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Arithmétique Classe 3 e. 1 - Critères de divisibilité Soit n un nombre entier. son chiffre des unités est 0 la somme des ses chiffres est un multiple.

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1 Arithmétique Classe 3 e

2 1 - Critères de divisibilité Soit n un nombre entier. son chiffre des unités est 0 la somme des ses chiffres est un multiple de 3 si son chiffre des unités est 0 ou 5 son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6, 8 ( nombre pair ) n est divisible par 10 si n est divisible par 9 si n est divisible par 3 si n est divisible par 5 si n est divisible par 2 si est un nombre pair, il est divisible par se termine par 0, il est divisible par 5 et par =18, est divisible par 3 et par 9

3 2 - Division euclidienne La division euclidienne est une division dont le quotient est un nombre entier. Exemples : On écrit : 0 5

4 … a est un ou ce qui revient au même de dire que … b est un Lorsque le reste de la division euclidienne d’un nombre a par un nombre b non nul est égal à 0, on dit que : diviseur multiple de a, de b.

5 Remarques est un multiple de 7 On dit que 7 est un diviseur commun à 35 et 84 7 est-il un diviseur de ? 7 est un diviseur de 84 car 7 est un diviseur de 35 car

6 multiple Exemple Avec l’exemple précédent : On dit que 210 est unde 14, mais aussi de 15 On dit que 14 est un diviseur de 210, mais aussi 15 Quels sont les diviseurs de 210 ? L ’ ensemble de tous les diviseurs de 210 est : ;70 ;42 ;35 ;30 ;21 ;15 ; 14 ;10 ;7 ;6 ;5 ;3 ;2 ;1 ;

7 3 - PGCD Le PGCD de 45 et 75 est le plus grand de ces diviseurs communs. On cherche le plus grand diviseur commun à 45 et 75. Ensemble des diviseurs de 75 : Ensemble des diviseurs de 45 : 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 45 1 ; 3 ; 5 ; 15 ; 25 ; 75 Donc l’ensemble des diviseurs communs à 45 et 75 est : 1 ; 3 ; 5 ; 15 PGCD( 45 ; 75 ) = 15

8 4 – Algorithme d’Euclide C’est une méthode qui permet de déterminer le PGCD de deux nombres entiers. Exemple : calculons PGCD( 143 ; 611 ) ALGORITHME : Désigne une suite de calcul nécessaire à la solution d’un problème dans une durée limitée. L’appellation « algorithme » est l’équivalent latin d’un terme figurant dans l’ouvrage du mathématicien arabe Mohammed Ibn Musa Abu Djefar Al-Khwarizmi. On effectue la division euclidienne du plus grand des deux nombres par le plus petit.

9 On effectue ensuite la division euclidienne du diviseur par le reste de la division précédente.

10 On effectue des divisions successives jusqu’à obtenir un reste nul PGCD( 143 ; 611 ) est le dernier reste non nul, c’est-à-dire : 13

11 5 – Nombres premiers entre eux Deux nombres a et b sont premiers entre eux si leur plus grand diviseur commun est 1. Remarque : 1 est leur seul diviseur commun.

12 15 et 8 sont premiers entre eux car : Ensemble des diviseurs de 8 : Ensemble des diviseurs de 15 : 1 ; 3 ; 5 ; 15 1 ; 2 ; 4 ; 8 Le seul diviseur commun à 15 et 8 est 1. Donc PGCD( 15 ; 8 ) = 1 Exemples :

13 221 et 97 sont premiers entre eux car : Appliquons l’algorithme d’Euclide Exemples : Donc PGCD( 221 ; 97 ) = 1

14 6 – Fractions Irréductibles On dit qu ’ une fraction est irr é ductible lorsque son num é rateur et son d é nominateurs sont premiers entre eux. Exemples : (d ’ apr è s 5) est une fraction irr é ductible car : PGCD( 221 ; 97 ) = 1 PGCD( 15 ; 8 ) = 1

15 Méthode Pour simplifier une fraction (et la rendre irr é ductible), on divise le num é rateur et le d é nominateur par leur plus grand diviseur commun. Exemples : d ’ apr è s 4, PGCD( 143 ; 611 ) = 13 Simplifions C ’ est irr é ductible !!


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