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Technique des Plans d’Expériences 1. 2 Introduction Stratégie de recherche pour répondre à un certain nombre de questions : Comment sélectionner les expériences.

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1 Technique des Plans d’Expériences 1

2 2 Introduction Stratégie de recherche pour répondre à un certain nombre de questions : Comment sélectionner les expériences à faire ? Quelle est la meilleure stratégie pour : conduire le plus rapidement possible aux résultats espérés ? éviter des expériences inutiles ? apporter une bonne précision ? modéliser et optimiser des phénomènes étudiés ? Un plan d'expériences peut être utilisé comme une méthode d'optimisation, pour trouver une ou des solutions au problème posé, mais aussi comme une étape préliminaire à l’optimisation et a alors pour objectif le choix des variables à optimiser et des fonctions à prendre en compte dans une formulation mathématique classique pour résoudre le problème par une méthode de gradient par exemple. Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

3 Plans d’Expériences Le problème des pesées Le Problème des Pesées Un résultat statistique est totalement dépendant de l’expérimentation.  illustration par l’exemple de la pesée… 3 (Hotelling 1944) Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

4 Plans d’Expériences La question et le matériel expérimental La question Déterminer les masses de trois objets A, B et C en quatre pesées et avec un maximum de précision. Le matériel expérimental Une balance à deux plateaux à équilibrer avec des poids. 4 Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

5 Plans d’Expériences Les hypothèses Chaque pesée est entachée d’une erreur  : Y =  +  L’ordre de grandeur de l’erreur de pesée est constant quelque soit l’objet à peser : Variance  =  ² Les pesées ne sont pas liées entre elles : Covariance (Y i, Y j ) = 0 En l’absence d’objet sur la balance l’aiguille n’est pas forcément sur zéro. Il y a un « biais systématique ». Chaque pesée coûte 100€ 5 Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

6 Plans d’Expériences On pèse un objet à la fois Matrice d’expérience 0 : l’objet n’est pas sur la balance 1 : l’objet est sur le plateau de droite -1 : l’objet est sur le plateau de gauche 6 STRATEGIE 1 Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

7 Plans d’Expériences Estimation des masses des objets 7 STRATEGIE 1 Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

8 Plans d’Expériences Quelle est la précision des mesures ? 8 STRATEGIE 1 Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

9 Plans d’Expériences Comment obtenir une meilleure précision ? 9 Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

10 Plans d’Expériences On pèse deux objets à la foisMatrice d’expérience 10 STRATEGIE 2 Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

11 Plans d’Expériences On pèse trois objets à la foisMatrice d’expérience 11 STRATEGIE 3 Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

12 Plans d’Expériences La première pesée est inverséeMatrice d’expérience 12 STRATEGIE 4 Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

13 Plans d’Expériences Pourquoi la stratégie 4 est elle la meilleure ? Avec la quatrième stratégie la précision est 8 fois meilleure qu’avec la première sans pour autant augmenter le nombre d’essais, On comprend intuitivement qu’il n’est pas possible d’améliorer davantage la précision (tous les objets participent à chaque essai), La limite inférieure de la précision est  ²/n où n désigne le nombre d’essais, On démontre que la précision est en relation directe avec la matrice t XX où X est la matrice d’expérience, Pour la stratégie optimale cette matrice vérifie la relation : t XX = n I où I est la matrice d’identité. 13 Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

14 Plans d’Expériences Stratégie 4Stratégie 3Stratégie 2Stratégie 1 une matrice « pleine » de 1 est préférable : tous les facteurs varient à la fois, meilleure stratégie  matrice équilibrée (Nb objets à G = Nb objets à D) ; tous les niveaux sont présents en nombre égal de fois dans les colonnes, entre deux colonnes toutes les permutations de niveaux sont présentes  le plan d’expérience est orthogonal La qualité de l’estimation dépend de la matrice d’expérience 14 Pourquoi la stratégie 4 est elle la meilleure ? Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

15 Plans d’Expériences 15 Pourquoi la stratégie 4 est elle la meilleure ? Stratégie 4Stratégie 3 Stratégie 2Stratégie 1 Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

16 Plans d’Expériences Reformulation du problème des pesées 16 (Reformulation / transposition du problème des pesées) Mauvaise Optimale Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

17 Plans d’Expériences Concept et Définitions Constat : Les problèmes d’optimisation, de caractérisation ou de mise au point de procédés, de méthodes, …, sont souvent associés à la conjonction de plusieurs paramètres ayant une influence sur la réponse. La grandeur d’intérêt Y ou réponse est une fonction de plusieurs variables X i que l’on appelle facteurs. Y = f (X 1, X 2,…, Xn) Étude du phénomène ≡ mesure de la réponse en fonction de différentes valeurs ou niveaux des facteurs. On effectue des essais pour mettre en évidence les effets de chacun des paramètres sur la réponse. Les facteurs peuvent êtres ensuite fixés aux niveaux qui optimisent la réponse. 17 Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

18 Plans d’Expériences Expérimentation « bidouille » Variation un à un des paramètres Expérimentation méthodique Variation des niveaux de tous les facteurs à la fois à chaque expérience diminution du nombre d’essais étude d’un grand nombre de facteurs détection des interactions entre facteurs obtention de la meilleure précision possible obtention d’un modèle du système analyse rigoureuse conduisant + rapidement aux résultats espérés Les plans d’expériences Méthode lourde si paramètres et/ou niveaux nombreux, souvent employée car l’analyse des résultats est simple. 18 Concept et Définitions Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

19 Plans d’Expériences Facteur : variable qui agit sur le système. Réponse : grandeur que l’on mesure pour connaître l’effet des facteurs sur le système. Facteur significatif : facteur qui modifie la réponse lorsqu’on le modifie. Niveau d’un facteur : valeur que prend un facteur au cours des essais. Continu Discret quantitatif qualitatif Un plan complet consiste à étudier toutes les combinaisons possibles des facteurs pris en considération dans l’expérience. Plan X k  k facteurs à X niveaux Si 3 facteurs à 2 niveaux alors le plans 2 3  2 3 = 8 expériences Si 3 facteurs à 2 niveaux et 2 facteurs à 4 niveaux alors le plans complet comporte 2 3  4 2 = 128 expériences Définition Vocabulaire Plan 2 k  plan factoriel dont les k facteurs ne possèdent que 2 niveaux. 19 Concept et Définitions Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

20 Plans d’Expériences Plan factoriel complet 2 k Le domaine expérimental Le domaine de validité de l’expérience correspond aux limites raisonnables de variation des facteurs. Il y a deux écueils à éviter : niveaux trop proches  pas d’effet significatif sur les facteurs niveaux trop éloignés  mise en défaut de l’hypothèse de linéarité 20 Choix aux effets antagonistes Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

21 Plans d’Expériences Plan factoriel complet 2 k Stratégie de mise en place d’un plan : 1 – Rechercher l’ensemble des facteurs influents sur le système. 2 – Trier entre les facteurs contrôlés et non contrôlés (bruits). 3 – Sélectionner les facteurs contrôlés à retenir pour l’expérience (les autres seront figés au cours des essais). 4 – Définir le domaine de variation de chacun des facteurs. 5 – Faire le plan. 6 – Évaluer les dispersions des résultats (répétition d’essais où tous les facteurs sont figés). 7 – Dépouiller et interpréter (effets, interactions, signification des effets…). 21 Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

22 Plans d’Expériences La matrice d’expérience  tableau indiquant : le nombre d’expérience à réaliser, la façon de faire varier les facteurs, l’ordre de réalisation des expériences. ExpX1X1 X2X Ici pour ce plan 2 2, le niveau bas est codé à l’aide du nombre -1 et le niveau haut à l’aide du nombre +1. (notation de Yates) La matrice d’expérience et des réponses ExpX1X1 X2X2 Réponse : Y rep 1 y1y1 2+1y2y2 3 +1y3y3 4 y4y4 22 Concept et Définitions Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

23 Plans d’Expériences Cas d’un seul facteur effet global d'un facteur (sur la réponse) : variation de la réponse quand le facteur passe du niveau -1 au niveau +1. effet moyen d'un facteur (sur la réponse) : demi-variation de la réponse quand le facteur passe du niveau -1 au niveau +1. effet moyen = moitié de l'effet global. Effet global de X 1 : y 2 - y 1 Effet moyen de X 1 : Effet au centre : (moyenne des réponses) ExpX1X1 Rép : Y rep 1y1y1 2+1y2y2 23 Effets global et moyen d’un facteur Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

24 Plans d’Expériences Cas de deux facteurs L'effet moyen de X 1 : demi-variation de la réponse lorsque X 1 passe de -1 à +1. Or, pour chacun des niveaux de X 1, il y a 2 expériences  travail à partir des réponses moyennes. Réponse moyenne quand X 1 est au niveau –1 : Réponse moyenne quand X 1 est au niveau +1 : Effet moyen de X 1 ExpX1X1 X2X2 Rép : Y rep 1 y1y1 2+1y2y2 3 +1y3y3 4 y4y4 24 Effets global et moyen d’un facteur Effet global de X 1 : Effet moyen de X 1 : Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

25 Plans d’Expériences Effet moyen de X 2 Réponse théorique pour X 2 = 0 (au centre de son domaine de variation) : moyenne des réponses observées aux niveaux -1 et +1 Rép. moyenne quand X 2 est au niveau –1 : Rép. moyenne quand X 2 est au niveau +1 : ExpX1X1 X2X2 Rép : Y rep 1 y1y1 2+1y2y2 3 +1y3y3 4 y4y4 25 Cas de deux facteurs Effets global et moyen d’un facteur Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

26 Plans d’Expériences Notion d’interaction entre facteurs Il y a interaction entre deux facteurs si l’effet moyen de l’un varie suivant le niveau de l’autre. Il y a distorsion de la surface de réponse. La distorsion est d’autant plus importante que l’interaction est grande. ou Il existe une interaction entre 2 facteurs A et B si l’effet du facteur A sur la réponse dépend du niveau du facteur B et réciproquement. 26 Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

27 Plans d’Expériences ExpX1X1 X2X2 Réponse : Y rep 1 y 1 = y 2 = y 3 = y 4 = 90 Calcul de l’interaction X 1 X 2 Effet moyen de X 2 au niveau haut de X 1 : Effet moyen de X 2 au niveau bas de X 1 : Effet moyen de l'interaction X 1 X 2 : L’interaction est considérée comme un nouveau facteur et l’effet moyen de l’interaction est la ½ variation de l’effet moyen de X 2 lorsque X 1 passe du niveau bas au niveau haut 27 Notion d’interaction entre facteurs Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

28 Plans d’Expériences 28 On appelle matrice des effets la matrice X servant au calcul des coefficients dans la régression linéaire multiple. Les estimations des coefficients du modèle sont données par la matrice  telle que  = X -1 Y rep = (1/n) t X Y rep où Y rep est la matrice colonne des réponses expérimentales. La meilleure précision sur les coefficients de chacun des facteurs dans la régression linéaire multiple est obtenue si l'on fait varier les niveaux de tous les facteurs à chaque expérience et si toutes les expériences concourent à l'estimation de chaque coefficient. Critère d'optimalité au sens d'Hadamard Pour obtenir en n expériences une variance minimale, la matrice des effets X doit vérifier la relation : t XX = n I n Calcul des effets avec la notation de Yates Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple La matrice X des effets, servant au calcul des coefficients du modèle, s'obtient en ajoutant à gauche de la matrice d'expérience une colonne ne contenant que des 1.

29 Plans d’Expériences 29 Algorithme de Yates Pour k facteurs, la matrice d'expérience comporte k colonnes et 2 k lignes. On alterne les -1 et le +1 - toutes les lignes pour la première colonne, - toutes les deux lignes pour la seconde colonne, - toutes les quatre lignes pour la troisième, etc. Plus généralement : - toutes les colonnes commencent par on alterne les -1 et les +1 toutes les 2 j-1 lignes pour la j ème colonne. Chaque estimation d'un coefficient du modèle est égale à la somme algébrique des réponses expérimentales y i affectés des signes de la colonne de la matrice X correspondant au facteur X i divisé par le nombre d'expériences. On s'intéresse à un plan 2 k et à un modèle polynomial du premier d° : Y = a 0 +a 1 X 1 + a 2 X a k X k Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

30 Plans d’Expériences 30 Exemple numérique Construction d’un plan 2 3 pour un essai d'arrachement mettant en jeu 3 facteurs. Les facteurs :X 1 : la température de pressage, X 2 : la pression lors du pressage, X 3 : le temps de pressage. Niveau bas : -1 Niveau haut : +1 X1X1 80 °C120 °C X2X2 0,5 bars2 bars X3X3 1h2h ExpX1X1 X2X2 X3X3 Y exp 1 18, , , , , , , ,0 Matrice d’expérience et des réponses Matrice des effets J=1 J=2 J=3 2 J-1 =…. (plan 2 k où k=3 soit 2 3 =8 expériences) Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

31 Plans d’Expériences 31 Exemple numérique ExpMoyX1X1 X2X2 X3X3 Y exp , , , , , , , ,0 Diviseur8888 Effetsa 0 =17,2 9 a 1 =- 0,49 a 2 =0,0 1 a 3 =0,2 4 Le modèle s’écrit : Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

32 Plans d’Expériences 32 Plan complet avec interactions Pour calculer l'effet d'une interaction entre deux variables X i et X j on ajoute à la matrice des effets une colonne, que l'on baptise X i X j, et que l'on obtient en faisant le produit "ligne à ligne" des colonnes des variables X i et X j. Le calcul des coefficients du modèle se fait comme énoncé précédemment. Exemple numérique Considérons un plan d’expérience 2² construit afin d’étudier une réaction chimique dont le rendement dépend de deux facteurs Matrice d’expérience et des réponses Niveau bas : -1Niveau haut : +1 Température : T60°C80°C Pression : P1 bar2 bars ExpTPY (%) Domaine expérimental Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

33 Plans d’Expériences 33 Exemple numérique Matrice d’expérience et des réponses pour les facteurs et les interactions. Calcul des coefficients ExpMoyTPTPY (%) Diviseur4444 Effetsa 0 =71,25a 1 =3,75a 2 =8,75a 12 =1,25 ( ×× ) = Le modèle s’écrit : Soit : Y = 71,25 + 3,75 T + 8,75 P + 1,25 P T Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

34 Plans d’Expériences 34 Exemple numérique Tableau des réponses moyennes TP Niveau -1 Niveau +1 Graphe des effets PP +1 T6075 T Visualisation de l’interaction (Ec1  Ec2)  interaction Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

35 Plans d’Expériences Construction d’un plan 2 ² pour une étude sur les conditions idéales pour passer un examen mettant en jeu 2 facteurs. Les facteurs :X 1 : le stress, X 2 : la compréhension. Niveau bas : -1 Niveau haut : +1 X1X1 FaibleElevé X2X2 TotaleNulle 1.Construire la matrice d'expériences correspondant à ce plan complet 2.Calculer tous les effets : facteurs principaux et interactions 3.Tracer le diagramme des effets 4.Construire le modèle mathématique associé N° des essais1234 Note obtenue Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple 35

36 Plans d’Expériences 36 Exemple numérique ExpMoyX1X1 X2X2 X1X2X1X2 Y exp , , , ,5 Diviseur Effets 10,85-3,15-4,45-0,75 Le modèle s’écrit : Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple X1X1 X2X2 Niveau ,3 Niveau +1 7,76,4 X1X1 X1X1 +1 X2X X2X X1 X2

37 Plans d’Expériences Construction d’un plan 2 3 pour un test en fatigue mettant en jeu 3 facteurs. Les facteurs :X 1 : la température, X 2 : le nombre de cycles, X 3 : la charge appliquée. Niveau bas : -1 Niveau haut : +1 X1X1 20 °C120 °C X2X X3X3 10 MPa50 MPa 1.Construire la matrice d'expériences correspondant à ce plan complet 2.Calculer tous les effets : facteurs principaux et interactions 3.Tracer le diagramme des effets 4.Déterminer une loi de comportement du matériau testé N° des essais Déformation (mm) Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple 37

38 Plans d’Expériences 38 Exemple numérique ExpMoyX1X1 X2X2 X3X3 X1X2X1X2 X1X3X1X3 X2X3X2X3 X1X2X3X1X2X3 Y exp Diviseur Effetsa 0 =3,75a 1 =-0,75a 2 =0,75a 3 =1,25a 12 =0,75a 13 =-0,25a 23 =-0,25a 123 =0,75 Le modèle s’écrit : Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

39 Plans d’Expériences 39 Exemple numérique Tableau des réponses moyennes X1X1 X2X2 X3X3 Niveau -1 32,5 Niveau +1 34,55 Graphe des effets Visualisation de l’interaction X 1 X 2 Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple X1X1 X2X2 X3X3 X 1 =-1 X 1 =+1 +1

40 Plans d’Expériences 40 Statistique & interprétation des résultats Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

41 Plans d’Expériences 41 Statistique - Rappels Moyenne Variance  ² : moyenne des carrées des écarts à la moyenne Rappels élémentaires - Pour un échantillon  variance vraie : où est la moyenne exacte de l’échantillon et n l’effectif total ou nombre total de ddl. - Pour une population  variance estimée : où M est la moyenne estimée de la population : N nombre d’échantillons n-1 : effectif total ou nombre effectif de ddl dont on dispose (-1 pour la moyenne) Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

42 Plans d’Expériences 42 Test de comparaison de deux variances Statistique - Rappels On cherche à comparer deux distributions statistiques normales (les deux échantillons sont ils issus d’une même loi normale ?) On observe n 1 individus 1 ier échantillon Variance  1 2 On observe n 2 individus 2 ième échantillon Variance  2 2 On forme le rapport de Fisher-Snedecor : Le rapport de Fisher suit une loi de probabilité et ne dépend que des nombres de ddl de chacun des échantillons 1 et 2 avec 1 = n 1 -1 et 2 =n F est tabulé pour différentes valeurs du risque de première espèce , c’est-à- dire le risque d’accepter une hypothèse fausse alors qu’elle est vraie. Si on désire évaluer le risque à 5%  table à 0,95 On cherche dans la table la valeur de que l’on compare à F calculé. On accepte l’hypothèse d’identité des variances si : Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

43 Plans d’Expériences 43 Statistique - Rappels Agent A : 11 échantillons  A 2 = 3,02 Exemple : Agent B : 22 échantillons  B 2 = 1,22 Deux agents dosent un composant dans des échantillons provenant d’un même produit. Pour chaque échantillon les analyses sont doublées. Les agents travaillent ils de la même façon ? B est-il meilleur que A ? Table de Snedecor pour un risque de 5%. ddl  A 2 ) = 11-1 = 10 = 1 ddl  B 2 ) = 22-1 = 21 = 2 La différence des variances est significative (au seuil de 5%) On en déduit que l’agent A travaille d’une façon moins précise que l’agent B. Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

44 Plans d’Expériences 44 Test de signification des effets Effets : coefficients des facteurs et des interactions dans l'écriture du modèle. Les calculs statistiques permettent : - savoir si les effets sont significatifs, - calculer les intervalles de confiance, - de valider la linéarité du modèle. Ils font intervenir d'une part les résidus e i, et d'autre part un estimateur sans biais de la variance commune des résidus, soit : n est le nombre d'expériences réalisées p est le nombre de coefficients du modèle On peut montrer que tous les effets ont même variance Si pour un plan complet n = p alors on ne peut pas calculer la variance commune des résidus  ². Dans la pratique on néglige les interactions d’ordre élevé pour pouvoir évaluer  ². Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

45 Plans d’Expériences 45 Test de signification des effets On testera donc l'hypothèse :H 0 = > contre l'hypothèse H 1 = > Pour tester un effet on utilise le test de Student : Un effet sera dit significatif s'il est pour un risque donné, significativement différent de 0. Pour cela on calcule : Pour le test on utilise la table de Student à = n - p ddl oùn est le nombre d'expériences réalisées, p est le nombre d'effets y compris la constante. Pour un risque de première espèce  (5% ou 1%), on lit dans la table de Student la valeur t crit ( , ), en utilisant la partie de la table relative à un test bilatéral. D’où la règle :  si t i > t crit ( , ), on rejette H 0 au risque accepté.  si t i < t crit ( , ), on accepte H 0 au risque accepté. H 0 accepté  l’effet en question n’est pas, au risque , significativement différent de 0. La variable associée n’a pas d’influence sur la réponse. Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

46 Plans d’Expériences 46 Test de signification des effets Exemple : On considère une réaction chimique dont le rendement dépend de deux facteurs (température T, pression P), prenant respectivement pour niveau haut et bas 60 et 80°C pour T, et, 1 et 2 bars pour P. ExpMoyTPY (%) Diviseur444 Effetsa 0 = a 1 =3.7 5 a 2 =8.7 5 Y est eiei ei²ei² Le modèle : On cherche à déterminer la non influence d'une variable sur la réponse pour un risque choisit de 5 %. Variance des résidus : Variance commune des estimateurs : 3 coefficients Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple Y est eiei ei²ei² Y est eiei ei²ei²

47 Plans d’Expériences 47 Test de signification des effets Les t i sont calculés avec la relation : La table de Student donne pour un risque de 5% avec = n - p = = 1 : - Pour a 1 = 3.75 (effet de T) on a t 1 = 3 < : on accepte H 0 au risque de 5 % et l'effet de la température T n'est pas significatif. - Pour a 2 = 8.75 (effet de P) on a t 2 = 7 < : on accepte H 0 au risque de 5 % et l'effet de la pression P n'est pas significatif. On peut donc considérer que les coefficients a 1 et a 2 ne sont pas significativement différents de 0 ; leur valeur est probablement due à un « bruit ». La conclusion est que l'on doit rejeter un modèle linéaire pour expliquer le rendement de cette réaction chimique. Il faudrait refaire une étude avec un modèle polynomial du second degré. Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

48 Plans d’Expériences 48 Intervalle de confiance des effets a/ variance expérimentale connue On suppose que compte tenu de nombreuses expériences faites on connaît l'écart type expérimental . L'intervalle de confiance d'un effet est donné, par : risque 5% : [(a i - 1,96  i ) ; (a i + 1,96  i )] risque 1% : [(a i - 2,58  i ) ; (a i + 2,58  i )] où  i ² est la variance commune des estimateurs des coefficients. Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

49 Plans d’Expériences 49 Intervalle de confiance des effets b/ variance expérimentale inconnue (cas le plus courrant) La variance commune des résidus est estimée avec = n-p degrés de libertés et en négligeant au moins un effet. et Si l’on choisit un risque , on détermine à l’aide de la table de Student le nombre t( , ) et l'intervalle de confiance d'un effet est donné, par : risque  % : [(a i – t( , )  i ) ; (a i + t( , )  i )] Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

50 Plans d’Expériences 50 Exemple Considérons le plan d'expérience 2 3 suivant dans lequel on néglige l'interaction d'ordre 3 Le calcul des effets permet d’obtenir le modèle suivant : Y = X X 2 – X X 1 X X 1 X 3 - 0,0125 X 2 X 3 à partir duquel on évalue Y estimé, puis les écarts. X1X1 X2X2 X3X3 X1X2X1X2 X1X3X1X3 X2X3X2X3 Yobservé Y i estiméseiei e² i 5, ,01250, , ,01250, , ,01250, , ,01250, , ,01250, , ,01250, , ,01250, , ,01250, Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

51 Plans d’Expériences 51 Exemple Variance commune des résidus : Variance commune de tous les effets : Calcul du « t » de Student pour chaque effet : La table de Student t(  ; ) = t(0,05;1)=12,71 pour un risque de 5%. VariableeffettRésultat Constante5,0125t 0 = 401> 12,71significatif X1X1 a 1 = 0,125t 1 = 1< 12,71non significatif X2X2 a 2 = 0,1625t 2 = 13> 12,71significatif X3X3 a 3 = - 0,1125t 3 = 9< 12,71non significatif X1X2X1X2 a 12 = 0,2125t 12 = 17> 12,71significatif X1X3X1X3 a 13 = 0,0375t 13 = 3< 12,71non significatif X2X3X2X3 a 23 = - 0,0125t 23 = 1< 12,71non significatif Modèle à retenir : Y = 5, ,1625 X 2 + 0,2125 X 1 X 2 Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

52 Plans d’Expériences 52 Analyse de la variance Lever le doute quant à la significativité des effets Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

53 Plans d’Expériences 53 Analyse de la variance Validité du modèle linéaire ? - Y i les réponses observées lors de la réalisation des expériences, - la réponse estimée à l'aide du modèle linéaire, - Y moy la moyenne des réponses. 1 - La variation due à la liaison linéaire : SCEL se lit : "somme des carrés des écarts dues à la liaison". 2 - La variation résiduelle : SCER se lit : "somme des carrés des écarts des résidus". 3 - La variation totale : SCET = SCEL + SCER STCE se lit : " somme totale des carrés des écarts". Le "carré moyen" est le quotient d'une somme de carrés par son degré de liberté. SCEL a (p-1) ddl (p : nombre de coefficients estimés à partir du modèle). SCER a (n-p) degrés de libertés (n est le nombre d'expériences réalisées). SCET a (n-1) degrés de liberté. Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

54 Plans d’Expériences 54 Analyse de la variance n–1SCETTotal n–pSCERRésidus (intérieur échantillon) p–1SCELLiaison (entre échantillons) FCarré moyenddlSomme des carrésVariation due à Le test F permet de comparer pour un risque fixé à l'avance le F obs que l'on a calculé dans le tableau avec un F (critique) lu dans la table de Fisher-Snedecor avec (p - 1) et (n - p) degrés de liberté. Le test est : H 0 : « les deux carrés moyens sont de même grandeur »  la régression n'est pas significative. H 1 : « le carré moyen dû à la régression est significativement plus grand que le carré moyen dû aux résidus »  la régression est globalement significative. La règle du test est alors pour un risque  choisi : Si Fobs < F(critique), on accepte l'hypothèse H 0. Si Fobs > F(critique), on accepte l'hypothèse H 1 avec la confiance 1- . Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

55 Plans d’Expériences 55 Exemple Reprenons l’exemple précédent avec tous les effets et leurs interactions : MoyX1X1 X2X2 X3X3 X1X2X1X2 X1X3X1X3 X2X3X2X3 Y a0a0 a1a1 a2a2 a3a3 a 12 a 13 a 23 5,01250,01250,1625-0,11250,21250,0375-0,0125 Variation due à Somme des carrés DDLCarré moyenF LiaisonSCEL7 – 1 RésidusSCER8 – 7 TotalSCET8 – ici,p = 7 n = 8 1 = 6 2 = 1 d’oùF crit = 234 pour  = 5% (F obs = 91,667) < (F crit = 234)  on rejette l'hypothèse de linéarité du modèle. Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

56 Plans d’Expériences 56 Exemple Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

57 Plans d’Expériences 57 Exemple Variation due à Somme des carrés DDLCarré moyenF LiaisonSCEL3 – 1 RésidusSCER8 – 3 TotalSCET8 – ici,p = 3 n = 8 1 = 3-1 = 2 2 = 8-3 = 5  = 5% Effectuons une nouvelle analyse de la variance, avec le modèle ne contenant que les coefficients significatifs a 2 et a 12. (F obs = 12,3) > (F crit = 5,79)  on accepte donc l'hypothèse de linéarité du modèle. On évalue F crit avec la table de Fischer Snédecor pour 1 =2 et 2 =5, pour un risque  =5% Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

58 Plans d’Expériences 58 Plans fractionnaires Constatation : Lorsque le nombre de facteurs ou le nombre de niveaux par facteur augmente, les plans complets donnent très vite un nombre d’essais peu compatible avec la réalité industrielle. Question : Doit on réaliser toutes les expériences du plan complet pour estimer le modèle du système ? En effet si l’on veut étudier un modèle à 3 facteurs à 2 niveaux mais sans interaction, il faut identifier 4 coefficients  4 essais et non 8 comme pour le plan complet 2 3. Le plan fractionnaire à 4 essais suppose les interactions nulles. Si l’une d’entre elles est ≠ 0 alors elle perturbera les coefficients du modèle. L’utilisation d’un plan fractionnaire n’est pas sans risque. Il faut pouvoir statuer sur les points suivants : - Conditions nécessaires pour établir un plan fractionnaire, - Quels sont les risques liés à l’utilisation d’un plan fractionnaire. Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

59 Plans d’Expériences 59 Plans fractionnaires Condition sur le nombre de degrés de liberté Le nombre de ddl d’un modèle indique le nombre de valeurs qu’il est nécessaire de calculer pour connaître l’ensemble des coefficient du modèle. D’une manière générale, pour pouvoir calculer X valeurs indépendantes il faut introduire dans les calculs au moins X expériences La règle : Le nombre minimal d’expériences à réaliser est égal au nombre de degrés de liberté du modèle étudié. Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

60 Plans d’Expériences 60 Plans fractionnaires Condition d’orthogonalité Condition indispensable pour pouvoir calculer les effets d’un facteur indépendamment des autres facteurs. Condition nécessaire et suffisante d’orthogonalité de 2 actions Deux actions disjointes sont orthogonales si à chaque niveau de l’une, tous les niveaux de l’autre sont associés le même nombre de fois dans le plan d’expériences. Orthogonalité d’un plan d’expérience Un plan d’expériences est orthogonal vis à vis d’un modèle, si toutes les actions disjointes du modèle sont orthogonales dans le plan d’expériences. Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

61 Plans d’Expériences 61 Plans fractionnaires Loi de composition des colonnes des matrices d’expériences Exemple dans IR 4, sietalors On définit une multiplication dans E de la manière suivante. Le produit de deux vecteurs de E est un vecteur de E dont les composantes dans la base canonique sont les produits des composantes de même rang. Plans factoriels fractionnaires à 2 niveaux = 2 k-p 2 k-p nombre total de facteur à étudier nombre de fois où le plan complet est coupé en deux Choisir le nb de facteurs à étudier et le nb d’expériences à réaliser. Choisir le plan complet correspondant au nb d’expériences à réaliser. Affecter aux colonnes des interactions d’ordre le + élevé du plan complet le(s) facteur(s) supplémentaires à étudier. Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

62 Plans d’Expériences 62 Plans fractionnaires Plan fractionnaire pour étudier 3 facteur (notion d’aliase ou de contraste). Un plan complet pour étudier trois facteurs (A, B, C) est un plan 2 3 nécessitant 8 expériences, mais nous désirons réaliser seulement 4 expériences. Pour cela nous utiliserons une matrice d'expériences d'un plan 2 2. Le facteur C sera placé dans la colonne de l’interaction AB ExpI mo y ABAB ExpABC Matrice du plan complet 2 2 Matrice du plan fractionnaire La matrice servira à calculer les effets de A, B et C + leurs interactions AB = C C = AB  le facteur C est aliasé avec l’interaction AB. Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

63 Plans d’Expériences 63 Nous avons :C = AB et donc CC = I = ABC Soit :I = CAB d’oùAI = ACAB = C(AA)B = CIB et donc A = CB BI = BCAB = CA(BB) = CAI et donc B = CA On a vu que C est aliasé avec l’interaction AB. On montre également que A est aliasé avec l’interaction CB et B avec CA. Les effets obtenus avec le plan fractionnaire ne sont pas des effets purs. L’égalité I = CAB fournit tous les aliases : c’est un générateur d’aliases Plans fractionnaires Les interactions d’ordre supérieur (3 ième ordre et +) sont négligeables. si deux effets sont faibles, leur interaction est faible. si deux effets sont forts, leur interaction peut également l’être. si un alias est nul- soit les effets aliasés sont tous nuls (++) - soit les effets se compensent Hypothèses d’interprétation retenues en général : Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

64 Plans d’Expériences 64 ExpIABCY exp ABCCBCAAB y1y1 2 y2y y3y3 4+1 y4y4 effetsa0a0 a1a1 a2a2 a3a3 ExpIABCABACBCABCY exp z1z y2y y3y z4z y1y z6z z7z7 8+1 y4y4 effetsa' 0 a' 1 a' 2 a' 3 a' 12 a' 13 a' 23 a' 123 Plan fractionnaire Plan complet 2 3 Les lignes 1, 2, 3, 4 du plan fractionnaire correspondent aux lignes 5, 2, 3, 8 du plan complet. Plans fractionnaires Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

65 Plans d’Expériences 65 ExpIABCABACBCABCY exp z1z y2y y3y z4z y1y z6z z7z7 8+1 y4y4 effetsa' 0 a' 1 a' 2 a' 3 a' 12 a' 13 a' 23 a' 123 On sait que A est aliasé avec CB, calculons l’effet de CB : on remarque alors que a 1 =a’ 1 +a’ 23 a 1 obtenu avec le plan fractionnaire n’est pas un effet pur, d’où : A = CB  a 1 = a' 1 +a' 23 B = CA  a 2 = a' 2 + a' 13 C = AB  a 3 = a' 3 + a' 12 Plans fractionnaires Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

66 Plans d’Expériences 66 Plans fractionnaires Utilisation de la matrice d’un plan 2 3 pour étudier l'influence de 4 facteurs sur la pureté d'un précipité ?? Les variables retenues sont : Les trois premières variables (ABC) seront placées dans la trois premières colonnes de la matrice du plan 2 3. La quatrième variable D, sera mise à la place d’une des interactions. Elle sera dite aliasée avec l'interaction d'ordre la plus élevé du plan 2 3, c'est à dire l'interaction ABC. L’aliase est D=ABC Ainsi I = DABC est le générateur d’aliases VariablesNiveau –1Niveau +1 A : quantité de base utilisénormaleen excès B : vitesse d'addition de la baselenterapide C : température de la filtrationà chaudà froid D : lavage du précipiténormalprolongé MoyABCABCABACBCY D Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

67 Plans d’Expériences 67 Plans fractionnaires I = DABC est un générateur d’aliases  MoyABCABCABACBCY DBCDACDABDDCDBAD Si, comme il est d'usage, on néglige les interactions d'ordre 3, on obtient les effets principaux. Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

68 Plans d’Expériences 68 Plans fractionnaires La matrice des effets et des réponses est la suivante : En négligeant les interactions d'ordre 3, on obtient les effets principaux : MoyABCABCABACBCY DBCDACDABDDCDBAD , , , , , , , , 6 a0a0 aAaA aBaB aCaC aDaD a ab- dc a ac- db a bc- ad 2,410,11-1,41-0,260,31-0,160,09-0,49 A  0,11B  -1,41C  -0,26D  0,31 Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

69 Plans d’Expériences 69 Plans fractionnaires Soit la valeur de l’écart type expérimental telle que : L’écart type de l’estimateur d’un coefficient est : Un coefficient sera significatif au risque  =5% ssi : > t table (n-p+1,  ) ×  i Ici nous obtenons :et donc, MoyABCABCABACBC DBCDACDABDDCDBAD 2,410,11-1,41-0,260,31-0,160,09-0,49 Seuls les effets de la variable B et de l’aliase (BC,AD) sont significatifs. La question qui se pose est : Laquelle de ces 2 interactions est la plus plausible ? Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple

70 Plans d’Expériences 70 Plans fractionnaires Étude de l’interaction BC B = -1B = +1 C = -1P = (3,1 + 4,1) / 2 = 3,6P = (2,2 + 1,3) / 2 = 1,7 C = +1P = (4 + 4,1) / 2 = 4,05P = (0,6 - 0,1) / 2 = 0,35 A = -1A = +1 D = -1P = (3,1 - 0,1) / 2 = 1,5P = (1,3 + 4,1) / 2 = 2,7 D = +1P = (2,2 + 4) / 2 = 3,1P = (4,1 + 0,6) / 2 = 2,35 Étude de l’interaction AD Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple +1 A=+1 A=-1 +1 B=-1 B=+1 1,95 1,8

71 Plans d’Expériences 71 Exercice Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple Étude de la planéité de panneaux de structure fabriqués à l'aide d'un processus de moulage par injection. facteursNiveau bas : -1Niveau haut : +1 A : température de fusion260 °C °C B : température du moule26.67 °C60°C C : temps de cuisson150 s200 s D : vitesse d'injection1 s2.25 s N° des essais Planéité1,371,41,171,271,171,140,760,61 1.Construire la matrice d'expériences correspondant à ce plan fractionnaire 2.Calculer tous les effets : facteurs principaux et interactions 3.Déterminer le paramètres influents avec un risque de 5% et 4.Construire le modèle mathématique associé 5.Vérifier la linéarité du modèle

72 Plans d’Expériences 72 Exercice Introduction. Exemple Concepts Plan 2 k. Concepts. Effets. Interaction. Yates. Exemple Statistique. Rappels. Tests effets. Exemple. Variance. Exemple Plan Frac.. Principe. Exemple IABCABCABACBC Y ABCDBCDACDABDDDCBDAD , , , , , , , ,61 1, , , , , , , ,07625

73 Plans d’Expériences 73 FIN


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