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Rappel... Valeurs propres et vecteurs propres. –Définitions; –Propriétés; –Équations aux différences; –Équation caractéristique; –Matrices similaires;

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1 Rappel... Valeurs propres et vecteurs propres. –Définitions; –Propriétés; –Équations aux différences; –Équation caractéristique; –Matrices similaires; –Applications aux systèmes dynamiques.

2 Aujourd’hui Diagonalisation. Transformations linéaires.

3 11. Diagonalisation et transformations linéaires Dans certains cas, on peut décomposer une matrice selon A = PDP -1, D étant une matrice diagonale. Cette décomposition contient de l’information à propos des valeurs propres et des vecteurs propres.

4 Diagonalisation Pourquoi diagonaliser?  Calcul des puissances d’une matrice.

5 Diagonalisation (suite) On dit qu’une matrice A est diagonalisable si A est similaire à une matrice diagonale, i.e. A = PDP -1, pour une matrice inversible P et une matrice diagonale D.

6 Théorème de la diagonalisation Une matrice A n  n est diagonalisable si et seulement si A possède n vecteurs propres linéairement indépendants.

7 Théorème de la diagonalisation (suite) Si A = PDP -1, où D est une matrice diagonale, alors les éléments de la diagonale de D sont les valeurs propres de A et les colonnes de P sont les vecteurs propres correspondants.

8 Base de vecteurs propres Le théorème précédent implique que A n  n est diagonalisable si on a assez de vecteurs propres pour former une base de R n.

9 Méthode pour diagonaliser une matrice 1) Trouver les valeurs propres de A, n  n. 2) Trouver les vecteurs propres de A. Il en faut n qui soient linéairement indépendants. 4) Construire D à partir des valeurs propres. 3) Construire P à partir des vecteurs propres.

10 Théorème: diagonalisation et valeurs propres distinctes Si une matrice A n  n possède n valeurs propres distinctes, alors A est diagonalisable.

11 Matrice n’ayant pas n valeurs propres distinctes Soit une matrice A n  n ayant comme valeurs propres distinctes 1,..., p. a. Pour 1  k  p, la dimension de l’espace propre de k est inférieure ou égale à la multiplicité de la valeur propre k.

12 Matrice n’ayant pas n valeurs propres distinctes (suite) Soit une matrice A n  n ayant comme valeurs propres distinctes 1,..., p. b. La matrice A est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions des espaces propres distincts est égale à n, et ceci arrive si et seulement si la dimension de l’espace propre de chaque k est égale à la multiplicité de k.

13 Matrice n’ayant pas n valeurs propres distinctes (fin) Soit une matrice A n  n ayant comme valeurs propres distinctes 1,..., p. c. Si A est diagonalisable et B k est une base pour l’espace vectoriel correspondant à k pour chaque k, alors l’union de tous les vecteurs appartenant aux ensembles B 1,...,B p forment une base de vecteurs propres pour R n.

14 Vecteurs propres et transformation linéaire Nous allons maintenant explorer la relation entre la décomposition matricielle A = PDP -1 et les transformations linéaires. x  Ax  u  Du

15 Matrice d’une transformation linéaire V n-dim  W m-dim T: transformation linéaire de V vers W V: base B, vecteurs de coordonnées [x] B  R n. W: base C, vecteurs de coordonnées [T(x)] C  R m.

16 VW xT(x)T(x) [x]B[x]B RnRn [T(x)] C RmRm T

17 Calcul de la matrice À cause de la linéarité, on peut écrire [T(x)] C = M[x] B où M = [[T(b 1 )] C [T(b 2 )] C … [T(b n )] C ]

18 VW xT(x)T(x) [x]B[x]B RnRn [T(x)] C RmRm T  M M Matrice de la transformation T selon les bases B et C

19 VV xT(x)T(x) [x]B[x]B RnRn [T(x)] B RnRn T  [T] B Transformation linéaire de V dans V: matrice B de T.

20 Représentation par une matrice diagonale Supposons que A = PDP -1, où D est une matrice diagonale n  n. Si B est la base de R n formée des colonnes de P, alors D est la matrice B de la transformation linéaire x  Ax.

21 Prochain cours... Systèmes dynamiques: –discrets; –continus.


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