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1 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 Application du filtrage particulaire au recalage de navigation K. DAHIA Doctorant DGA A. PHAM DINH Directeur.

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1 1 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 Application du filtrage particulaire au recalage de navigation K. DAHIA Doctorant DGA A. PHAM DINH Directeur de thèse LMC-IMAG Grenoble Encadrants : J. P. Guibert (DPRS) et C. Musso (DTIM) Laboratoire d’accueil : ONERA

2 2 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 Plan de la présentation I - le Kalman-Particulaire Kernel Filter (KPKF)  La borne de Cramer Rao II - Modélisation des équations d’erreurs inertielles Application au recalage altimétrique  Résultats  Conclusion

3 3 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 Partie I Le Kalman Particle Kernel Filter

4 4 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 Décomposition la loi de densité conditionnelle en noyau Gaussien (RPF)  est un noyau Gaussien  la taille de la fenêtre du noyau :  La matrice de covariance des particules : Le KPKF

5 5 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 l’étape d ’initialisation : Le KPKF On suppose qu’a l’instant k, on a : de norme de l’ordre

6 6 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 A l’étape de correction : Le KPKF 0 si n’est pas près de Linéarisation de autour de :

7 7 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 Le KPKF Correction de Kalman de norme de l’ordre

8 8 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/ si n’est pas près de Le KPKF A l’étape de prédiction : Linéarisation de autour de : n’est plus de norme de l’ordre « resampling »

9 9 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 Le KPKF Resampling : Partiel : On approche Par la mixture Critère utilisé : MISE ( Mean Integrated Square Error ) Total : S.I.R si les poids sont dispersés: de norme de l’ordre

10 10 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 On a la loi de densité suivante : On l’approche par : Resampling partiel :

11 11 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 Si on tire les suivant : Variance ? Si on choisit la densité : on a : Resampling partiel :

12 12 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 On cherche qui minimise la MISE (la variance et le biais ) : Sous la contrainte : avec Resampling partiel : Solutions :

13 13 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 Le KPKF  l’entropie Seuil de norme de l’ordre de : (correction / prédiction) avec le EKF pas de resampling partiel > de norme de l’ordre de : resampling partiel  l’entropie Seuil : resampling total Mais en pratique en laisse m cycles de calcul, sans faire de resampling

14 14 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 Le KPKF Originalité du KPKF :  Combinaison du EKF (pas d’approximation MC) avec le RPF (multimodalité, non linéarité )  Algorithme récursif sans redistribution systématique (plus précis)

15 15 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 Tel que : Dans le cas ou la dynamique est linéaire : l’intérêt :  Évaluation des performances d’un filtre.  Borne inférieure de la matrice de covariance et limite de précision de n’importe quel estimateur. La Borne de Cramer Rao PCRB perte de l’info due a la dynamique L’info due à la variation de H

16 16 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 Partie II Modélisation des équations d’erreurs inertielles

17 17 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 L’ellipsoïde terrestre Définition des grandeurs Ellipsoïde terrestre La terre est représentée par un ellipsoide. Cet ellipsoide est défini par : L’excentricité Le modèle WGS 84 (World Geodetic System 1984) fournit les données les plus à jour de ces paramètres. a et b sont le demi-grand axe et le demi-petit axe, respectivement de l’ellipsoïde Le rayon de courbure dans le plan méridien : La grande normale : Axe équatorial a b Axe polaire

18 18 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 Le Trièdre Géographique Local (TGL, n) : Le TGL est le repère de navigation; son origine est située en O, projection de M sur l’ellipsoïde et ses trois axes sont dirigés respectivement vers le nord, vers l’est et la verticale descendante. Il se déplace à la surface de l’ellipsoide en même temps que le mobile,. Le trièdre mobile (b) : Ce trièdre est lié a la structure du véhicule. Dans le cas d’une centrale inertielle à composants liés ce trièdre est en général matérialisé par l’orientation des capteurs (accéléromètres et gyromètres) Le trièdre terrestre (e) : Ce repère est centré sur la terre, ses axes ayant une direction fixe par rapport aux étoiles. Le trièdre inertiel (i) : Déduit du précédent par la vitesse de rotation de la terre. Les différents trièdres

19 19 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 Les différents trièdres Trièdre Géographique Local (TGL) Trièdre Terrestre Trièdre inertiel

20 20 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 Les équations de la navigation Les coordonnées géographiques du mobile : latitude longitude l’altitude

21 21 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 R : vecteur de position du mobile par rapport à la terre. V : vitesse de déplacement du mobile par rapport à la terre. A : matrice d’angle d’attitude : l’accélération spécifique. : la vitesse angulaire de rotation du repère de navigation par rapport à la terre. : la vitesse de rotation de la terre. : la gravité. Les équations de la navigation dans le TGL : la vitesse de rotation absolue du corps mesurée par les gyromètres.

22 22 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 La vitesse angulaire de rotation du TGL par rapport à la terre et la vitesse absolue de rotation de la terre s’expriment dans le TGL de la façon suivante : avec Les équations de la navigation dans le TGL

23 23 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 Erreurs de navigation inertielles Les erreurs de navigation inertielle proviennent :  des erreurs de capteurs (accéléromètres et gyromètres)  du modèle de la pesanteur  couplage entre l’erreur de position et de vitesse (phénomène de Schuler)  les erreurs d’alignement

24 24 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 On établit les équations d’erreurs inertielles qui représentent l’évolution des erreurs de navigation d’une centrale inertielle. Ces équations indiquent la manière dont les erreurs de mesure accélérométriques et gyrométriques se transforment en erreurs de position, de vitesse et d’attitude Erreurs de navigation inertielles (l’approche en phi) et les erreurs de mesure : Les erreurs de position et de vitesse sont définies comme suit :

25 25 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 Equation d’erreur d’angle d’attitude: On différencie l’équation suivante : représente l’erreur de mesure des gyromètres telle que Equation d’erreur de position : On obtient alors l’équation d’erreur d’angle d’attitude : avec On a : Erreurs de navigation inertielles (l’approche en phi)

26 26 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 représente l’erreur de mesure des accéléromètres telle que Equation d’erreur de vitesse : On différencie l’équation suivante : ( pulsation de Schuler ) On obtient alors l’équation d’erreur de vitesse : Erreurs de navigation inertielles (l’approche en phi)

27 27 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 Ces équations sont écrites selon l’approche en phi et dépendent des 9 variables et constituent un système d’équations différentielles couplées. Erreurs de navigation inertielles (l’approche en phi) Via un changement de variable, on obtient un autre système d’équations différentielles plus simple.

28 28 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003  erreur gyrométrique :  erreur accélérométrique : : bruit blanc Gaussien : bruit coloré (Markov 1er Ordre) : facteur d’échelle accélérométrique : facteur d’échelle gyrométrique : la période de corrélation du bruit coloré : bruit blanc Gaussien Simulations des erreurs de capteur

29 29 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 On estime un vecteur d’état à 15 variables d’état, les 9 variables cinématiques, ainsi que les 6 biais accélérométrique et gyrométriques. Le vecteur d’état à estimé est : Les équations du filtre

30 30 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 La mise des équation sous forme d’état : Les équations du filtre

31 31 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 Principe de la méthode altimétrique Position réelle Position inertielle Hauteur sol Terrain réel Terrain numérisé Niveau de référence

32 32 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 L’équation d’observation avec : : l’erreur de mesure : mesures inertielles : mesure du radio altimètre

33 33 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 Contexte applicatif : recalage altimétrique  Algorithmes existants Maximum de vraisemblance (maillage) (vitesses assez bien connues et zone initiale d’incertitude assez précise) puis Kalman (EKF), et la Rao-Blackwellized Particle Filter.  Apport du KPKF : conditions d’emploi plus générales Vitesses initiales moins bien connues Zones d’incertitudes + importantes (6 km en x, y par ex) Estimation conjointe des positions et vitesses  Intérêt Survol + long de zones plates Utilisation d’une centrale inertielle moins performante

34 34 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 The Rao-Blackwellized Particle Filter (Per-Johan Nordlund, Niclas Bergman) On écrit notre modèle sous la forme : Bcp de divergences pour des grandes zones d’incertitudes !

35 35 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 Les conditions initiales sont : Nombre de mesures : 400 Période de mesures dt : 0.7 Sec W t est un bruit blanc gaussien Bruit de mesure du radio altimètre : Biais accélérométrique : Biais gyrométrique : Vitesse horizontal : 250 m/s Incertitude initiale en x : Incertitude initiale en y : Incertitude initiale en z : Incertitude initiale en v x : Incertitude initiale en v Y : Incertitude initiale en v z : Incertitude initiale en  : Incertitude initiale en  : Incertitude initiale en  : Nombre de particules : N = 1500 pour le KPKF 50 tirages MC KPKF : 2% de divergences RB : 20 % de divergences

36 36 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 simulation des erreurs inertielles

37 37 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 simulation des erreurs inertielles

38 38 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 simulation des erreurs inertielles

39 39 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 simulation des erreurs inertielles

40 40 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 simulation des erreurs inertielles

41 41 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 simulation des erreurs inertielles

42 42 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 simulation des erreurs inertielles

43 43 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 simulation des erreurs inertielles

44 44 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 simulation des erreurs inertielles

45 45 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 simulation des erreurs inertielles

46 46 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 simulation des erreurs inertielles

47 47 Karim DAHIA présentation Paris 03/12/2003 Conclusions Le KPKF réactualise l’ensemble des paramètres positions et vitesses; il prend en compte le caractère multimodal associé aux ambiguïtés de position de l’avion dans le plan horizontal, ce qui n’est pas vrai pour les filtres de recalage classique du type Kalman. Le nombre de particules requis par l’algorithme n’augmente que peu avec la dimension de l’espace d’état (de dimension 15 dans notre cas). Le KPKF converge plus rapidement que le RPF, la courbe d’écart type du KPKF atteint plus rapidement la PCRB et présente moins de divergences. Incertitude initiale beaucoup plus grande qu’avec la Rao Blackwellised Particle Filter. La mise en œuvre du KPKF est simple et rapide. Cette simplicité algorithmique permet de traiter facilement d’autres problèmes plus complexes. Le KPKF peut être appliqué dans un cadre plus général (non-linéarité de la dynamique/mesure pour toutes les composantes de l’état)


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