = c 1 0, c 2 =c 2 0 tel que la fonction y=  (x, c 1, c 2 ) implique  (x 0, c 1 0, c 2 0 )=y 0. 4 ED1

5 II. Solution… Déf.2: La solution partielle de (1) est une fonction y=  (x 0, c 1 0, c 2 0 ) obtenue de y=  (x, c 1, c 2 ) de (1) pour c 1 = c 1 0, c 2 =c 2 0 vérifiant la CI y=y 0, y’=y’ 0 pour x=x 0. Ex.: y’’= 2 On a: y’=2x + c 1 Et: y=x 2 + c 1 x + c 2. est une SG, où c 1 et c 2 sont des constants. 5 ED1

6 III. Cas d’abaissement Considérons : y’’=f (x, y, y’) On peut ramener à une ED du 1 er ordre. 1. ED de la forme y’’=f(x) ou y’’=f(x,y’) En posant z(x)=y’, on obtient l’ED du 1 er ordre. Ex.1: y’’=x. Ex.2: 6 ED1

7 III. Cas d’abaissement… 2. ED de la forme y’’=f(y, y’) En posant z(x)=y’ et on obtient l’ED du 1 er ordre. Ex.3: 7 ED1

8 IV. EDL de 2 ème ordre Considérons : y’’+ P(x)y’ + q(x)y = f(x) (1) Si f(x)=0, on a : y’’+ P(x)y’ + q(x)y = 0 (2) qui s’appelle homogène, sinon s’appelle non-homogène. Th.1: Si y 1 (x) et y 2 (x) sont les solution de (2), alors y= c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) est aussi la solution de (2) pour touts c 1 et c 2. 8 ED1

9 IV. EDL de 2 ème ordre… Th.2: Si y 1 (x) et y 2 (x) sont LD sur (a, b), alors : Th.3: Si y 1 (x) et y 2 (x) sont LI sur (a, b), alors W(x)  0. Th.4: Si les solution y 1 (x) et y 2 (x) sont LI sur (a, b), alors y= c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) est la solution générale de (2) pour touts c 1 et c 2. 9 ED1

10 IV. EDL de 2 ème ordre… Ex.: y’’  y =0. On a y 1 (x) = e x et y 2 (x) = e -x et Problème: Si l’une des solutions est connue, est-ce qu’on peut trouver la SG de (2). Soit y 1 (x) est une solution de (2). En posant y= y 1 (x)z la SG de (2). Après la résolution, on trouve: 10 ED1

11 IV. EDL de 2 ème ordre… Th.5: SG(1)=SPNH(1) + SGH(2). Problème: Trouvons la SPNH(1) en utilisant la SGH(2). Soit y= c 1 y 1 (x) + c 2 y 2 (x) la SGH(2). Posons y= c 1 (x)y 1 (x) + c 2 (x)y 2 (x) la SPNH(1). En remplaçant dans (1), on trouve c 1 (x) et c 2 (x) de 11 ED1

12 IV. EDL de 2 ème ordre… Ex.: y’’ – y = x. On a Y(x)=C 1 e x + C 2 e -x SGH Posons SPNH Pour trouver C 1 (x) et C 2 (x) il faut résoudre le système On obtient: 12 ED1

13 IV. EDL de 2 ème ordre… On trouve SPNH Et la SGNH sous forme 13 ED1

14 V. EDLH de 2 ème ordre à coefficient constant Considérons: (1) où p et q sont constants réels. Considérons l’ÉC: (2) Th1.: Si k est un racine réel de l’équation (2), alors y=e kx est une solution de (1) Th2.: Si k=   i  est un racine complexe de l’équation (2), alors y 1 =e  x cos  x et y 2 =e  x sin  x sont des solutions de (1). 14 ED1

15 V. EDLH de 2 ème ordre à coefficient constant… Th3.: Si les racines de (2) sont k 1  k 2  R, alors la solution de (1) est Th4.: Si les racines de (2) sont k 1 = k 2 = k  R, alors la solution de (1) est Th5.: Si les racines de (2) sont k=   i , alors la solution de (1) est 15 ED1

16 VI. EDLNH de 2 ème ordre à coefficient constant Considérons: Trouvons la SPNH: 1/ f(x)=P n (x) Où La SPNH sous forme Où Q n (x) est le polynôme de degré n et r est le nombre de racines de l’EC qui sont égal à 0. Ex.: 16 ED1

17 VI. EDLNH de 2 ème ordre à coefficient constant… 2/ f(x)=e  x P n (x) Où P n (x) est le polynôme de degré n La SPNH sous forme Où Q n (x) est le polynôme de degré n et r est le nombre de racines de l’EC qui sont égal à . Ex.: 17 ED1

18 VI. EDLNH de 2 ème ordre à coefficient constant… 3/ f(x)= a cos  x +b sin  x La SPNH sous forme Où r est le nombre de racines de l’EC qui sont égal à i . Ex.: 18 ED1

19 VI. EDLNH de 2 ème ordre à coefficient constant… En général, si Alors Où P T (x) et Q T (x) sont les polynômes de degré T =Max(m,n) et r est le nombre de racines de l’EC qui sont égal à   i . R.: On peut trouver la SPNH par le méthode de variation de constant. 19 ED1

20 VI. EDLNH de 2 ème ordre à coefficient constant… Th.: Si est la SPNH de et si est la SPNH de Alors est la SPNH de Ex.1: Ex.2: Ex.3: Ex.4: 20 ED1

21 VII. Equation d’Euler Considérons Où a, b, A 1,..., A n sont des constants. Posons 21 ED1

22 VII. Equation d’Euler On obtient EDL à coefficient constant. Ex.: Posons On obtient 22 ED1

23 VIII. Système de l’ED ordinaire Il faut trouver les solutions qui sont vérifiées le système de l’ED. Considérons 23 ED1

24 VIII. Système de l’ED ordinaire… Où y 1, y 2,…, y n sont des fonction et x est une variable. Après l’intégrale (1), on définie y 1, y 2,…, y n qui vérifient les CI : Faire la dérivée la 1 ère équation de (1) par x, on obtient: 24 ED1

25 VIII. Système de l’ED ordinaire… En remplaçant, on obtient: Faisant de même façon, on obtient: 25 ED1

26 VIII. Système de l’ED ordinaire… On trouve le système: 26 ED1

27 VIII. Système de l’ED ordinaire… De n – 1 première on peut définir y 2, y 3,…, y n en fonction de x, y 1, et : 27 ED1

28 VIII. Système de l’ED ordinaire… En remplaçant dans la dernière équation de (3), on obtient une équation de n ème ordre: Après résoudre (5), on trouve: Faisant les dérivées, on obtient: 28 ED1

29 VIII. Système de l’ED ordinaire… En remplaçant dans (4), on obtient: 29 ED1

30 VIII. Système de l’ED ordinaire… Ex.: Dériver la 1 ère équation par x: En remplaçant y’ et z’, on obtient: 30 ED1

31 VIII. Système de l’ED ordinaire… Or, de la 1 ère équation On obtient: EDL de 2ème ordre à coefficient constant. 31 ED1

32 VIII. Système de l’ED ordinaire… Ex.: De (a), on a 32 ED1

33 VIII. Système de l’ED ordinaire… Ex.1: Ex.2: Ex.3: Ex.4: 33 ED1

34 VIII. Système de l’ED ordinaire… On peut résoudre le système de ED d’ordre supérieur. Considérons: Posons: 34 ED1

35 VIII. Système de l’ED ordinaire… Alors: Ex.: Dériver la 1 ère deux fois par x :, or On a: est une EDL de 4 ème ordre. 35 ED1

36 IX. Système de l’ED à coefficient constant Considérons: Où a ij est constant, x(t) est une fonction de variable t. 36 ED1

37 IX. Système de l’ED à coefficient constant… On va trouver la solution particulière sous forme: Il faut trouver et k pour que vérifient (1). En replaçant (2) dans (1), on obtient: 37 ED1

38 IX. Système de l’ED à coefficient constant… On obtient: Le déterminant de (3) est: 38 ED1

39 IX. Système de l’ED à coefficient constant… Si  0, (3) a une solution triviale: donc Alors, il faut trouver k pour que  =0. On obtient l’équation caractéristique de (1) qui a les racines de types suivantes: 39 ED1

40 IX. Système de l’ED à coefficient constant… 1.Racines réelles différentes: k 1, k 2,…, k n. Pour k=k i, on trouve et De même manière pour k=k n et on obtient: Où c 1, c 2,…,c n sont des constants. 40 ED1

41 IX. Système de l’ED à coefficient constant… Ex.: L’équation caractéristique: Ou Et les racines réels: k 1 = 1, k 2 = 4. Les solutions: 41 ED1

42 IX. Système de l’ED à coefficient constant… Pour k 1 = 1, on définie du système ou En fin La solution: 42 ED1

43 IX. Système de l’ED à coefficient constant… Pour k 1 = 4, on définie du système ou et En fin 43 ED1


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