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STABILITE D. Bareille 2005. Définition Un système est en équilibre stable si, écarté de sa position d'équilibre, il y revient spontanément. Si, écarté.

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1 STABILITE D. Bareille 2005

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3 Définition Un système est en équilibre stable si, écarté de sa position d'équilibre, il y revient spontanément. Si, écarté de sa position d'équilibre, il s'en éloigne indéfiniment, le point d'équilibre est instable.

4 Définition La nature du régime transitoire est déterminante Si le régime transitoire disparaît, le système est instable. stable, Si le régime transitoire devient prépondérant, le système est

5 Stabilité mathématique système linéaire, équation différentielle à coefficients constants Système

6 équation différentielle sans second membre régime transitoire, Système Stabilité mathématique

7 Système du premier ordre : Système Ou encore : Stabilité mathématique

8 Système du premier ordre : Système Solution : Stabilité mathématique

9 r 0 < 0 r 0 > 0 Stabilité mathématique

10 Système du deuxième ordre : Système Ou encore : Stabilité mathématique

11 Système du deuxième ordre : Système Equation caractéristique : Stabilité mathématique

12 Equation caractéristique : Système Racines de l’équation caractéristique r 1 et r 2, Solution de l’ESSM : Stabilité mathématique

13 Racines complexes conjuguées Racines réelles de même signe Stabilité mathématique

14 Recherche des racines r 1 et r 2 : Racines complexes conjuguées Racines réelles de même signe Stabilité mathématique

15 * * Im r Re r * * Im r Re r Im r Re r * * Im r Re r * * Im r Re r InstableStableInstableStable Limite stable- instable

16 Stabilité mathématique * * Im r Re r * * Im r Re r Im r Re r * * Im r Re r * * Im r Re r InstableStableInstableStable Limite stable- instable Ce système est stable si les racines de son équation caractéristiques sont toutes les deux à partie réelle négative

17 Stabilité mathématique Plus généralement… Système ESSM : Equation caractéristique :

18 Stabilité mathématique En variables de Laplace T(p) Equation caractéristique :

19 Stabilité mathématique En variables de Laplace T(p) Les racines de l’équation caractéristique s’appellent les pôles de la fonction de transfert. Ce sont les valeurs qui annulent le dénominateur de la fonction de transfert !

20 Au sens mathématique, un système est stable si les pôles de sa fonction de transfert sont TOUS à partie réelle négative. Stabilité mathématique

21 Cas des systèmes bouclés Equation caractéristique : + - H(p) K(p)

22 Cas des systèmes asservis Equation caractéristique : + - H(p) K(p) Le système est stable en boucle fermée si les racines de l’équation caractéristique sont toutes à partie réelle négative.

23 Cas des systèmes asservis Equation caractéristique : + - H(p) K(p)

24 Cas des systèmes asservis on trace le « lieu de transfert » en BO, on regarde où il passe par rapport au point critique A (–1,0). + - H(p) K(p) Critères graphiques de stabilité :

25 Lieu de Nyquist en BO Réponse indicielle en BF A

26  on passe sur le point –1 le système en BF est à la limite de la stablilité,  on laisse le point –1 à sa gauche le système est stable en BF,  à sa droite le système en BF est instable. Lorsqu’on parcourt le lieu de Nyquist en BO dans le sens des  croissants, si : Critère de Nyquist Réponse indicielle en BF

27 Marge de phase  si M  = 0, le système en BF est à la limite de la stablilité, on trace le cercle de rayon 1, de centre 0 :  si M  > 0, le système en BF est stable, on trace la droite passant par 0 et par N, l’intersection du lieu de transfert et du cercle unité, L’angle entre cette droite et l’axe réel s’appelle la marge de phase M   si M  < 0, le système en BF est instable. N1N1 N3N3

28 TT TT TT on repère le point N situé à la pulsation  T pour laquelle |T BO | = 1, (G BO = 0 ), 180° on mesure la marge de phase M  Arg T BO (  T )  si M  = 0, le système en BF est à la limite de la stablilité,  si M  > 0, le système en BF est stable,  si M  < 0, le système en BF est instable.

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30 Diagrammes de BodeDiagramme de Nyquist Réponse indicielle M  = 19,6° MG = 3,52 dB Ce système est stable au sens mathématique mais pas au sens industriel

31 Le critère industriel retenu est M  = 45° Marge de phase

32 Diagrammes de Bode M  = 19,6° MG = 3,52 dB Réponse indicielle En BF M  = 45° MG = 6,5 dB Diagrammes de Nyquist

33 Stabilité mathématique Plus généralement… Système ESSM : Equation caractéristique :

34  on passe sur le point –1 le système en BF est à la limite de la stablilité, Critère de Revers on trace le « lieu de Nyquist » en BO, lorsqu’on parcourt le lieu de Nyquist en BO dans le sens des  croissants, si :  on laisse le point –1 à sa gauche le système est stable en BF,  à sa droite le système en BF est instable.

35  si M  = 0, le système en BF est à la limite de la stablilité, Marge de phase on trace le « lieu de Nyquist » en BO, on trace le cercle de rayon 1, de centre 0 :  si M  > 0, le système en BF est stable, on trace la droite passant par 0 et par l’intersection du lieu de transfert et du cercle unité, L’angle entre cette droite et l’axe réel s’appelle la marge de phase M   si M  < 0, le système en BF est instable.

36 Stabilité mathématique En variables de Laplace T(p)


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