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Les polyèdres: Les milles facettes de la beauté geométrique

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Présentation au sujet: "Les polyèdres: Les milles facettes de la beauté geométrique"— Transcription de la présentation:

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2 Les polyèdres: Les milles facettes de la beauté geométrique
Ce que nous devons savoir sur les polyèdres en tant que profs. La beauté geométrique: Bonus! Petite introduction aux polyèdres Didactique „Les familles de polyèdres“ La formule d‘Euler

3 Petite introduction aux polyèdres
„Figure constituée d‘un nombre fini de polygones unis entre eux de telle sorte que chaque arête appartienne à deux d‘entre eux dans des plans différents. “ (Alsina, 2014) convexe concave pas convexe

4 Didactique Modes de représentations selon Bruner:
Représentation énactive Représentation iconique Représentation symbolique Bricolages Images Formules Textes (Bruner, 1996)

5 Bricolage Dessiner soi-même les patrons Patrons de polyèdres online
Polydron®

6 „Les familles de polyèdres“
Les solides de Platon Les pyramides et bipyramides Les prismes et antiprismes Les deltaèdres Les solides d‘Archimède Les solides de Catalan Les polyèdres étoilés (MadameKi, 2014)

7 = les seuls polyèdres réguliers!
Les solides de Platon = les seuls polyèdres réguliers! Tétraèdre Cube Octaèdre Dodecaèdre Isocaèdre (DMK/DPK, 2014)

8 (Wikipedia, 2014)

9 Les pyramides et bipyramides
Propriétés Volume Surface Construction Les prismes (et antiprismes) Propriétés Volume Surface Construction

10 Les 13 solides d‘Archimède
(Wikipedia, 2014) (Schulverlag, 2004)

11 Les 13 solides d‘Archimède
Voilà les solides d‘archimède. Le plus célèbre est l‘Isocaèdre tronqué: le ballon de foot! Les élèves du CO, doivent connaitre l‘application au ballon de foot. (Mathematik Heute, 2014 et Anais DCN, 2013)

12 (Schulverlag, 2004)

13 Erzeugung Archimedischer Körper
7 Körper entstehen aus platonischen Körpern, indem man die Ecken passend abstumpft. 2 Körper entstehen wenn man von Kuboktaeder und Ikosidodekaeder die Ecken abschneidet. (Aber statt der Quadrate bilden sich Rechtecke. Man muss die Körper noch so verformen, dass die Rechtecke zu Quadraten werden.) 2 Körper erhält man, indem man beim Oktaeder bzw. Pentagondodekaeder die Kanten und Ecken passend abflacht. 2 Körper erhält man, indem man eine Seitenfäche dreht und gleichzeitig verkleinert, so dass die Zwischenräume mit gleichseitigen Dreiecken ausgefüllt werden.  Comment les solides d Archimède sont ils formés? (Mathematische Basteleien, 2014 et Anais DCN, 2013)

14 Ecken - Kanten + Flächen = 2 sommets - arêtes + faces = 2
La formule d‘Euler (Wikipedia, 2014) e k f = 2 Ecken Kanten + Flächen = 2 sommets - arêtes faces = 2 Tout ça se laisse prouver par induction. Der Eulersche Polyedersatz gilt für alle konvexen Polyeder (Vielflache), genau genommen sogar für jedes Polyeder, dessen Kantennetz sich kreuzungsfrei als zusammenhängender Kantengraph in die Ebene abbilden lässt.

15 (Adamence, 2014 et Wikipedia, 2014)
La beauté geométrique (Adamence, 2014 et Wikipedia, 2014)

16 Kristalle „Ein Kristall ist ein chemisch homogener Festkörper, der aus einer periodischen Anordnung gleichartiger Zellen besteht, welche den exakt gleichen Inhalt von Atomen aufweisen.“ (Capitani, 2004)

17 Von aussen Von innen Tracht & Habitus
Einheitszelle Kristallsysteme Punktgruppen/Kristallklassen

18 7 Kristallsysteme (Blume, 2014) Kubisch Hexagonal
Trigonal (rhomboedrisch) Die Flächen aller dreidimensionalen Kristalle sind in einem der 7 Koordinatensyteme beschrieben (Skript) Man fand heraus, dass sich alle Kristalle trotz der Vielfältigkeit der Kristallformen aufgrund der Symmetrien ihrer Elementarzellen in nur sieben Kristallsysteme einordnen lassen. (Blume) Die den Kristall einschließenden Flächen können punkt-, achsen- oder ebensymmetrisch sein. Das sind die sogenannten Symmetrieelemente des Kristalls. Die grundlegenden sind:• die Symmetrieebene, die den Kristall in kongruente (deckungsgleiche) und symmetrische Hälften teilt. Kristalle können keine, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 oder 9 Symmetrieebene aufweisen;• die Symmetrieachse, eine Gerade, um die man den Kristall drehen kann, wobei er nach der Drehung um einen bestimmten Winkel wieder in einer mit der Ausgangsposition übereinstimmende Position kommt. Man unterscheidet 2-, 3-, 4- und 6-zählige Symmetrieachsen, wobei die Zahl für die Anzahl der übereinstimmenden Positionen steht bis der Kristall wieder in der Ausgangsposition ist;• das Symmetriezentrum, ein Punkt, der alle durchlaufenden Strecken, die von Flächen, Kanten oder Ecken begrenzt sind, halbiert. Jede Fläche hat eine kongruente und parallele Gegenfläche.Durch Kombination aller Symmetrieelemente kommen 32 Symmetrieklassen zustande, in die alle Kristalle eingeordnet werden können. In jeder Klasse befinden sich Kristalle mit gleiche geometrischer Symmetrie. Aufgrund einiger gemeinsamer bzw. ähnlicher Merkmale kann man diese 32 Klassen in 7 größere Gruppen zu Kristallsystemen zusammenfassen. Ihr gemeinsames Merkmal ist ein dreidimensionales Achsenkreuz, das die genaue Bestimmung der Kristallfläche gestattet. Zu beachten ist aber, daß verschiedene Minerale mit gleiche chemischer Zusammensetzung nicht zwangsweise in der gleichen Klasse kristallisieren müssen, z.B.:C: Diamant (kubisch) - Graphit (hexagonal); Tetragonal Orthorhombisch Monoklin Triklin

19 7 Kristallsysteme (Blume, 2014) 2 Kristallklassen Rhodonit Triklin

20 7 Kristallsysteme (Blume, 2014) 3 Kristallklassen Vivianit Monoklin
(Wikipedia, 2014)

21 7 Kristallsysteme (Blume, 2014) 5 Kristallklassen
Trigonal (rhomboedrisch) Calcit (Wikipedia, 2014)

22 7 Kristallsysteme (Blume, 2014 3 Kristallklassen Fayalit
(Wikipedia, 2014) Orthorhombisch

23 7 Kristallsysteme (Blume, 2014) 7 Kristallklassen Tetragonal Zirkon
(Wikipedia, 2014)

24 7 Kristallsysteme (Blume, 2014) 7 Kristallklassen Hexagonal Beryll
(Wikipedia, 2014)

25 7 Kristallsysteme (Blume, 2014) 5 Kristallklassen Kubisch
(Wikipedia, 2014) Pyrit

26 Sources: Alsina, 2014: Les polyèdres, les milles facettes de la beauté géométrique. Collection Le monde est mathématique. RBA France. DMK/DPK, 1999: Formeln und Tafeln, Mathematik-Physik. Orell Füssli. MadameKi, 2014: Special Noelhttp://www.madameki.fr/archives/special_noel/index.html Gijs Korthals Altes, 2014: Papermodels of Polyhedras: Bruner, 1996: L'éducation, entrée dans la culture. Les problèmes de l'école à la lumière de la psychologie culturelle. Retz. Wikipedia, 2014: verschiedenste Artikel auf Mathematik Heute, 2014: Polygone und Polyeder Anais DCN, 2013: Les solides d‘archimède. Wordpresshttp://solidearchimede.files.wordpress.com/2013/11/13-solides.jpg Schulverlag, 2004: Mathbu.ch, Lernumgebungen 9+. Klett. Mathematische Basteleien, 2014: Archimedische Körper. Blume, 2014:Die Kristallformen: Kristallsysteme und Kristallklassen. Geologie Info, 2014: Mineralogie; Eigenschaften der Minerale; Kristallsystem Polydron, 2014: Polydron Original. Adamence, 2014: Diament taillé.


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