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La géométrie tropicale présentée par. Le lycée d'Altitude de Briançon Le lycée Saint-Louis de Stockholm Le collège Fontreyne de Gap.

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1 La géométrie tropicale présentée par

2 Le lycée d'Altitude de Briançon Le lycée Saint-Louis de Stockholm Le collège Fontreyne de Gap

3 On définit deux nouvelles opérations : a  b = min{a;b} a  b = a+b Par exemple :

4 Les propriétés des opérations tropicales

5 I/ Les éléments neutres Exemple : a×1=a Pour la multiplication tropicale, a  b = a+b

6 I/ Les éléments neutres Pour l'addition tropicale, a  b = min{a;b}

7 II/ La multiplication tropicale a  b = a+b On peut changer l'ordre des facteurs d'un produit. Pour calculer un produit de plusieurs facteurs, on peut placer des parenthèses où on veut.

8 III/ L'addition tropicale a  b = min{a;b} On peut changer l'ordre des termes d'une somme. a  b =b  a Pour calculer une somme de plusieurs termes, on peut placer des parenthèses où l'on veut. (a  b)  c = a  b  c)

9 IV/ La division tropicale La division tropicale correspond à la soustraction que l'on connaît. On ne peut pas changer l'ordre des nombres dans une division. S'il y a plusieurs divisions successives, on ne peut pas mettre des parenthèses où l'on veut.

10 V/ La soustraction tropicale La soustraction tropicale n'existe pas.

11 VII/ Les fractions tropicales a  b = a+b

12 VIII ) Les carrés et les identités remarquables de la géométrie tropicale Nous prendrons d’abord le carré tropical : x ’²’ x’²’ = x ⊗ x  x’²’ = x + x = 2x Exemple : 4’²’ = 4 ⊗ 4  4’²’ = 4 + 4 = 8 A partir de ces résultats, on peut établir une règle générale: PROPRIETE : soit n un entier naturel x ’ n ’ = x ⊗ x … = x + x … = nx n fois

13 VIII ) L es identités remarquables de la géométrie tropicale Voyons l’identité remarquable (a+b)² (a  b)’²’ = min {a ; b} ⊗ min {a ; b} = min {a ; b} + min {a ; b} = 2 x min {a ; b} A partir de ces résultats, on peut établir une règle générale: PROPRIETE : soit n un entier naturel (a  b)’ n ’ = an  bn

14 VIII ) L es racines n- ièmes On sait que : x '^' 2 = 2 × x

15 VIII ) L es racines n- ièmes Si on prend un entier naturel n : on a 'RACINE n '( x '^' n ) = x. Donc 'RACINE n '(x) = x / n.

16 Représentations graphiques : 1 er et 2 nd degré

17 1 er degré – Représentation graphique Cas général : y = (a  x)  b Droite en deux morceaux Équivalent à y = min { a + x ; b } Morceau constant Morceau croissant Point De Cassage

18 1 er degré - Partie Croissante  Le morceau croissant correspond à la partie de l’équation y = a + x tant que x ≤ b-a  La droite a un coefficient directeur de 1

19 1 er degré - Point de Cassage  Le point de cassage est le point où la fonction devient constante  On peut déterminer les coordonnées de ce point. En effet, son abscisse est solution de l’équation a+x=b. Or a+x=b  x = b-a. On en déduit donc les coordonnées de ce point : (b – a ; b).

20 1 er degré - Partie Constante  La fonction est constante

21 1 er degré – Aspect algébrique On peut déterminer les solutions de l’équation : y = a  x  b qui équivaut à y = min{a+x ; b} Le résultat sera a+x si a+x < b pour x Є ] -∞ ; b-a[ Le résultat sera b si a+x > b pour x Є [ b-a ; +∞[

22 (b - a ; b) = (3 – 2 ; 3) = (1 ; 3) = (1 ; 3) Exemple : (2  x)  3

23 2 nd degré - Les 2 sortes de droites Pour le 2 nd degré, il existe deux sortes de courbes : une en deux morceaux et une en trois morceaux. Nous avons cherché à savoir quand nous avions deux morceaux et quand nous en avions trois. Nous avons donc décomposé une équation du type y = (a  x²)  (b  x)  c en trois parties : a  x² ; b  x et c.

24 2 nd degré – Exemple 1 : y = (3  x²)  (5  x)  10 2 Points de Cassage, Il y a trois morceaux

25 2 nd degré – Exemple 2 : y = (3  x²)  (5  x)  7 1 Point de Cassage, Il y a un deux morceaux

26 2 nd degré – Nombres de morceaux Nous avons trouvé que lorsque les deux premières droites se coupent en un point dont l’ordonnée est supérieure ou égale à b il y aura 2 morceaux, sinon il y aura trois morceaux. 2 morceaux 3 morceaux L’ordonnée est inférieure à b L’ordonnée est supérieure ou égale à b

27 2 nd degré – Représentation graphique Cas général : y = (a  x 2 )  (b  x)  c Droite en 3 parties Équivalent à y = min ( a+2x ; b+x ; c ) Partie Constante Point de Cassage 2 Point de Cassage 1 Partie croissante 1Partie croissante 2

28 2 nd degré – Partie croissante 1  Correspond à la partie de l’équation y = a+2x tant que x>b-a  Son coefficient directeur est 2

29 2 nd degré – Point de Cassage 1  Ses coordonnées sont ( c-a ; b-a)

30 2 nd degré – Partie croissante 2  Correspond à la partie de l’équation b+x tant que b-a { "@context": "http://schema.org", "@type": "ImageObject", "contentUrl": "http://images.slideplayer.fr/2580622/9/slides/slide_29.jpg", "name": "2 nd degré – Partie croissante 2  Correspond à la partie de l’équation b+x tant que b-a

31 2 nd degré – Point de Cassage 2  Ses coordonnées sont (c - b; b)

32 2 nd degré – Droite constante  La fonction est constante

33 Loi générale sur les polynômes Si on a le polynôme tropical : P(x)= (a n  x n )  (a n-1  x n-1 )  …  (a 1  x)  a 0 Il équivaut à : P(x) = min {a n + nx ; a n-1 + (n-1)x ; … ; a 1 + x; a 0 } Graphiquement, on obtient une succession de droites avec des pentes décroissantes de n à 0.

34 Premier problème de géométrie Soit une droite d et un point A extérieur à la droite d. Peut-on tracer une droite parallèle à d passant par A ?

35

36 Deuxième problème Si on prend deux points du plan. Peut-on tracer une droite passant par ces deux points ?

37 Si le point B est dans une zone verte, il n'existe pas de droite (tropicale) passant par A et B Si le point B est sur une des droites bleues, il existe une infinité de droites (tropicales) passant par A et B Si le point B est dans une zone jaune, il existe une droite (tropicale) passant par A et B


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