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1 Démonstration : Les médiatrices d’un triangle sont concourantes.

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1 1 Démonstration : Les médiatrices d’un triangle sont concourantes.

2 2 A B C Les trois médiatrices semblent concourantes.

3 3 Avons nous un cas particulier ? Pour trois droites tracées au hasard, combien a-t-on de points d ’intersection ? A priori, il y a trois points d ’intersection entre ces droites.

4 4 Sur chaque triangle, on constate ce résultat. Essayons pour un quadrilatère particulier ABCD: A B C D

5 5 A B C D Le résultat obtenu dépend donc du quadrilatère. Avons- nous toujours un seul point d ’intersection pour le triangle? Par contre pour d’autres quadrilatères, on trouve plusieurs points d’intersections.

6 6 Nous allons démontrer que c’est le cas en utilisant les propriétés des points de la médiatrice d’un segment. AB M Pour tout point M de la médiatrice de [AB], on a MA = MB.

7 7 AB N Si point N vérifie NA = NB, alors le point N est sur la médiatrice de [AB]. x x

8 8 Reprenons le triangle ABC et deux des ses médiatrices : on notera O leur point d’intersection. O appartient à la médiatrice de [AB] : O appartient à la médiatrice de [BC] : A B C O OA = OB. OB = OC. II

9 9 Donc OA = OB = OC. B II A C O

10 10 B A C O II En particulier OA = OC.

11 11 Le point O est donc sur la troisième médiatrice : A B C O II

12 12 A B C Les trois médiatrices sont concourantes.


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