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Jeux sous forme extensive. Objectif u Modéliser des interactions où la structure temporelle et l’information dont disposent les joueurs paraissent importants.

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1 Jeux sous forme extensive

2 Objectif u Modéliser des interactions où la structure temporelle et l’information dont disposent les joueurs paraissent importants. u Structure temporelle: caractère séquentiel des décisions u Information: Ce que le joueur sait lorsqu’il doit décider

3 Illustration entre n’entre pas DT FT guerre paix (0,300) (50,150) (-25,75)

4 Le caractère séquentiel des décisions est-il important ? u Pas autant qu’on pourrait le croire u On peut représenter l’interaction sous- jacente à cet exemple dans un jeu sous forme normale u On doit pour se faire réinterpréter quelque peu la notion de stratégie u Une stratégie devient un plan d’actions contingents à l’atteinte d’un nœud de décision (ex: la stratégie « guerre » de FT n’a de prise sur le réel que si DT décide d’entrer)

5 Menace à l’entrée sous forme normale Entre n’entre pas guerre paix FT DT (-25,75) (50, 150) (0,300)

6 Un autre exemple séquentiel (Kreps) u Deux fabricants de jouets A et B envisagent de lancer un jeu différent avant noël. u Si A lance son jeu, il doit dépenser (coûts fixes) euros en conception, commercialisation, et production. Le coût correspondant pour B est de euros. u Le marché du jouet est incertain. Avec probabilité 2/5, il sera bon (ventes totales de unités). Avec probabilité 3/5, il sera mauvais (ventes de 6000 unités).

7 Un autre exemple séquentiel (Kreps) u Si les 2 firmes lancent le jouet, le prix d’équilibre est de 10 euros. Si une seule des deux firmes lance le jeu, le prix d’équilibre est de 12 euros u Si les 2 firmes sont présentes, elles se partagent le marché moitié moitié! u Coût marginal de 5 euros pour firme A et 3 euros pour firme B (en + des coûts fixes) u La firme B a un avantage: Elle a fait une étude de marché qui lui permet de connaître avant de lancer son jeu l’état du marché (bon ou mauvais).

8 Forme extensive in out good bad 0,4 0,6 nature good 0,4 bad 0,6 A BB B B in out in out in out in out (0,120) (0,0) (0,-6) (0,0) (10,10) (100,0) (-25,-39) (2,0)

9 L’aspect séquentiel: fondamental ? -11; -19,45,2; 435;-23,441,2;0 0;44,40;480;-3,60,0 in out in,in in, out out,in out,out B A

10 L’aspect séquentiel: fondamental ? -11; -19,45,2; 425;-23,441,2;0 0;44,40;480;-3,60,0 in out in,in in, out out,in out,out B A

11 L’aspect séquentiel: fondamental ? -11; -19,45,2; 425;-23,441,2;0 0;44,40;480;-3,60,0 in out in,in in, out out,in out,out B A

12 L’aspect séquentiel: fondamental ? -11; -19,45,2; 425;-23,441,2;0 0;44,40;480;-3,60,0 in out in,in in, out out,in out,out B A

13 L’aspect séquentiel: fondamental ? -11; -19,45,2; 425;-23,441,2;0 0;44,40;480;-3,60,0 in out in,in in, out out,in out,out B A =0,4x10+0,6x(-25)

14 L’aspect séquentiel: fondamental ? -11; -19,45,2; 425;-23,441,2;0 0;44,40;480;-3,60,0 in out in,in in, out out,in out,out B A

15 L’aspect séquentiel: fondamental ? -11; -19,45,2; 425;-23,441,2;0 0;44,40;480;-3,60,0 in out in,in in, out out,in out,out B A

16 L’aspect séquentiel: fondamental ? -11; -19,45,2; 435;-23,441,2;0 0;44,40;480;-3,60,0 in out in,in in, out out,in out,out B A

17 L’aspect séquentiel: fondamental ? -11; -19,45,2; 435;-23,441,2;0 0;44,40;480;-3,60,0 in out in,in in, out out,in out,out B A

18 L’aspect séquentiel: fondamental ? -11; -19,45,2; 435;-23,441,2;0 0;44,40;480;-3,60,0 in out in,in in, out out,in out,out B A

19 L’aspect séquentiel: fondamental ? -11; -19,45,2; 435;-23,441,2;0 0;44,40;480;-3,60,0 in out in,in in, out out,in out,out B A

20 L’aspect séquentiel: fondamental ? -11; -19,45,2; 435;-23,441,2;0 0;44,40;480;-3,60,0 in out in,in in, out out,in out,out B A

21 L’aspect séquentiel: fondamental ? -11; -19,45,2; 435;-23,441,2;0 0;44,40;480;-3,60,0 in out in,in in, out out,in out,out B A

22 Un autre exemple: Information imparfaite u Sylvester aime se battre contre des mauviettes, mais ne sais pas distinguer une mauviette d’un homme viril avant d’engager le combat (en moyenne 2/3 des hommes sont mes mauviettes, 1/3 sont virils) u Sylvester est devant un café et envisage de taper sur la première personne qu’il pense être une mauviette. u Tartarin est dans le café et sait qu’il va passer sur le chemin de Sylvester; Tartarin n’aime pas se battre (qu’il soit ou non une mauviette) u Sylvester peut observer la consommation de Tartarin u Il sait que les mauviettes préfèrent le lait grenadine alors que les hommes virils préfèrent la bière

23 Forme extensive faible (2/3) fort (1/3) bière lait Tartarin bière lait Nature Sylvester combat paix combat paix combat paix combat paix (1,-1) (3,0) (0,-1) (2,0) (-1,1) (2,0) (0,1) (3,0)

24 Forme normale: bière, bière lait, bière C,CC,P P,C P,P S -1/3, 1/3 7/3,0 -2/3,1/30,1/34/3,-1/32,0 1/3,1/37/3,-1/31,2/33,0 0,1/38/3,00,1/38/3,0 bière, lait lait, lait

25 Forme normale: bière, bière lait, bière C,CC,P P,C P,P S -1/3, 1/3 7/3,0 -2/3,1/30,1/34/3,-1/32,0 1/3,1/37/3,-1/31,2/33,0 0,1/38/3,00,1/38/3,0 bière, lait lait, lait

26 Forme normale: bière, bière lait, bière C,CC,P P,C P,P S -1/3, 1/3 7/3,0 -2/3,1/30,1/34/3,-1/32,0 1/3,1/37/3,-1/31,2/33,0 0,1/38/3,00,1/38/3,0 bière, lait lait, lait

27 Forme normale: bière, bière lait, bière C,CC,P P,C P,P S -1/3, 1/3 7/3,0 -2/3,1/30,1/34/3,-1/32,0 1/3,1/37/3,-1/31,2/33,0 0,1/38/3,00,1/38/3,0 bière, lait lait, lait

28 Forme normale: bière, bière lait, bière C,CC,P P,C P,P S -1/3, 1/3 7/3,0 -2/3,1/30,1/34/3,-1/32,0 1/3,1/37/3,-1/31,2/33,0 0,1/38/3,00,1/38/3,0 bière, lait lait, lait

29 Forme normale: bière, bière lait, bière C,CC,P P,C P,P S -1/3, 1/3 7/3,0 -2/3,1/30,1/34/3,-1/32,0 1/3,1/37/3,-1/31,2/33,0 0,1/38/3,00,1/38/3,0 bière, lait lait, lait

30 Forme normale: bière, bière lait, bière C,CC,P P,C P,P S -1/3, 1/3 7/3,0 -2/3,1/30,1/34/3,-1/32,0 1/3,1/37/3,-1/31,2/33,0 0,1/38/3,00,1/38/3,0 bière, lait lait, lait

31 Forme normale: bière, bière lait, bière C,CC,P P,C P,P S -1/3, 1/3 7/3,0 -2/3,1/30,1/34/3,-1/32,0 1/3,1/37/3,-1/31,2/33,0 0,1/38/3,00,1/38/3,0 bière, lait lait, lait

32 Forme normale: bière, bière lait, bière C,CC,P P,C P,P S -1/3, 1/3 7/3,0 -2/3,1/30,1/34/3,-1/32,0 1/3,1/37/3,-1/31,2/33,0 0,1/38/3,00,1/38/3,0 bière, lait lait, lait

33 Forme normale: bière, bière lait, bière C,CC,P P,C P,P S -1/3, 1/3 7/3,0 -2/3,1/30,1/34/3,-1/32,0 1/3,1/37/3,-1/31,2/33,0 0,1/38/3,00,1/38/3,0 bière, lait lait, lait

34 Forme normale: bière, bière lait, bière C,CC,P P,C P,P S -1/3, 1/3 7/3,0 -2/3,1/30,1/34/3,-1/32,0 1/3,1/37/3,-1/31,2/33,0 0,1/38/3,00,1/38/3,0 bière, lait lait, lait

35 Forme normale: bière, bière lait, bière C,C 2/3C,P P,C 1/3 P,P S -1/3, 1/3 7/3,0 -2/3,1/30,1/34/3,-1/32,0 1/3,1/37/3,-1/31,2/33,0 0,1/38/3,00,1/38/3,0 bière, lait lait, lait

36 Forme normale: bière, bière 1/2 lait, bière C,C 2/3C,P P,C 1/3 P,P S -1/3, 1/3 7/3,0 -2/3,1/30,1/34/3,-1/32,0 1/3,1/37/3,-1/31,2/33,0 0,1/38/3,00,1/38/3,0 bière, lait 1/2 lait, lait

37 Forme normale ou forme extensive ? u On peut toujours décrire sous forme normale un jeu initialement décrit sous sa forme extensive. u La réciproque est également valable: u On peut représenter sous forme extensive un jeu initialement décrit sous forme normale. u Il existe en fait plusieurs représentations sous forme extensive différentes d’un jeu sous forme normale. u La forme extensive fournit donc plus de détails sur l’interaction que la forme normale. u Une seule forme normale est associée à une forme extensive mais plusieurs formes extensives différentes peuvent être associées à une même forme normale

38 Plusieurs formes extensives pour une même forme normale ? nordsud nord(2,-2) sud(1,-1) (3,-3) Kenney Kimura

39 forme extensive 1: Kenney Kimura nord sud nord sud nord sud 2,-2 1,-1 3,-3

40 forme extensive 2: Kimura Kenney nord sud nord sud nord sud -2,2 -1,1 -2,2 -3,3

41 Jeux sous forme extensive  G = ( N, T, , i (.), A (.), α (.), I, U(.),  ) u N = {1,…, n } ensemble des joueurs (le n ème joueur étant interprété comme étant « la nature » ( n > 2)) u T = ensemble des nœuds de décision (supposé fini)   est une relation d’arborescence reliant les nœuds entre eux en terme de « postériorité » : t  t’ signifie que le nœud t vient après le nœud t ’

42 Propriétés de la relation d’arborescence  La relation stricte  est supposée transitive, asymétrique et telle que si t ’’  t et t ’’  t ’, alors t  t ’ ou t ’  t

43 Propriétés de la relation d’arborescence  La relation stricte  est supposée transitive, asymétrique et telle que si t ’’  t et t ’’  t ’, alors t  t ’ ou t ’  t u Ceci n’est pas autorisé: t’t’ t t ’’

44 Propriétés de la relation d’arborescence  La relation stricte  est supposée transitive, asymétrique et telle que si t ’’  t et t ’’  t ’, alors t  t ’ ou t ’  t u Ceci non plus: t’t’ t t’ ’

45 Propriétés de la relation d’arborescence  Proposition : Si  satisfait ces propriétés et si t est un nœud dans T tel que { t ’  T : t  t ’} n’est pas vide, alors: #{ t ’  T: t  t ’ et  t ’’ t. q. t  t ’’  t ’} = 1 u « Un nœud qui n’est pas initial n’a qu’un seul prédécesseur immédiat » u Cette proposition nous permet de « remonter le long de l’arbre des branches à la racine »

46 Propriétés de la relation d’arborescence u W  T : L’ensemble des nœuds initiaux (sans prédécesseurs) u Z  T : L’ensemble des nœuds finaux (sans successeurs) u X = T\Z L’ensemble des nœuds qui ne sont pas finaux u s(t) = {t’  T:t’  t et t  t’’  t’’ tel que t’  t’’} (successeurs immédiats de t) u p(t) = {t’  T:t  t’ et t’’  t  t’’ tel que t’’  t’} (prédécesseurs immédiats de t) (singleton)

47 Jeux sous forme extensive  i : X  N, une fonction qui associe à chaque nœud non terminal l’identité du joueur (qui peut être la nature) appelé à jouer à ce nœud.  A : X  C, une correspondance qui associe à chaque nœud non terminal un ensemble d’actions pouvant être adoptées à ce nœud  Pour tout t  X, α: s ( t )  A ( t ) (fonction biunivoque, qui associe à chaque successeur immédiat de t l’unique action qui y mène)

48 Jeux sous forme extensive  I : Une partition de T en ensembles d’information  N’importe quels nœuds t et t’ appartenant au même ensemble d’information satisfont les deux propriétés suivantes:  (a) i(t ) = i ( t’ )  (b) A ( t ) = A ( t ’)  h ( t ): l’ensemble d’information du nœud t

49 Jeux sous forme extensive  U : N \{ n }  Z   fonction de paiement qui associe à chaque joueur (la nature mise à part) et à chaque nœud terminal un paiement numérique u  : une fonction qui associe à chaque nœud initial et à chaque nœud où la nature est amenée à jouer une probabilité.

50 Forme extensive et temporalité u Les ensembles d’information ne sont pas nécessairement ordonnés par la relation de « postériorité »

51 Forme extensive et temporalité u Les ensembles d’information ne sont pas nécessairement ordonnés par la relation de « postériorité » /2 S G G S S’’ G’’ S’’ G’’ G’ S’ G’ S’

52 Forme extensive et mémoire u Le formalisme des formes extensives est a priori compatible avec de l’oubli de la part des joueurs u Voici différents types d’oubli

53 Oubli immédiat d’action passée

54 Oubli non-immédiat d’action passée g d 1 2 G D G D 1

55 g d 1 2 G D G D 1 Le joueur 1 a oublié qu’il a joué g!!

56 Oubli d’information passée b b 1 2 G D G D 1 1 d g

57 b b 1 2 G D G D 1 1 d g 1 a oublié ce qu’il savait avant!!!

58 Hypothèse de mémoire parfaite u On exclut les trois types d’oublis précédents.

59 Equilibre-parfait en sous-jeu u Le concept clé d’équilibre pour les jeux sous forme extensive est le concept d’équilibre parfait en sous-jeu (subgame perfect equilibrium) u Ce concept est du à Reinhart Selten (prix Nobel) u s’applique surtout à des jeux à information complète ( les ensembles d’informations sont tous des singletons). u Notion clé: sous jeu

60 Sous-jeu (définition)  Un sous-jeu d’une forme extensive est un nœud t et tous ses successeurs S ( t ) qui satisfont la propriété que h ( t ) = { t } et, pour tout t’ dans S ( t ), h ( t ’)  S ( t )

61 Sous-jeux (exemple 1)

62 entre n’entre pas DT FT guerre paix (0,300) (50,150) (-25,75)

63 Sous-jeux (exemple 1) FT guerre paix (50,150) (-25,75)

64 Sous-jeux (exemple 1) FT guerre paix (50,150) (-25,75) sous-jeu 1

65 Sous-jeux (exemple 1) entre n’entre pas DT FT guerre paix (0,300) (50,150) (-25,75) sous-jeu 1

66 Sous-jeux (exemple 1) entre n’entre pas DT FT guerre paix (0,300) (50,150) (-25,75) sous-jeu 1 sous-jeu 2

67 Sous-jeux (exemple 2) u Un pirate de l’air rationnel veut détourner un avion à destination de Marseille sur Tripoli en menaçant de le faire exploser u La menace n’est pas crédible au sens où le pirate n’a pas intérêt à mettre sa menace à exécution

68 Sous-jeux (exemple 2) Marseille Tripoli pilote pirate rien explose (0,1) (-1,-1) (1,0) rien explose pirate (-1,-1)

69 Sous-jeux (exemple 2) Marseille Tripoli pilote pirate rien explose (0,1) (-1,-1) (1,0) rien explose pirate (-1,1) sous-jeu 1

70 Sous-jeux (exemple 2) Marseille Tripoli pilote pirate rien explose (0,1) (-1,-1) (1,0) rien explose pirate (-1,-1) sous-jeu 1 sous jeu 2

71 Attention pas de sous jeu ici:

72 Attention: pas de sous-jeu ici: faible (2/3) fort (1/3) bière lait Tartarin bière lait Nature Sylvester combat paix combat paix combat paix combat paix (1,-1) (3,0) (0,-1) (2,0) (-1,1) (2,0) (0,1) (3,0)

73 Equilibre-parfait en sous-jeux u Une combinaison de stratégies behaviorales est un équilibre (de Nash) parfait en sous-jeu si les stratégies sont des équilibres de Nash dans tous les sous-jeux du jeu

74 Equilibre parfait en sous-jeux (exemple 1)

75 entre n’entre pas DT FT guerre paix (0,300) (50,150) (-25,75)

76 Equilibre parfait en sous-jeux (exemple 1) entre n’entre pas DT FT guerre paix (0,300) (50,150) (-25,75) Deux équilibres de Nash de ce jeu:

77 Equilibre parfait en sous-jeux (exemple 1) entre n’entre pas DT FT guerre paix (0,300) (50,150) (-25,75) Deux équilibres de Nash de ce jeu: (1) n’entre pas, guerre

78 Equilibre parfait en sous-jeux (exemple 1) entre n’entre pas DT FT guerre paix (0,300) (50,150) (-25,75) Deux équilibres de Nash de ce jeu: (1) n’entre pas, guerre (2) entre, paix

79 Equilibre parfait en sous-jeux (exemple 1) entre n’entre pas DT FT guerre paix (0,300) (50,150) (-25,75) Deux équilibres de Nash de ce jeu: (1) n’entre pas, guerre (2) entre, paix

80 Equilibre parfait en sous-jeux (exemple 1) entre n’entre pas DT FT guerre paix (0,300) (50,150) (-25,75) Deux équilibres de Nash de ce jeu: (2) entre, paix

81 Equilibre parfait en sous-jeux (exemple 1) entre n’entre pas DT FT guerre paix (0,300) (50,150) (-25,75) Deux équilibres de Nash de ce jeu: (2) entre, paix Seul celui-ci est parfait en sous jeu

82 Equilibre parfait en sous-jeux (exemple 2)

83 Marseille Tripoli pilote pirate rien explose (0,1) (-1,-1) (1,0) rien explose pirate (-1,-1)

84 Equilibre parfait en sous-jeux (exemple 2) Marseille Tripoli pilote pirate rien explose (0,1) (-1,-1) (1,0) rien explose pirate (-1,-1) Nash 1: le pilote va à Tripoli, le pirate fait exploser l’avion à Marseille mais pas à Tripoli

85 Equilibre parfait en sous-jeux (exemple 2) Marseille Tripoli pilote pirate rien explose (0,1) (-1,-1) (1,0) rien explose pirate (-1,-1) Nash 2: le pilote va à Marseille, le pirate ne fait jamais exploser l’avion

86 Remarque sur la perfection en sous- jeu u Ce concept de solution coincide avec l’élimination itérative des stratégies faiblement dominées lorsque le jeu en forme extensive est représenté en forme normale u Nous l’avons vu avec FT et DT u Regardons le avec l’exemple du pirate de l’air

87 Forme normale du jeu du pirate de l’air Marseille Tripoli EEERRE RR pirate -1, -1 1,0 -1,-10,1-1,-10,1 pilote

88 Forme normale du jeu du pirate de l’air Marseille Tripoli EEERRE RR pirate -1, -1 1,0 -1,-10,1-1,-10,1 pilote

89 Forme normale du jeu du pirate de l’air Marseille Tripoli EEERRE RR pirate -1, -1 1,0 -1,-10,1-1,-10,1 pilote

90 Forme normale du jeu du pirate de l’air Marseille Tripoli EEERRE RR pirate -1, -1 1,0 -1,-10,1-1,-10,1 pilote

91 Forme normale du jeu du pirate de l’air Marseille Tripoli EEERRE RR pirate -1, -1 1,0 -1,-10,1-1,-10,1 pilote

92 Forme normale du jeu du pirate de l’air Marseille Tripoli EEERRE RR pirate -1, -1 1,0 -1,-10,1-1,-10,1 pilote

93 Forme normale du jeu du pirate de l’air Marseille Tripoli EEERRE RR pirate -1, -1 1,0 -1,-10,1-1,-10,1 pilote

94 Forme normale du jeu du pirate de l’air Marseille Tripoli EEERRE RR pirate -1, -1 1,0 -1,-10,1-1,-10,1 pilote

95 Autres solutions pour des jeux sous forme extensive u La notion de perfection en sous-jeu s’applique principalement à des situations de jeux à information parfaite (ensembles d’information sont des singletons) u Considérons les jeux suivants

96 Exemple 1 1 D A 2 a (3,3,0) 3 L R L R (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2) d

97 Exemple 1 1 D A 2 a (3,3,0) 3 L R L R (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2) d

98 Exemple 1 1 D A 2 a (3,3,0) 3 L R L R (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2) d Un équilibre de Nash: D, a, L

99 Exemple 1 1 D A 2 a (3,3,0) 3 L R L R (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2) d Un équilibre de Nash: D, a, L

100 Exemple 1 1 D A 2 a (3,3,0) 3 L R L R (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2) d Un équilibre de Nash: D, a, L

101 Exemple 1 1 D A 2 a (3,3,0) 3 L R L R (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2) d Un équilibre de Nash: D, a, L Un autre: A,a,R

102 Exemple 1 1 D A 2 a (3,3,0) 3 L R L R (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2) d Un équilibre de Nash: D, a, L Un autre: A,a,R

103 Exemple 1 1 D A 2 a (3,3,0) 3 L R L R (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2) d Examinons D, a, L

104 Exemple 1 1 D A 2 a (3,3,0) 3 L R L R (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2) d Examinons D, a, L

105 Exemple 1 1 D A 2 a (3,3,0) 3 L R L R (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2) d Cet équilibre n’est pas très plausible car il exige de 2 le choix, à un nœud non-atteint, de a qui ne serait pas rationnel étant donné le choix de L par 3

106 Exemple 1 1 D A 2 a (3,3,0) 3 L R L R (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2) d On voudrait un critère qui élimine cet équilibre. La notion de perfection en sous-jeu ne peut être utilisée ici car ce jeu n’a pas de sous-jeu strict

107 Exemple 2 2 l r l r (0,1) (3,2) (-1,3) (1,5) 1 (2,6) L R A

108 Exemple 2 2 l r l r (0,1) (3,2) (-1,3) (1,5) 1 (2,6) L R A A,l est un équilibre de Nash

109 Exemple 2 2 l r l r (0,1) (3,2) (-1,3) (1,5) 1 (2,6) L R A A,l est un équilibre de Nash

110 Exemple 2 2 l r l r (0,1) (3,2) (-1,3) (1,5) 1 (2,6) L R A étant donné le choix de l par 2, 1 préfère jouer A et étant donné que 1 joue A, les préférences de 2 sur son choix d’action n’ont aucune importance

111 Exemple 2 2 l r l r (0,1) (3,2) (-1,3) (1,5) 1 (2,6) L R A Comme dans l’exemple précédent, on ne trouve pas très plausible cet équilibre: 2, s’il devait jouer, devrait choisir r et ce, où qu’il soit dans son ensemble d’information !!

112 Exemple 2 2 l r l r (0,1) (3,2) (-1,3) (1,5) 1 (2,6) L R A Mais si 2 joue r, 1 devrait jouer L, ce qui nous donne un nouvel équilibre de Nash: L,r

113 Exemple 2 2 l r l r (0,1) (3,2) (-1,3) (1,5) 1 (2,6) L R A Mais si 2 joue r, 1 devrait jouer L, ce qui nous donne un nouvel équilibre de Nash: L,r

114 Intuition derrière ces exemples u Même idée que pour la perfection en sous- jeu: on se méfie des équilibres qui impliquent des comportements irrationels à des ensembles d’information qui ne sont pas atteints u Difficulté technique: ces ensembles d’information ne sont pas des singletons u Il faut donc formaliser de manière soigneuse les croyances (probabilistes) que peut avoir le joueur d’être aux différents nœuds d’un ensemble d’information

115 Equilibre séquentiel (Kreps & Wilson (1982)) u Vise à traiter de tels exemples  Un équilibre séquentiel est constitué, pour chaque joueur i, de deux ingrédients:  1. un profil de stratégies (mixtes)  i qui prescrit, à toute action a de A ( t ) où i(t) = i, la probabilité  it ( a ) qu’a l’action a d’être choisie.  2. un système de croyances probabilistes  i qui associe, à chaque ensemble d’information h  I où i joue, une fonction de probabilité sur les nœuds de h.  i ( h ; t ): probabilité qu’attribue i d’être au nœud t, étant donné qu’il est dans l’ensemble d’information h.

116 Croyances probabilistes ?

117 1 D A 2 a (3,3,0) 3 L R L R (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2) d

118 Croyances probabilistes ? 1 D A 2 a (3,3,0) 3 L R L R (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2) d Elles sont triviales pour les joueurs 1 et 2, mais elles doivent être définies pour le joueur 3

119 Croyances probabilistes ? 1 D A 2 a (3,3,0) 3 L R L R (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2) d S’il est amené à jouer, quelle probabilité devrait attribuer 3 au fait d’être à droite ou à gauche ?

120 Equilibre séquentiel: définition informelle  Un équilibre séquentiel est une combinaison de stratégies mixtes  et de croyances  telle que, à chaque ensemble d’information h du jeu, le joueur qui décide à cet ensemble le fait optimalement étant donné ce qui a été fait jusque là (compte tenu de ses croyances , et étant donné ce qui sera fait jusqu’à la fin du jeu, tel que spécifié par ))

121 Equilibre séquentiel (illustration 1)

122 1 D A 2 a (3,3,0) 3 L R L R (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2) d

123 Equilibre séquentiel (illustration 1) 1 D A 2 a (3,3,0) 3 L R L R (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2) d (D, a, L) n’est pas un équilibre séquentiel

124 Equilibre séquentiel (illustration 1) 1 D A 2 a (3,3,0) 3 L R L R (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2) d En effet, puisque 3 jouera L, 2 ne devrait pas jouer a s’il était amené à jouer, étant données ses croyances (triviales) d’être à l’unique nœud constitutif de son ensemble d’information

125 Equilibre séquentiel (illustration 1) 1 D A 2 a (3,3,0) 3 L R L R (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2) d En revanche, A, a, R est un équilibre séquentiel

126 Equilibre séquentiel (illustration 1) 1 D A 2 a (3,3,0) 3 L R L R (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2) d En revanche, A, a, R est un équilibre séquentiel

127 Equilibre séquentiel (illustration 1) 1 D A 2 a (3,3,0) 3 L R L R (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2) d Si 1 pense que 2 jouera a et que 3 jouera R, il doit choisir A, étant données ses croyances (triviales)

128 Equilibre séquentiel (illustration 1) 1 D A 2 a (3,3,0) 3 L R L R (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2) d Si 2 anticipe que 3 choisira R, il a raison choisir a plutôt que d, étant données ses croyances (triviales) d’être à l’unique nœud de son ensemble d’information

129 Equilibre séquentiel (illustration 1) 1 D A 2 a (3,3,0) 3 L R L R (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2) d Finalement le choix de R par 3 est rationnel pour ce joueur s’il attribue une probabilité  3 au moins aussi grande que 3/5 au fait d’être au nœud de droite de son ensemble d’information

130 Equilibre séquentiel (illustration 1) 1 D A 2 a (3,3,0) 3 L R L R (4,4,4) (1,1,1) (5,5,0) (2,2,2) d En effet, si  3  3/5,  (1-  3 )  (1-  3 )4 Paiement espéré avec R Paiement espéré avec L

131 Equilibre séquentiel (illustration 2)

132 2 l r l r (0,1) (3,2) (-1,3) (1,5) 1 (2,6) L R A

133 Equilibre séquentiel (illustration 2) 2 l r l r (0,1) (3,2) (-1,3) (1,5) 1 (2,6) L R A L’équilibre de Nash ( A,l) n’est pas séquentiel

134 Equilibre séquentiel (illustration 2) 2 l r l r (0,1) (3,2) (-1,3) (1,5) 1 (2,6) L R A A est une meilleure réponse à une anticipation de l mais, quelles que soient les croyances que 2 peut avoir sur le fait d’être à droite ou à gauche de son ensemble d’information, il n’est pas rationnel pour lui de jouer l

135 Equilibre séquentiel (illustration 2) 2 l r l r (0,1) (3,2) (-1,3) (1,5) 1 (2,6) L R A En revanche, (L, r) est un équilibre séquentiel car si 2 joue r, 1 a intérêt à jouer L et si 1 joue L, 2 a intérêt à jouer r lorsqu’il assigne une probabilité de 1 au fait d’être au nœud de gauche de son ensemble d’information.

136 Equilibre séquentiel (illustration 2) 2 l r l r (0,1) (3,2) (-1,3) (1,5) 1 (2,6) L R A Cet exemple suggère que des restrictions doivent être imposées aux croyances . Les seules croyances que 2 peut avoir est qu’il est au nœud de gauche avec probabilité 1

137 Restrictions sur les croyances probabilistes ?

138 2 l r l r (0,1) (3,2) (-1,3) (1,5) 1 (2,6) L R A

139 Restrictions sur les croyances probabilistes ? 2 l r l r (0,1) (3,2) (-1,3) (1,5) 1 (2,6) L R A L’ensemble d’information de 2 est atteint avec probabilité nulle à la combinaison de stratégies A,l

140 Limites de l’équilibre séquentiel u Il restreint très peu les croyances que les joueurs peuvent avoir u Considérons les deux exemples suivants

141 Un équilibre séquentiel pas intuitif 2 l r l r (5,1) (0,0) (1,3) 1 (2,2) L R A (A,r) est un équilibre séquentiel

142 Un équilibre séquentiel pas intuitif 2 l r l r (5,1) (0,0) (1,3) 1 (2,2) L R A (A,r) est un équilibre séquentiel

143 Un équilibre séquentiel pas intuitif 2 l r l r (5,1) (0,0) (1,3) 1 (2,2) L R A 1 a intérêt à jouer A si elle croit que 2 jouera r.

144 Un équilibre séquentiel pas intuitif 2 l r l r (5,1) (0,0) (1,3) 1 (2,2) L R A 1 a intérêt à jouer A si elle croit que 2 jouera r. Or 2, s’il croit être au nœud de droite de son ensemble d’information avec une proba supérieure à ¼, a effectivement intérêt à choisir r

145 Un équilibre séquentiel pas intuitif 2 l r l r (5,1) (0,0) (1,3) 1 (2,2) L R A La croyance probabiliste de 2, si elle n’est pas exclue par la notion de cohérence sous-jacente à l’équilibre séquentiel, n’est quand même pas « raisonnable »

146 Un équilibre séquentiel pas intuitif 2 l r l r (5,1) (0,0) (1,3) 1 (2,2) L R A Si 2 se fait donner l’occasion de jouer, il devrait comprendre que cet état de fait résulte d’une décision du joueur 1 de renoncer à un paiement de 2

147 Un équilibre séquentiel pas intuitif 2 l r l r (5,1) (0,0) (1,3) 1 (2,2) L R A A cause de cela, 2 devrait comprendre que si 1 lui a passé la main, ce ne peut être qu’en choisissant L. 2 devrait donc attribuer une probabilité de 1 au nœud de gauche

148 Un équilibre séquentiel pas intuitif 2 l r l r (5,1) (0,0) (1,3) 1 (2,2) L R A A cause de cela, 2 devrait comprendre que si 1 lui a passé la main, ce ne peut être qu’en choisissant L. 2 devrait donc attribuer une probabilité de 1 au nœud de gauche

149 On peut voir cela très bien avec la forme normale 2,2 5,10,0 1,3 A B C lr

150 On peut voir cela très bien avec la forme normale 2,2 5,10,0 1,3 A B C lr

151 On peut voir cela très bien avec la forme normale 2,2 5,10,0 1,3 A B C lr Nash (séquentiel)

152 On peut voir cela très bien avec la forme normale 2,2 5,10,0 1,3 A B C lr Nash (séquentiel)

153 On peut voir cela très bien avec la forme normale 2,2 5,10,0 1,3 A B C lr

154 On peut voir cela très bien avec la forme normale 2,2 5,10,0 1,3 A B C lr

155 On peut voir cela très bien avec la forme normale 2,2 5,10,0 1,3 A B C lr Strictly dominated

156 On peut voir cela très bien avec la forme normale 2,2 5,10,0 1,3 A B C lr

157 On peut voir cela très bien avec la forme normale 2,2 5,10,0 1,3 A B C lr Weak domination

158 On peut voir cela très bien avec la forme normale 2,2 5,10,0 1,3 A B C lr

159 On peut voir cela très bien avec la forme normale 2,2 5,10,0 1,3 A B C lr

160 On peut voir cela très bien avec la forme normale 2,2 5,10,0 1,3 A B C lr

161 On peut voir cela très bien avec la forme normale 2,2 5,10,0 1,3 A B C lr

162 Un exemple plus délicat: le jeu de la vérité pile 0,2 face 0,8 face pile 1 1 face pile Nature 2 2 face pile face pile face pile face pile (3,1) (1,0) (2,1) (0,0) (2,0) (0,1) (3,0) (1,1)

163 Un exemple plus délicat: le jeu de la vérité pile 0,2 face 0,8 face pile 1 1 face pile Nature 2 2 face pile face pile face pile face pile (3,1) (1,0) (2,1) (0,0) (2,0) (0,1) (3,0) (1,1) un équilibre de Nash

164 Un exemple plus délicat: le jeu de la vérité pile 0,2 face 0,8 face pile 1 1 face pile Nature 2 2 face pile face pile face pile face pile (3,1) (1,0) (2,1) (0,0) (2,0) (0,1) (3,0) (1,1) 1 annonce pile indépendamment du résultat du jet et 2 annonce face si 1 annonce pile et pile si 1 annonce face

165 Un exemple plus délicat: le jeu de la vérité pile 0,2 face 0,8 face pile 1 1 face pile Nature 2 2 face pile face pile face pile face pile (3,1) (1,0) (2,1) (0,0) (2,0) (0,1) (3,0) (1,1) 1 annonce « pile » indépendamment du résultat du jet et 2 annonce « face » si 1 annonce « pile » et « pile » si 1 annonce « face »

166 Un exemple plus délicat: le jeu de la vérité pile 0,2 face 0,8 face pile 1 1 face pile Nature 2 2 face pile face pile face pile face pile (3,1) (1,0) (2,1) (0,0) (2,0) (0,1) (3,0) (1,1) Cette combinaison de stratégies est évidemment un équilibre de Nash (si 1 croit que 2 va dire le contraire de ce qu’elle annonce, elle a intérêt à dire « pile » indépendamment du jet de la pièce)

167 Un exemple plus délicat: le jeu de la vérité pile 0,2 face 0,8 face pile 1 1 face pile Nature 2 2 face pile face pile face pile face pile (3,1) (1,0) (2,1) (0,0) (2,0) (0,1) (3,0) (1,1) Si 1 dit « pile » indépendamment du résultat du jet, 2 a intérêt à dire « face » s’il entend pile car son paiement moyen est plus grand que celui qu’il obtiendrait en disant « pile ». Ce qu’il prévoit de faire s’il entend « face » est sans importance car cette éventualité ne se produit pas

168 Un exemple plus délicat: le jeu de la vérité pile 0,2 face 0,8 face pile 1 1 face pile Nature 2 2 face pile face pile face pile face pile (3,1) (1,0) (2,1) (0,0) (2,0) (0,1) (3,0) (1,1) Evidemment, il faut se demander si le comportement de 2 à l’ensemble d’information non atteint peut être rationalisé par certaines croyances probabilistes.

169 Un exemple plus délicat: le jeu de la vérité pile 0,2 face 0,8 face pile 1 1 face pile Nature 2 2 face pile face pile face pile face pile (3,1) (1,0) (2,1) (0,0) (2,0) (0,1) (3,0) (1,1) C’est le cas! Déclarer « pile » après avoir entendu « face » est rationnel pour 2 si celui-ci croit qu’il y a au moins 1 chance sur 2 que la pièce soit tombée sur « pile »

170 Un exemple plus délicat: le jeu de la vérité pile 0,2 face 0,8 face pile 1 1 face pile Nature 2 2 face pile face pile face pile face pile (3,1) (1,0) (2,1) (0,0) (2,0) (0,1) (3,0) (1,1) Question: une telle croyance probabiliste est-elle rationnelle ?

171 Un exemple plus délicat: le jeu de la vérité pile 0,2 face 0,8 face pile 1 1 face pile Nature 2 2 face pile face pile face pile face pile (3,1) (1,0) (2,1) (0,0) (2,0) (0,1) (3,0) (1,1) Réponse: Non! 1 a tout intérêt à dire « face » s’il voit « face » et « pile » s’il voit « pile » (il reçoit un bonus pour dire la vérité)

172 Un exemple plus délicat: le jeu de la vérité pile 0,2 face 0,8 face pile 1 1 face pile Nature 2 2 face pile face pile face pile face pile (3,1) (1,0) (2,1) (0,0) (2,0) (0,1) (3,0) (1,1) Donc, si 2 entend 1 lui dire « face », il doit conclure qu’il y a au moins 8 chances sur 10 que la pièce soit tombée sur « face », dans lequel cas, il devrait plutôt répondre « face »

173 Un exemple plus délicat: le jeu de la vérité pile 0,2 face 0,8 face pile 1 1 face pile Nature 2 2 face pile face pile face pile face pile (3,1) (1,0) (2,1) (0,0) (2,0) (0,1) (3,0) (1,1) Autre équilibre séquentiel: 1 annonce « face » indépendamment du résultat du jet et 2 dit la vérité

174 On voit, ici aussi, cela avec la forme normale

175 FF PP 14/5,4/5 4/5,1/5 3,4/513/5,17/5,01,0 2,4/52/5,08/5,10,1/5 11/5,4/51/5,1/511/5,4/51/5,1/5 FP PF PP FP PF

176 On voit, ici aussi, cela avec la forme normale FF PP 14/5,4/5 4/5,1/5 3,4/513/5,17/5,01,0 2,4/52/5,08/5,10,1/5 11/5,4/51/5,1/511/5,4/51/5,1/5 FP PF PP FP PF

177 On voit, ici aussi, cela avec la forme normale FF PP 14/5,4/5 4/5,1/5 3,4/513/5,17/5,01,0 2,4/52/5,08/5,10,1/5 11/5,4/51/5,1/511/5,4/51/5,1/5 FP PF PP FP PF dominé par une mixture de FF et PP (proba 3/7 à FF)

178 On voit, ici aussi, cela avec la forme normale FF PP 14/5,4/5 4/5,1/5 3,4/513/5,17/5,01,0 2,4/52/5,08/5,10,1/5 11/5,4/51/5,1/511/5,4/51/5,1/5 FP PF PP FP PF

179 On voit, ici aussi, cela avec la forme normale FF PP 14/5,4/5 4/5,1/5 3,4/513/5,17/5,01,0 2,4/52/5,08/5,10,1/5 11/5,4/51/5,1/511/5,4/51/5,1/5 FP PF PP FP PF

180 On voit, ici aussi, cela avec la forme normale FF PP 14/5,4/5 4/5,1/5 3,4/513/5,17/5,01,0 2,4/52/5,08/5,10,1/5 11/5,4/51/5,1/511/5,4/51/5,1/5 FP PF PP FP PF dominée par FF

181 On voit, ici aussi, cela avec la forme normale FF PP 14/5,4/5 4/5,1/5 3,4/513/5,17/5,01,0 2,4/52/5,08/5,10,1/5 11/5,4/51/5,1/511/5,4/51/5,1/5 FP PF PP FP PF dominée par FF

182 On voit, ici aussi, cela avec la forme normale FF PP 14/5,4/5 4/5,1/5 3,4/513/5,17/5,01,0 2,4/52/5,08/5,10,1/5 11/5,4/51/5,1/511/5,4/51/5,1/5 FP PF PP FP PF

183 On voit, ici aussi, cela avec la forme normale FF PP 14/5,4/5 4/5,1/5 3,4/513/5,17/5,01,0 2,4/52/5,08/5,10,1/5 11/5,4/51/5,1/511/5,4/51/5,1/5 FP PF PP FP PF Dominée par FP

184 On voit, ici aussi, cela avec la forme normale FF PP 14/5,4/5 4/5,1/5 3,4/513/5,17/5,01,0 2,4/52/5,08/5,10,1/5 11/5,4/51/5,1/511/5,4/51/5,1/5 FP PF PP FP PF

185 On voit, ici aussi, cela avec la forme normale FF PP 14/5,4/5 4/5,1/5 3,4/513/5,17/5,01,0 2,4/52/5,08/5,10,1/5 11/5,4/51/5,1/511/5,4/51/5,1/5 FP PF PP FP PF

186 On voit, ici aussi, cela avec la forme normale FF PP 14/5,4/5 4/5,1/5 3,4/513/5,17/5,01,0 2,4/52/5,08/5,10,1/5 11/5,4/51/5,1/511/5,4/51/5,1/5 FP PF PP FP PF

187 On voit, ici aussi, cela avec la forme normale FF PP 14/5,4/5 4/5,1/5 3,4/513/5,17/5,01,0 2,4/52/5,08/5,10,1/5 11/5,4/51/5,1/511/5,4/51/5,1/5 FP PF PP FP PF

188 On voit, ici aussi, cela avec la forme normale FF PP 14/5,4/5 4/5,1/5 3,4/513/5,17/5,01,0 2,4/52/5,08/5,10,1/5 11/5,4/51/5,1/511/5,4/51/5,1/5 FP PF PP FP PF

189 On voit, ici aussi, cela avec la forme normale FF PP 14/5,4/5 4/5,1/5 3,4/513/5,17/5,01,0 2,4/52/5,08/5,10,1/5 11/5,4/51/5,1/511/5,4/51/5,1/5 FP PF PP FP PF

190 On voit, ici aussi, cela avec la forme normale FF PP 14/5,4/5 4/5,1/5 3,4/513/5,17/5,01,0 2,4/52/5,08/5,10,1/5 11/5,4/51/5,1/511/5,4/51/5,1/5 FP PF PP FP PF

191 Formalisons le critère dit « intuitif » de Cho et Kreps (1987) u S’applique à des jeux à 2 joueurs appelés « jeux de signaux » u La nature joue en premier et sélectionne un nœud t dans un ensemble  avec une distribution de probabilité  u Le joueur 1 est informé de l’état de la nature et envoie, avec une certaine probabilité, un signal s  S au joueur 2 u Le joueur 2, ayant reçu le signal s, et connaissant la loi de proba , entreprends, avec une certaine probabilité, une action a  A u Paiement de 1: u(t,s,a), paiement de 2: v(t,s,a)

192 Formalisons le critère dit « intuitif » de Cho et Kreps (1987) (2) u  1 : stratégie mixte de 1:  1 (s;t) est la probabilité avec laquelle 1 envoie le signal s lorsqu’il est au nœud t. Evidemment,  s  S  1 (s;t) = 1 pour tout t   2 : stratégie mixte de 2:  2 ( a ; s ) est la probabilité avec laquelle 2 choisit l’action a lorsqu’il a reçu un signal s. Ici aussi,  a  A  2 ( a ; s ) = 1 pour tout s   ( t ; s ) croyance probabiliste que 2 attribue au choix de t par la nature conditionnellement à la réception du signal s si le dénominateur de cette expression n’est pas nul si le dénominateur de cette expression est nul,on veut que  (t;s) soit rationalisé par certaines croyances

193 Formalisons le critère dit « intuitif » de Cho et Kreps (1987) (3)  Une paire de stratégies (  1,  2 ) est un équilibre séquentiel si, pour tout t  ,  1 ( s ; t ) > 0 implique que s maximise  a  A  2 ( a ; s ’)u( t, s ’, a ) et, pour tout s  S,  2 ( a ; s ) > 0 implique que a maximise  t   ( t ; s )v( t, s, a ’)  Etant donné un équilibre séquentiel (  1,  2 ), on dit du signal s ’ qu’il est dominé à l’équilibre conditionnellement à t si : max s  S  a  A  2 ( a ; s )u( t, s, a ) > max a  A  2 ( a ; s ’)u( t, s ’, a ) Paiement espéré de 1 à l’équilibre séquentiel si la nature choisit t meilleur paiement que 1 peut espérer obtenir de l’envoi du signal s ’ après avoir observé t

194 Formalisons le critère dit « intuitif » de Cho et Kreps (1987) (4)  L’équilibre séquentiel (  1,  2 ) viole le critère intuitif de Cho et Kreps s’il existe un nœud t et un signal s ’ dominé à l’équilibre conditionnellement à t pour lesquels il est impossible de rationaliser la réponse d’équilibre de 2 au signal s ’ avec des croyances probabilistes  qui attribuent une probabilité nulle à t.

195 L’équilibre PP, FP viole ce critère intuitif pile 0,2 face 0,8 face pile 1 1 face pile Nature 2 2 face pile face pile face pile face pile (3,1) (1,0) (2,1) (0,0) (2,0) (0,1) (3,0) (1,1)

196 L’équilibre PP, FP viole ce critère intuitif pile 0,2 face 0,8 face pile 1 1 face pile Nature 2 2 face pile face pile face pile face pile (3,1) (1,0) (2,1) (0,0) (2,0) (0,1) (3,0) (1,1) Le mieux que 1 puisse faire en annonçant « face » après avoir observé pile est 2 (alors qu’elle reçoit 3 en envoyant le signal pile)

197 L’équilibre PP, FP viole ce critère intuitif pile 0,2 face 0,8 face pile 1 1 face pile Nature 2 2 face pile face pile face pile face pile (3,1) (1,0) (2,1) (0,0) (2,0) (0,1) (3,0) (1,1) s’ = « face » est donc dominé à l’équilibre conditionnellement à t = « pile »

198 L’équilibre PP, FP viole ce critère intuitif pile 0,2 face 0,8 face pile 1 1 face pile Nature 2 2 face pile face pile face pile face pile (3,1) (1,0) (2,1) (0,0) (2,0) (0,1) (3,0) (1,1) Pour vérifier le critère intuitif, on devrait être capable de rationaliser le choix de « pile » par 2 en réponse à « face » par une croyance qui attribue une probabilité nulle au fait que la nature ait choisi « pile »

199 L’équilibre PP, FP viole ce critère intuitif pile 0,2 face 0,8 face pile 1 1 face pile Nature 2 2 face pile face pile face pile face pile (3,1) (1,0) (2,1) (0,0) (2,0) (0,1) (3,0) (1,1) Or nous en sommes incapables!!!

200 Education et Signal u Le modèle célèbre de Spence (1974) fournit un bel exemple de jeu de signal u Une population de travailleurs se décompose (disons en part égale) en 2 types: 1 (nul) et 2 (talentueux) u Un travailleur connaît son type, l’employeur ne le connaît pas au moment de l’embauche u La productivité d’un travailleur dépend à la fois de son type et de son niveau d’éducation u Productivité d’un travailleur de type t (t = 1,2) est égale à te où e désigne le nombre d’années d’éducation supérieure (disons au dela de la troisième)

201 Education et Signal (2) u Un travailleur aime le salaire (égal à sa productivité) mais n’aime pas étudier u Les nuls détestent d’avantage les études que les talentueux u Les préférences pour les différentes combinaisons d’éducation (e) et de salaire (w) d’un travailleur de type t sont représentées par la fonction d’utilité u t (e,w) u u t est décroissante en e, croissante en w, et satisfait la condition (Spence Mirlees):

202 Condition de Spence-Mirlees éducation w e w0w0 talentueux nul le nul requiert plus de compensation salariale que le talentueux pour étudier plus

203 Un équilibre de Spence u Est constitué d’une fonction de salaire w(e) (croissante, et satisfaisant w(e)  [e,2e]) u De choix de niveaux d’éducation par les 2 types de travailleurs qui maximisent leur utilité, étant donné leur anticipation de la fonction de salaire u La fonction de salaire doit être optimale ex post pour les entreprises (étant donnés les choix éducatifs des travailleurs) u (au moins) deux types d’équilibres sont possibles: Séparateurs, et mélangeant

204 Equilibre séparateur naturel éducation w e1e1 w1w1 w = e 45° w = 2e w2w2 e2e2 w(e)w(e)

205 Equilibre séparateur naturel éducation w e1e1 w1w1 w = e 45° w = 2e w2w2 e2e2 w(e)w(e) cette situation est efficace

206 Equilibre séparateur naturel éducation w e1e1 w1w1 w = e 45° w = 2e w2w2 e2e2 w(e)w(e) Chaque type choisit son niveau d’étude préféré, étant donné l’impact de celui-ci sur la productivité

207 Equilibre séparateur naturel éducation w e1e1 w1w1 w = e 45° w = 2e w2w2 e2e2 w(e)w(e) chaque type est content de son sort et n’a pas envie d’imiter l’autre

208 Equilibre séparateur naturel éducation w e1e1 w1w1 w = e 45° w = 2e w2w2 e2e2 w(e)w(e) la fonction de salaire n’est pas contrainte mis à part aux point de tangence

209 Equilibre séparateur pas naturel éducation w e1e1 w1w1 w = e 45° w = 2e w2w2 e2e2 le nul préfère l’effort éducatif et le salaire du talentueux à celui qu’il choisirait sur sa droite de productivité

210 Equilibre séparateur pas naturel éducation w e1e1 w1w1 w = e 45° w = 2e w2w2 e2e2 si la fonction de salaire passe par (e1,w1) et (e2,w2) les nuls voudront un salaire plus élevé que celui correspondant à leur productivité w(e)w(e)

211 Equilibre séparateur pas naturel éducation w e1e1 w1w1 w = e 45° w = 2e w2w2 e2e2 si la fonction de salaire passe par (e1,w1) et (e2,w2) les nuls voudront un salaire plus élevé que celui correspondant à leur productivité w(e)w(e)

212 Equilibre séparateur pas naturel éducation w e1e1 w1w1 w = e 45° w = 2e w2w2 e2e2 Mais aucun employeur ne veut payer un nul à un salaire supérieur à sa productivité w(e)w(e)

213 Equilibre séparateur pas naturel éducation w e1e1 w1w1 w = e 45° w = 2e w2w2 e2e2 Si les employeurs ne peuvent observer les type, on ne peut pas construire une fonction de salaire qui conduit à des décisions d’éducation efficaces w(e)w(e)

214 Equilibre séparateur pas naturel éducation w e1e1 w1w1 w = e 45° w = 2e w2w2 e2e2 On peut en revanche construire une fonction de salaire qui va séparer les nuls des talentueux qui entraînera une suréducation des talentueux w(e)w(e)

215 Equilibre séparateur pas naturel éducation w e1e1 w1w1 w = e 45° w = 2e w2w2 e2e2 Voici comment: w(e)w(e)

216 Equilibre séparateur pas naturel éducation w e1e1 w1w1 w = e 45° w = 2e w2w2 e2e2 Voici comment: w(e)w(e)

217 Equilibre séparateur pas naturel éducation w e1e1 w1w1 w = e 45° w = 2e w2w2 e2e2 Voici comment: w(e)w(e)

218 Equilibre séparateur pas naturel éducation w e1e1 w1w1 w = e 45° w = 2e w2w2 e2e2 Voici comment:

219 Equilibre séparateur pas naturel éducation w e1e1 w1w1 w = e 45° w = 2e w2w2 e2e2 Voici comment:

220 Equilibre séparateur pas naturel éducation w e1e1 w1w1 w = e 45° w = 2e w2w2 e2e2 Voici comment:

221 Equilibre séparateur pas naturel éducation w e1e1 w1w1 w = e 45° w = 2e w’ 2 e2e2 Voici comment:

222 Equilibre séparateur pas naturel éducation w e1e1 w1w1 w = e 45° w = 2e w’ 2 e2e2 Voici comment: e’ 2

223 Equilibre séparateur pas naturel éducation w e1e1 w1w1 w = e 45° w = 2e w’ 2 e2e2 En utilisant une fonction de salaire passant par e 1,w 1 et par e’ 2,w’ 2 et restant en dessous de la courbe d’indifférence du nul… e’ 2 w(e)w(e)

224 Equilibre séparateur pas naturel éducation w e1e1 w1w1 w = e 45° w = 2e w’ 2 e2e2 On induit le talentueux et le nul à se séparer d’une manière compatible avec leur productivité e’ 2 w(e)w(e)

225 Equilibre séparateur pas naturel éducation w e1e1 w1w1 w = e 45° w = 2e w’ 2 e2e2 Mais on induit chez le talentueux un effort éducatif e’ 2 “excessif” e’ 2 w(e)w(e)

226 Equilibre mélangeant ? éducation w emem wmwm w = e w = 2e w = 3e/2 w(e)w(e)

227 Equilibre mélangeant ? éducation w emem wmwm w = e w = 2e w = 3e/2 w(e)w(e) les 2 types choisissent le même niveau éducatif e m et le même salaire w m

228 Equilibre mélangeant ? éducation w emem wmwm w = e w = 2e w = 3e/2 w(e)w(e) w m Correspond à la Productivité moyenne dans la population pour le niveau éducatif e m

229 Un seul équilibre séquentiel de Spence satisfait le critère intuitif de Cho et Kreps: u L’équilibre séparateur où le nul choisit son niveau préféré d’éducation sur sa droite de productivité et le talentueux choisit son niveau préféré d’éducation sur sa droite de productivité parmi les niveaux sur cette droite que le nul n’envie pas

230 Equilibre séquentiel intuitif (Cho et Kreps) éducation w e1e1 w1w1 w = e w = 2e w’ 2 e’ 2 Combinaisons sur la droite de forte productivité faiblement dominées par (e 1,w 1 ) pour le nul et susceptibles d’être choisies par le talentueux

231 Equilibre séquentiel intuitif (Cho et Kreps) éducation w e1e1 w1w1 w = e w = 2e w’ 2 e’ 2 Ces combinaisons sur la droite de forte productivité sont aussifaiblement dominées par (e 1,w 1 ) pour le nul

232 Equilibre séquentiel intuitif (Cho et Kreps) éducation w e1e1 w1w1 w = e w = 2e w’ 2 e’ 2 mais elles ne sont pas susceptibles d’être choisies par un talentueux à cause de la condition de Spence-Mirlees

233 Equilibre séquentiel intuitif (Cho et Kreps) éducation w e1e1 w1w1 w = e w = 2e w’ 2 e’ 2 Quelle combinaison dans cette zone sera choisie par un talentueux ?

234 Equilibre séquentiel intuitif (Cho et Kreps) éducation w e1e1 w1w1 w = e w = 2e w’ 2 e’ 2 Quelle combinaison dans cette zone sera choisie par un talentueux ?

235 Equilibre séquentiel intuitif (Cho et Kreps) éducation w e1e1 w1w1 w = e w = 2e w’ 2 e’ 2 cela dépend des préférences du talentueux!

236 Equilibre séquentiel intuitif (Cho et Kreps) éducation w e1e1 w1w1 w = e w = 2e w’ 2 e’ 2 une possibilité est celle-ci

237 Equilibre séquentiel intuitif (Cho et Kreps) éducation w e1e1 w1w1 w = e w = 2e w’ 2 e’ 2 une autre est celle là

238 Q: pourquoi l’équilibre mélangeant est-il éliminé par le critère intuitif ?

239 Considérons un équilibre mélangeant éducation w emem wmwm w = e w = 2e w = 3e/2

240 Considérons un équilibre mélangeant éducation w emem wmwm w = e w = 2e w = 3e/2 Peut on trouver une fonction de salaire supportant cet équilibre et basée sur des croyances probabilistes satisfaisant le critère de Cho et Kreps ?

241 Considérons un équilibre mélangeant éducation w emem wmwm w = e w = 2e w = 3e/2 une telle fonction de salaire devrait passer par cette zone e’ 2 w’ 2 e’’ 2

242 Considérons un équilibre mélangeant éducation w emem wmwm w = e w = 2e w = 3e/2 en effet, tout niveau éducatif supérieur à e’ 2, même payé à un salaire de 2 e’ 2, est dominé à l’équilibre pour un nul e’ 2 w’ 2 e’’ 2

243 Considérons un équilibre mélangeant éducation w emem wmwm w = e w = 2e w = 3e/2 La seule croyance que peut avoir un employeur observant un effort éducatif supérieur à e’ 2, est que cet effort provient d’un talentueux avec probabilité 1 e’ 2 w’ 2 e’’ 2

244 Considérons un équilibre mélangeant éducation w emem wmwm w = e w = 2e w = 3e/2 Mais si la fonction de salaire passe par cette zone e’ 2 w’ 2 e’’ 2

245 Considérons un équilibre mélangeant éducation w emem wmwm w = e w = 2e w = 3e/2 Mais si la fonction de salaire passe par cette zone e’ 2 w’ 2 e’’ 2

246 Considérons un équilibre mélangeant éducation w emem wmwm w = e w = 2e w = 3e/2 Le talentueux n’a pas intérêt à choisir e m,w m !! e’ 2 w’ 2 e’’ 2


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