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La démonstration en mathématiques En géométrie, des constatations ou des mesures sur un dessin n'est pas suffisant. Elles permettent seulement d'établir.

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2 La démonstration en mathématiques En géométrie, des constatations ou des mesures sur un dessin n'est pas suffisant. Elles permettent seulement d'établir des conjectures : Définition : Une conjecture est un énoncé qui semble vrai alors qu'on ne l'a pas encore prouvé. Pour prouver que des énoncés de géométrie sont vrais, il faut effectuer des démonstrations. Pour cela, il faut suivre plusieurs étapes :

3 Avec un exemple… Soit une droite (u) et deux points A et B de (u). Par A tracer la droite (d) perpendiculaire à (u) et par B la droite (d’) perpendiculaire à (u). Que peut-on dire des droites (d) et (d’) ? (conjecture) AB (u) (d)(d’) Conjecture:(d)//(d’)

4 (u)AB (d) (d’) BUT : HYPOTHESES ou INFORMATIONS: Donc (d) // (d’) Conclusion (d) // (d’)

5 Pour construire une démonstration, l’ouvrier mathématicien a besoin d’outils Ces théorèmes nombreux sont réunis sur des fiches par thème Laquelle de ces fiches contient-elle le précieux théorème ? Fiche :Comment démontrer qu’un triangle est isocèle Fiche :Comment démontrer que deux distances sont égales Fiche :Comment démontrer que deux droites sont perpendiculaires Fiche :Comment démontrer qu’un quadrilatère est un rectangle Fiche :Comment démontrer que deux droites sont parallèles Fiche :Comment démontrer que deux distances sont égales Fiche :Comment démontrer qu’un triangle est rectangle (u) A B (d)(d’) BUT : (d) // (d’) C’est bien cette fiche. Quels théorèmes contient-elle ? Ces outils portent entre autres le nom de théorèmes Hypothèses: A  (u) B  (u) (d)  (u) B  (d’) (d’)  (u) A  (d)

6 (u) A B (d)(d’) Comment démontrer que deux droites sont parallèles  Si deux droites sont symétriques par rapport à un point alors elles sont parallèles.  Si deux droites déterminent avec une sécante des angles alternes-internes de même mesure alors elles sont parallèles  Si deux droites déterminent avec une sécante des angles alternes-externes de même mesure alors elles sont parallèles  Si deux droites déterminent avec une sécante des angles correspondants de même mesure alors elles sont parallèles  Si un quadrilatère est un trapèze alors ses bases sont parallèles  Si un quadrilatère est un parallélogramme alors ses côtés opposés sont parallèles  Si deux droites sont parallèles à une même droite alors elles sont parallèles  Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles Quel théorème semble être le mieux adapté à ce problème ? C’est sûrement le bon théorème. Observons le BUT : (d) // (d’) Hypothèses: A  (u) B  (u) (d)  (u) B  (d’) (d’)  (u) A  (d)

7 Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite alors elles sont parallèles Ce théorème permet de démontrer que deux droites …. Sont parallèles Mais il faut savoir que … l’on a deux droites perpendiculaires à une même droite

8 Rédigeons notre première démonstration : On a les hypothèses: Les deux droites (d) et (d’) sont perpendiculaires à la même droite (u) Or si : deux droites sont perpendiculaires à une même droite Alors elles sont parallèles Doncles droites (d) et (d’) sont parallèles


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