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1 - Programme de Seconde (juin 2009) Statistique et probabilités Statistique et probabilités.

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1 1 - Programme de Seconde (juin 2009) Statistique et probabilités Statistique et probabilités

2 1 - Programme de Seconde (juin 2009) Statistique et probabilités Statistique et probabilités

3 Quand on doit décrire une population comportant un grand nombre d'individus, on ne peut pas ou on ne veut pas, en général pour des raisons économiques, en faire une étude exhaustive. Les observations ne portent alors que sur un nombre restreint d'individus à sélectionner selon un protocole expérimental. Les individus sélectionnés et leur ordre de sélection constituent un échantillon, leur nombre est la taille de l'échantillon. Quand on doit décrire une population comportant un grand nombre d'individus, on ne peut pas ou on ne veut pas, en général pour des raisons économiques, en faire une étude exhaustive. Les observations ne portent alors que sur un nombre restreint d'individus à sélectionner selon un protocole expérimental. Les individus sélectionnés et leur ordre de sélection constituent un échantillon, leur nombre est la taille de l'échantillon. 2 - Échantillons Définitions Définitions

4 2 - Échantillons Comment prélever un échantillon ? Lors d’une prise de décision à partir d‘un échantillon, pour que les résultats de la théorie des probabilités s'appliquent, il est important que l'échantillon soit prélevé au hasard. Chaque individu de la population doit avoir la même probabilité d'être sélectionné.  échantillon aléatoire Comment prélever un échantillon ?

5 Deux types d'échantillons : –Échantillons exhaustifs ou constitués sans remise –Échantillons non exhaustifs ou constitués avec remise Le programme de Seconde 2009 ne retient que ce type d'échantillons : 2 - Échantillons Comment prélever un échantillon ? "Un échantillon est constitué des résultats de n répétitions indépendantes de la même expérience".

6 L'échantillonnage est l'étude des distributions de fréquences de variables définies sur l’ensemble des échantillons (proportion, moyenne, variance…). 2 - Échantillons Échantillonnage Échantillonnage

7 On considère une population de 4 enfants : Adeline, Benjamin, Clara et David, d'âges respectifs 12, 13, 14 et 15 ans et on s'intéresse aux enfants de plus de 14 ans et demi. Il y en a une proportion p = 1/4 dans la population-mère. On constitue (avec remise) des échantillons de taille 3. On peut ainsi constituer 4 3 =64 échantillons. 3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage Un premier exemple Un premier exemple

8  Tirage d’une boule dans une urne contenant 1 boule blanche et 3 rouges  Tirage d’une boule dans une urne contenant 100 boules blanches et 300 rouges  Lancer d’un dé tétraédrique équilibré et obtention d'une des faces  Roue de loterie dont un quart est peint en rouge et le reste en bleu et obtention du rouge  … 3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage 3.2 – D’autres situations similaires 3.2 – Des situations similaires

9 3 - Distribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage Exemples

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13 Résultat 1 : Les proportions observées sont de plus en plus souvent proches de la proportion du caractère dans la population-mère lorsque la taille de l'échantillon n augmente. 3 - Dis tribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage 3.4 – Quand n augmente Résultat 2 : Lorsque n est grand la distribution de fréquence de la proportion d’échantillonnage s'approche d'une "distribution en cloche".

14 3 - Dis tribution de fréquences de la proportion d’échantillonnage 3.4 – Quand n augmente

15 L’intervalle de fluctuation d’une fréquence ou proportion à 95%, pour des échantillons de taille n, est l’intervalle : – d'amplitude minimale, – centré autour de p, proportion du caractère dans la population, – contenant la proportion observée sur un échantillon aléatoire de taille n, avec une probabilité au moins égale à 0, Intervalles de fluctuation Définition Définition

16 Échantillons de taille 10 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants de plus de 14 ans et demi : 0/10 5,6 % 1/10 18,8 % 2/10 28,2 % 3/10 25,0 % 4/10 14,6 % 5/10 5,8 % 6/10 1,6 % 7/30 0,3 % 8/10 0,0 % 9/10 0,0 % 10/10 0,0 % p = 25 % Distribution des fréquences 4 - Intervalles de fluctuation Détermination Détermination

17 Échantillons de taille 10 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants de plus de 14 ans et demi : 0/10 5,6 % 1/10 18,8 % 2/10 28,2 % 3/10 25,0 % 4/10 14,6 % 5/10 5,8 % 6/10 1,6 % 7/30 0,3 % 8/10 0,0 % 9/10 0,0 % 10/10 0,0 % p = 25 % 86,6 % Distribution des fréquences 4 - Intervalles de fluctuation Détermination

18 Échantillons de taille 10 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants de plus de 14 ans et demi : p = 25 % 0/10 5,6 % 1/10 18,8 % 2/10 28,2 % 3/10 25,0 % 4/10 14,6 % 5/10 5,8 % 6/10 1,6 % 7/30 0,3 % 8/10 0,0 % 9/10 0,0 % 10/10 0,0 % 98 % Distribution des fréquences L'intervalle de fluctuation est [0 ; 0,5]. 4 - Intervalles de fluctuation Détermination

19 Échantillons de taille 30 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants de plus de 14 ans et demi : 0/300,0%11/305,5%21/300,0% 1/300,2%12/302,9%22/300,0% 2/300,9%13/301,3%23/300,0% 3/302,7%14/300,5%24/300,0% 4/306,0%15/300,2%25/300,0% 5/3010,5%16/300,1%26/300,0% 6/3014,5%17/300,0%27/300,0% 7/3016,6%18/300,0%28/300,0% 8/3015,9%19/300,0%29/300,0% 9/3013,0%20/300,0%30/300,0% 10/309,1% p = 25 % 4 - Intervalles de fluctuation Détermination

20 Échantillons de taille 30 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants de plus de 14 ans et demi : 0/300,0%11/305,5%21/300,0% 1/300,2%12/302,9%22/300,0% 2/300,9%13/301,3%23/300,0% 3/302,7%14/300,5%24/300,0% 4/306,0%15/300,2%25/300,0% 5/3010,5%16/300,1%26/300,0% 6/3014,5%17/300,0%27/300,0% 7/3016,6%18/300,0%28/300,0% 8/3015,9%19/300,0%29/300,0% 9/3013,0%20/300,0%30/300,0% 10/309,1% 96,7 % p = 25 % 4 - Intervalles de fluctuation Détermination

21 L'intervalle de fluctuation est [0,1 ; 0,4]. 4 - Intervalles de fluctuation Détermination

22 11/1000,0%21/1006,3%31/1003,4% 12/1000,1%22/1007,5%32/1002,5% 13/1000,1%23/1008,5%33/1001,7% 14/1000,3%24/1009,1%34/1001,1% 15/1000,6%25/1009,2%35/1000,7% 16/1001,0%26/1008,8%36/1000,4% 17/1001,7%27/308,1%37/1000,2% 18/1002,5%28/307,0%38/1000,1% 19/1003,7%29/1005,8%39/1000,1% 20/1004,9%30/1004,6%40/1000,0% Échantillons de taille 100 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants de plus de 14 ans et demi : 25 % 11/1000,0%21/1006,3%31/1003,4% 12/1000,1%22/1007,5%32/1002,5% 13/1000,1%23/1008,5%33/1001,7% 14/1000,3%24/1009,1%34/1001,1% 15/1000,6%25/1009,2%35/1000,7% 16/1001,0%26/1008,8%36/1000,4% 17/1001,7%27/308,1%37/1000,2% 18/1002,5%28/307,0%38/1000,1% 19/1003,7%29/1005,8%39/1000,1% 20/1004,9%30/1004,6%40/1000,0% 4 - Intervalles de fluctuation Détermination

23 11/1000,0%21/1006,3%31/1003,4% 12/1000,1%22/1007,5%32/1002,5% 13/1000,1%23/1008,5%33/1001,7% 14/1000,3%24/1009,1%34/1001,1% 15/1000,6%25/1009,2%35/1000,7% 16/1001,0%26/1008,8%36/1000,4% 17/1001,7%27/308,1%37/1000,2% 18/1002,5%28/307,0%38/1000,1% 19/1003,7%29/1005,8%39/1000,1% 20/1004,9%30/1004,6%40/1000,0% Échantillons de taille 100 issus d'une population contenant 1/4 d'enfants de plus de 14 ans et demi : 95,1 % 4 - Intervalles de fluctuation Détermination

24 L'intervalle de fluctuation est [0,17 ; 0,33]. 4 - Intervalles de fluctuation Détermination

25 Soit X 1, X 2,..., X n une suite de n variables aléatoires indépendantes de même loi de probabilité admettant pour espérance mathématique  et pour écart-type . On pose : X = (X 1 + X X n ). _ _ 1 n 5 - Des mathématiques 5.1 – Espérance et variance de la moyenne d’échantillonnage _ X a pour espérance  et pour écart-type.

26 Loi faible des grands nombres : Pour tout  > 0, P (|X -  |   ) tend vers 1 quand n tend vers l'infini. _ 5 - Des mathématiques Des théorèmes _ Théorème limite central : Alors pour n grand, la loi de la moyenne X peut être approchée par la loi normale de paramètres  et Des théorèmes

27 (X 1 + X X n ) évalue la proportion de la propriété A dans l’échantillon, notons-la F. Dans une population statistique, on s’intéresse à une propriété A. On tire un échantillon de taille n. Prenons pour variables X i, les variables qui, à chaque échantillon, associent la valeur 1 si le i-ème individu possède la propriété A et 0 sinon. _ 1 n 5 - Des mathématiques Application à la fréquence ou proportion d ’échantillonnage

28 Comme l’espérance mathématique des variables aléatoires X i est égale à p, alors d’après la loi des grands nombres Pour tout  > 0, P (|F - p|   ) tend vers 1 quand n tend vers l'infini. La probabilité que F prenne une valeur éloignée de p de moins d’un  fixé à l’avance tend vers 1 lorsque n tend vers l’infini. 5 - Des mathématiques Application à la fréquence ou proportion d ’échantillonnage

29 Comme l’espérance mathématique et l'écart-type des variables aléatoires X i sont respectivement p et, d’après le théorème limite central : Pour n grand, la loi de F peut être approchée par la loi normale de paramètres p et. 5 - Des mathématiques Application à la fréquence ou proportion d ’échantillonnage

30 5 - Des mathématiques 5.4 -Intervalle de fluctuation d’une fréquence d’échantillonnage Alors la loi de est approchée par la loi normale centrée, réduite. On cherche un réel  tel que P(p    F  p +  ) = 0,95 D'après le théorème limite central, pour n assez grand (n  25), la loi de la F peut être approchée par la loi normale de paramètres p et.

31 L'équation P(p    F  p +  ) = 0,95 devient : La table de la loi normale centrée, réduite donne 95 % 5 - Des mathématiques 5.4 -Intervalle de fluctuation d’une fréquence d’échantillonnage

32 L'intervalle de fluctuation est approché par : Or 1,96 < 2 et pour 0,2  p  0,8, on a donc 0,4   0,5 Ainsi 1,96 est compris entre 0,8 et Des mathématiques 5.4 -Intervalle de fluctuation d’une fréquence d’échantillonnage

33 Finalement l'intervalle de fluctuation au seuil de 95%, relatif aux échantillons de taille n, est approché par l’intervalle : Remarque : Cet intervalle contient l'intervalle : 5 - Des mathématiques 5.4 -Intervalle de fluctuation d’une fréquence d’échantillonnage

34 On constitue, avec remise, des échantillons de taille 40, dans une population. On considère une modalité d’un caractère qualitatif observée pour p =37 % des individus de la population. 6 - Estimation par intervalle de confiance Construction d'un abaque Construction d'un abaque

35 On constitue, avec remise, des échantillons de taille 40, dans une population. On considère une modalité d’un caractère qualitatif observée pour p =37 % des individus de la population. L'intervalle de fluctuation au seuil de 95%, relatif aux échantillons de taille 40, est [0,22 ; 0,52]. 6 - Estimation par intervalle de confiance Construction d'un abaque

36 Représentation de l'intervalle au seuil de 95%, relatif aux échantillons de taille 40 pour p =0,37.

37 6 - Estimation par intervalle de confiance Construction d'un abaque

38 Représentation de l'intervalle au seuil de 95%, relatif aux échantillons de taille 40 pour p =0,37 et p =0,40.

39 6 - Estimation par intervalle de confiance Construction d'un abaque

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50 On souhaite estimer la proportion p (inconnue) d'individus présentant une propriété donnée dans une population statistique à partir d'un échantillon de taille 40 prélevé au hasard et sans remise. Supposons que la propriété est observée dans l'échantillon avec une fréquence de 60 %. On détermine ensuite les valeurs de p qui font en sorte que 0,6 appartienne à l'intervalle de fluctuation au seuil de 95 %, relatif aux échantillons de taille 40 associé à p. 6 - Estimation par intervalle de confiance Utilisation de l'abaque Utilisation de l'abaque

51 6 - Estimation par intervalle de confiance Utilisation de l'abaque

52 Intervalle à 95 % de confiance de p 6 - Estimation par intervalle de confiance Utilisation de l'abaque


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