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Codage de l’information 10/10/2012 Y.ELMARZAK 1 CPGE PCSI DAKHLA.

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1 Codage de l’information 10/10/2012 Y.ELMARZAK 1 CPGE PCSI DAKHLA

2  Information numérique = information binaire = 1 bit  Représentée par 2 niveaux de tension  Codée par « 0 » logique ou « 1 » logique  Différents codages pour représenter une information (binaire naturel, complément à 2, BCD, etc…) 10/10/2012Y.ELMARZAK2

3  Base 10 – Décimal  10 symboles [ ]  Base 2 – Binaire  2 symboles [ 0 1 ]  Base 8 – Octal  8 symboles [ ]  Base 16 – Hexadécimal  16 symboles [ A B C D E F ] 10/10/2012Y.ELMARZAK3

4  Conversion Binaire → Décimal On additionne les poids associés à chaque symbole Exemple : ( ) = = (25) 10 I.2 Représentation de l’information 10/10/2012Y.ELMARZAK4

5  Conversion Décimal → Binaire On effectue des divisions successives par 2 Exemple : (55) 10 = (110111) 2 1 < 2 donc on arrête 10/10/2012Y.ELMARZAK5

6  Conversion Hexadécimal → Décimal On additionne les poids associés à chaque symbole Exemple : ( B 2 2 ) = Bx x16 + 2x1 = 11x = (2850) 10  Conversion Décimal → Hexadécimal On effectue des divisions successives par 16 10/10/2012Y.ELMARZAK6

7 Exemple : (7172) 10 en hexadécimal  7172 / 16 = 448 reste 4  448 / 16 = 28 reste 0  28 / 16 = 1 reste 12 = C  1 < 16 donc on arrête Résultat : (1C04) 16  Conversion Décimal → Hexadécimal On effectue des divisions successives par 16 10/10/2012Y.ELMARZAK7

8  Conversion du binaire à l'octal/hexadécimal ou  Inverse  1 chiffre octal = un groupe de 3 chiffres binaires  1 chiffre hexadécimal = un groupe de 4 chiffres binaires  (000) 2 = 0, (001)2 = (110) 2 = 6, (111) 2 = 7  Avec 3 bits on code les 8 chiffres de la base octale  (0000) 2 = 0, (0001) 2 = (1110) 2 = 14 = (E)16,  (1111) 2 = 15 = (F)16  Avec 4 bits, on code les 16 chiffres de la base hexadécimale Cas particuliers 10/10/2012Y.ELMARZAK8

9  Exemple : ( ) 2 en octal  On regroupe par groupes de 3 bits :   On rajoute des zéros au début au besoin  (010) 2 = 2, (110) 2 = 6, (001)2 = 1, (101) 2 = 5  ( ) 2 = (2615) 8 10/10/2012Y.ELMARZAK9

10 Exemple : ( ) 2 en hexadécimal  On regroupe par groupes de 4 bits :   (0011) 2 = 5, (1000) 2 = 8, (1101) 2 = 13  ( ) 2 = (58D) 16 10/10/2012Y.ELMARZAK10

11  Exemple : (254)8 en binaire  2 = (010) 2, 5 = (101) 2, 4 = (100) 2  On concatène dans l'autre base ces groupes de 3 bits :  (254) 8 = ( ) 2  Exemple : (D46C) 16 en binaire  D = 13 = (1101) 2, 4 = (0100) 2, 6 = (0110) 2,  C = 12 = (1100) 2  On concatène dans l'autre base ces groupes de 4 bits :  (D46C) 16 = ( ) 2 10/10/2012Y.ELMARZAK11

12  Les informations directement traitées par un ordinateurs sont :  des données :  entiers : naturels et relatifs  flottants : nombres réels  caractères  des instructions : leur codage est spécifique à un processeur 10/10/2012Y.ELMARZAK12

13  On a vu le codage des nombres entiers positifs  dans différentes bases  Mais on doit aussi pouvoir manipuler des  Nombres réels  Nombres négatifs Codage des nombres 10/10/2012Y.ELMARZAK13

14 Conversion réel base B en décimal Exemples :  123,45 = 1 x x x x x  (101,101)2 = 1 x x x x 2 -1  + 0 x x 2 -3  = ,5 + 0,125 = 5,625  (AB,4E)16 = 10 x x x x  = x 0, x 0,  = 171, /10/2012Y.ELMARZAK14

15 Conversion d'un nombre décimal réel en base B  Pour la partie entière  Utiliser la méthode de la division entière comme pour les entiers  Pour la partie fractionnaire  Multiplier la partie fractionnaire par B  Noter la partie entière obtenue  Recommencer cette opération avec la partie fractionnaire du  résultat et ainsi de suite  Arrêter quand la partie fractionnaire est nulle  Ou quand la précision souhaitée est atteinte  Car on ne peut pas toujours obtenir une conversion en un nombre fini de chiffres pour la partie fractionnaire  La partie fractionnaire dans la base B est la concaténation des  parties entières obtenues dans l'ordre de leur calcul 10/10/2012Y.ELMARZAK15

16 Exemple : conversion de 12,6875 en binaire  Conversion de 12 : donne (1100)2  Conversion de 0,6875  0,6875 x 2 = 1,375 = 1 + 0,375  0,375 x 2 = 0,75 = 0 + 0,75  0,75 x 2 = 1,5 = 1 + 0,5  0,5 x 2 = 1 =  (12,6875)10 = (1100,1011)2  Exemple : conversion de 171, en hexadécimal  Conversion de 171 : donne (AB)16  Conversion de 0,  0, x 16 = 4,875 = 4 + 0,875  0,875 x 16 = 14,0 =  (171, )10 = (AB,4E)16 10/10/2012Y.ELMARZAK16

17 10/10/2012Y.ELMARZAK17 Représentation des nombres entiers Il existe deux types d’entiers : les entiers non signés ( positifs ) et les entiers signés ( positifs ou négatifs ) Problème : Comment indiquer à la machine qu’un nombre est négatif ou positif ? Il existe 3 méthodes pour représenter les nombres négatifs : Signe/ valeur absolue Complément à 1 Complément à 2

18 10/10/2012Y.ELMARZAK18 Représentation signe / valeur absolue ( S/VA )  Si on travail sur n bits, alors le bit du poids fort est utilisé pour indiquer le signe :  1 : signe négatif  0 : signe positif  Les autres bits ( n -1 ) désignent la valeur absolue du nombre. Exemple : Si on travail sur 4 bits Signe Valeur absolue 1001 est la représentation de Signe Valeur absolue 0001 est la représentation de + 1

19 10/10/2012Y.ELMARZAK19 valeurVAsigne Les valeurs sont comprises entre -3 et ≤ N ≤ +3 - ( 4-1 ) ≤ N ≤ + (4 -1 ) -(2 2 -1) ≤ N ≤ +( ) -(2 (3 -1) -1) ≤ N ≤ +(2 (3 -1) -1 ) Sur 3 bits on obtient : Si on travail sur n bits, l’intervalle des valeurs qu’on peut représenter en S/VA : -(2 (n -1) -1) ≤ N ≤ +(2 (n -1) -1 )

20 10/10/2012Y.ELMARZAK20 Avantages et inconvénients de la représentation signe/valeur absolue C’est une représentation assez simple. On remarque que le zéro possède deux représentations +0 et -0 ce qui conduit à des difficultés au niveau des opérations arithmétiques. Pour les opérations arithmétiques il nous faut deux circuits : l’un pour l’addition et le deuxième pour la soustraction. L’idéal est d’utiliser un seul circuit pour faire les deux opérations, puisque a- b =a + ( -b )

21 10/10/2012Y.ELMARZAK21 Représentation en complément à 1 Pour trouver le complément à un d’un nombre, il suffit d’inverser tous les bits de ce nombre : si le bit est un 0 mettre à sa place un 1 et si c’est un 1 mettre à sa place un 0 Exemple : Sur 4 Bits Sur 5 Bits

22 10/10/2012Y.ELMARZAK22  Dans cette représentation, le bit du poids fort nous indique le signe ( 0 : positif, 1 : négatif ).  Le complément à un du complément à un d’un nombre est égale au nombre lui même.  CA1(CA1(N))= N  Exemple :  Quelle est la valeur décimale représentée par la valeur en complément à 1 sur 6 bits ?  Le bit poids fort indique qu'il s'agit d'un nombre négatif.  Valeur = - CA1(101010)  = - (010101)2= - ( 21)10 Représentation en complément à 1

23 10/10/2012Y.ELMARZAK23 Valeur décimal Valeur en binaire Valeur en CA On remarque que dans cette représentation le zéro possède aussi une double représentation ( +0 et – 0 ). Si on travail sur 3 bits : Dans cette représentation, le bit du poids fort nous indique le signe.

24 10/10/2012Y.ELMARZAK24  Complément à 1 du nombre auquel on rajoute la valeur de 1  Dit « complément à 2 »  Codage nombres signés avec complément à 2  Nb positif : comme pour un entier non signé  Nb négatif : complément arithmétique de son opposé positif  Bit de poids fort code le signe : 0 = positif, 1 = négatif  Exemple : 6 = (0110)2 avec précision de 4 bits  Complément à 1 : 1001  Complément à 2 : = 1010 Représentation en complément à 2 Complément arithmétique

25 10/10/2012Y.ELMARZAK25 Exemple pour codage de -57 pour les 3 méthodes, sur 8 bits:  57 = ( )2  Signe et valeur absolue :  Complément à 1 :  Complément à 2 :  Dans tous les cas  Si bit de poids fort = 0 : entier positif  Si bit de poids fort = 1 : entier négatif Entiers signés en binaire : résumé

26 10/10/2012Y.ELMARZAK26 valeurValeur en binaire Valeur en CA Si on travail sur 3 bits : Dans cette représentation, le bit du poids fort nous indique le signe. On remarque que le zéro n’a pas une double représentation.

27 10/10/2012Y.ELMARZAK27 Les opérations arithmétiques (addition, soustraction, multiplication, division) sont réalisables dans toute base B  Avec mêmes règles que pour la base décimale  Retenues également mais dépendant de la base  Quand on additionne 2 chiffres a et b dans la base B  Si la somme des valeurs décimales de a et b dépasse ou  égale B alors il y a une retenue  Exemple : principes de l'addition binaire = = = 10 soit 0 avec une retenue de 1 Calculs dans une base B

28 10/10/2012Y.ELMARZAK28 Exemple : : 0010 = = = 13  Autre exemple : :  1101 = 13  = 10  10111= 23  Addition de 2 nombres de 4 bits : on a besoin dans cet exemple de 5 bits  Potentiel problème de débordement Addition binaire

29 10/10/2012Y.ELMARZAK29 Débordement : la taille allouée (8, bits) au  codage d'un entier est trop petite pour coder ou  stocker le résultat d'un calcul  Exemple avec addition, sur 8 bits, non signé :  =  Besoin de 9 bits pour coder le nombre  Stockage du résultat impossible sur 8 bits  Exemple avec addition, sur 8 bits, signé :  =  Addition de 2 positifs donne un négatif ! Débordement

30 10/10/2012Y.ELMARZAK30 Exemple : 1101 – = = = 2 Autre technique : Utiliser les compléments à 2 et ne faire que des additions Soustraction binaire 0-0=0 0-1=1 avec 1 retenue 1-0=1 1-1=0 Soustraction binaire : peut faire comme en décimal

31 10/10/2012Y.ELMARZAK31 Codage en complément à 2  Simplifie les additions et soustractions  On peut additionner directement des nombres, quels  que soient leurs signes, le résultat sera directement  correct (si pas de débordement) et « bien codé »  Soustraction d'un nombre = addition de son complément  à 2  A – B = A + comp2 (B)  Valable dans tous les cas, quels que soient les signes de  A et B  Là aussi le résultat est directement valide si pas de débordement Addition/soustraction binaire en signé


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