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Chapitre 12 : Suites et séries de fonctions 1.Les surprises de la convergence simple 2.Convergence uniforme 3.Critères de Weierstrass et d’Abel 4.Continuité.

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1 Chapitre 12 : Suites et séries de fonctions 1.Les surprises de la convergence simple 2.Convergence uniforme 3.Critères de Weierstrass et d’Abel 4.Continuité de la limite d’une suite de fonctions continues 5.Intégrale de la limite d’une suite de fonctions 6.Limite de la suite des fonctions dérivées 7.Continuité, intégrale, dérivée de la somme d’une série de fonctions 8.Propriétés des sommes de séries de puissances 1

2 Chapitre 12 : Suites et séries de fonctions 1.Les surprises de la convergence simple 2.Convergence uniforme 3.Critères de Weierstrass et d’Abel 4.Continuité de la limite d’une suite de fonctions continues 5.Intégrale de la limite d’une suite de fonctions 6.Limite de la suite des fonctions dérivées 7.Continuité, intégrale, dérivée de la somme d’une série de fonctions 8.Propriétés des sommes de séries de puissances 2

3 Introduction Les surprises de la convergence simple

4 Problème de continuité 12.1 Les surprises de la convergence simple 4

5 Problème de continuité 5

6 Problème d’intégration 12.1 Les surprises de la convergence simple 6

7 Problème de dérivation 12.1 Les surprises de la convergence simple 7

8 Problème de dérivation 8

9 Problème de longueur 12.1 Les surprises de la convergence simple 9

10 Chapitre 12 : Suites et séries de fonctions 1.Les surprises de la convergence simple 2.Convergence uniforme 3.Critères de Weierstrass et d’Abel 4.Continuité de la limite d’une suite de fonctions continues 5.Intégrale de la limite d’une suite de fonctions 6.Limite de la suite des fonctions dérivées 7.Continuité, intégrale, dérivée de la somme d’une série de fonctions 8.Propriétés des sommes de séries de puissances 10

11 Convergence simple de suites de fonctions 12.2 Convergence uniforme 11

12 12.2 Convergence uniforme Convergence uniforme de suites de fonctions 12

13 Convergence uniforme de suites de fonctions 13

14 La norme suprénum ∥ ∥ ∞ 12.2 Convergence uniforme 14

15 La norme suprénum ∥ ∥ ∞ Proposition : 15

16 Critères de Cauchy pour les suites de fonctions 12.2 Convergence uniforme 16

17 Convergences de séries de fonctions 12.2 Convergence uniforme 17

18 Convergences de séries de fonctions 18

19 Lien entre C.U. et C.N Convergence uniforme 19 !

20 Chapitre 12 : Suites et séries de fonctions 1.Les surprises de la convergence simple 2.Convergence uniforme 3.Critères de Weierstrass et d’Abel 4.Continuité de la limite d’une suite de fonctions continues 5.Intégrale de la limite d’une suite de fonctions 6.Limite de la suite des fonctions dérivées 7.Continuité, intégrale, dérivée de la somme d’une série de fonctions 8.Propriétés des sommes de séries de puissances 20

21 Critère de Weierstrass 12.3 Critères de Weierstrass et d’Abel 21

22 Critère d’Abel 12.3 Critères de Weierstrass et d’Abel 22

23 Introduction à 12.4, 12.5 et

24 Chapitre 12 : Suites et séries de fonctions 1.Les surprises de la convergence simple 2.Convergence uniforme 3.Critères de Weierstrass et d’Abel 4.Continuité de la limite d’une suite de fonctions continues 5.Intégrale de la limite d’une suite de fonctions 6.Limite de la suite des fonctions dérivées 7.Continuité, intégrale, dérivée de la somme d’une série de fonctions 8.Propriétés des sommes de séries de puissances 24

25 Fonction limite bornée Fonction limite bornée ????

26 Fonction limite continue 12.4 Continuité de la limite d’une suite de fonctions continues 26

27 La C.U. sur tout compact suffit ! 12.4 Continuité de la limite d’une suite de fonctions continues 27

28 Chapitre 12 : Suites et séries de fonctions 1.Les surprises de la convergence simple 2.Convergence uniforme 3.Critères de Weierstrass et d’Abel 4.Continuité de la limite d’une suite de fonctions continues 5.Intégrale de la limite d’une suite de fonctions 6.Limite de la suite des fonctions dérivées 7.Continuité, intégrale, dérivée de la somme d’une série de fonctions 8.Propriétés des sommes de séries de puissances 28

29 Intégrale de la limite d’une suite de fonctions

30 Intégrale de la limite d’une suite de fonctions

31 Chapitre 12 : Suites et séries de fonctions 1.Les surprises de la convergence simple 2.Convergence uniforme 3.Critères de Weierstrass et d’Abel 4.Continuité de la limite d’une suite de fonctions continues 5.Intégrale de la limite d’une suite de fonctions 6.Limite de la suite des fonctions dérivées 7.Continuité, intégrale, dérivée de la somme d’une série de fonctions 8.Propriétés des sommes de séries de puissances 31

32 Limite de la suite des fonctions dérivées

33 Hypothèse équivalente Généralisation à la C.U.C Limite de la suite des fonctions dérivées

34 Limite des dérivées d’ordre supérieur Limite de la suite des fonctions dérivées

35 Limite des dérivées d’ordre supérieur

36 Chapitre 12 : Suites et séries de fonctions 1.Les surprises de la convergence simple 2.Convergence uniforme 3.Critères de Weierstrass et d’Abel 4.Continuité de la limite d’une suite de fonctions continues 5.Intégrale de la limite d’une suite de fonctions 6.Limite de la suite des fonctions dérivées 7.Continuité, intégrale, dérivée de la somme d’une série de fonctions 8.Propriétés des sommes de séries de puissances 36

37 Continuité, intégrale, dérivée de la somme d’une série de fonctions Faux !! en général Intégration

38 Continuité Continuité, intégrale, dérivée de la somme d’une série de fonctions Dérivation

39 Chapitre 12 : Suites et séries de fonctions 1.Les surprises de la convergence simple 2.Convergence uniforme 3.Critères de Weierstrass et d’Abel 4.Continuité de la limite d’une suite de fonctions continues 5.Intégrale de la limite d’une suite de fonctions 6.Limite de la suite des fonctions dérivées 7.Continuité, intégrale, dérivée de la somme d’une série de fonctions 8.Propriétés des sommes de séries de puissances 39

40 Rayon de convergence Propriétés des sommes de séries de puissances

41 Rayon de convergence de la série dérivée Propriétés des sommes de séries de puissances

42 Rayon de convergence de la série dérivée

43 Rayon de convergence de la série dérivée

44 CUC des séries entières Régularité des sommes de séries entières Propriétés des sommes de séries de puissances

45 CUC des séries entières Régularité des sommes de séries entières

46 CUC des séries entières Régularité des sommes de séries entières

47 Propriétés des sommes de séries de puissances


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