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Probabilités & Statistiques Théorie des tests Seconde partie - cours n°3 Théorie des tests Laurent C ARRARO.

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1 Probabilités & Statistiques Théorie des tests Seconde partie - cours n°3 Théorie des tests Laurent C ARRARO

2 Probabilités & Statistiques Théorie des tests 2 Test ? Problème de décision … en contexte incertain Exemples :  Le médicament MEDOC est-il efficace ?  La machine PROD est-elle bien réglée ?  Les OGM sont-ils dangereux ?  L’augmentation de 2% de nos ventes ce dernier mois est-elle significative ?

3 Probabilités & Statistiques Théorie des tests 3 Points communs aux exemples  La décision ne peut être certaine ;  elle sera prise sur la base d ’ observations ;  tous les facteurs influents ne sont pas connus, et encore moins mesur é s. Utilisation du formalisme probabiliste

4 Probabilités & Statistiques Théorie des tests 4 Vous avez dit hypothèse ?  On oppose deux hypothèses :  MEDOC : efficace vs non efficace  PROD : bien réglée vs déréglée  OGM : dangereux vs inoffensifs  Notations :  H 0 : hypothèse nulle  H 1 : hypothèse alternative

5 Probabilités & Statistiques Théorie des tests 5 Qui est H 0 ?  Les deux hypothèses n’ont pas le même rôle  MEDOC : le fabricant pense que le médicament est efficace H 0 : efficace les autorités de santé veulent des preuves H 0 : inefficace  OGM ?  PROD ?

6 Probabilités & Statistiques Théorie des tests 6 Démarche 1.On fixe H 0 et H 1. 2.On évalue une quantité, appelée score ou statistique de test. 3.Si cette quantité dépasse un certain seuil, on rejette H 0. 4.On probabilise notre décision…

7 Probabilités & Statistiques Théorie des tests 7 Un exemple simpl(ist)e  Exemple de type PROD  Usine de fabrication de tubes pour cosmétiques  Procédé par extrusion de polymère, puis coupure  Paramètre sensible : épaisseur du tube en  m

8 Probabilités & Statistiques Théorie des tests 8 Problème et hypothèses  En fonctionnement normal, l’épaisseur mesurée d’un tube suit une loi normale N(m old,s old 2 ), où : m old = 208  m s old = 10,8  m  Un changement de fournisseur fait suspecter une diminution de la moyenne : m new = 202  m.  On observe 20 épaisseurs de tubes, réalisations indépendantes d’une v.a. de loi normale N(m,s old 2 ).  A-t-on m = m old ou m = m new ?

9 Probabilités & Statistiques Théorie des tests 9

10 10

11 Probabilités & Statistiques Théorie des tests 11 Démarche  H 0 : m = m new  Score = épaisseur moyenne  Décision : si > seuil, on rejette H 0  On probabilise : Sous H 0, est de loi normale N(m new,s old 2 /20) P( > seuil / H 0 ) = 1 - 

12 Probabilités & Statistiques Théorie des tests 12

13 Probabilités & Statistiques Théorie des tests 13 Le risque   On fixe un niveau de risque  :  = 5%  On évalue seuil pour que : P( > seuil / H 0 ) =  Ici, seuil = m new s old /√20 = 205,97  La région { > seuil} est la région critique.  Signification ? Toujours la loi des grands nombres (simulation)

14 Probabilités & Statistiques Théorie des tests 14  seuil = 205,97

15 Probabilités & Statistiques Théorie des tests 15 Décisions selon les cas  Supposons : 1. = 206,4 2. = 207,9 3. = 205,2  Décisions : 1.rejet de H 0 2.rejet de H 0 3.on conserve H 0

16 Probabilités & Statistiques Théorie des tests 16 Le risque   Si on décide de rejeter H 0, on a peu de chances de faire erreur (cf. risque  ).  Et si on conserve H 0, a-t-on raison ??  Risque de seconde espèce  :  = P( ≤ seuil / H 1 ) Ici,  = P(N(202, /20) ≤ 205,97) = 20%   est appelé risque de première espèce.

17 Probabilités & Statistiques Théorie des tests 17 seuil = 205,97  

18 Probabilités & Statistiques Théorie des tests 18 Finalement, quelle probabilité d’erreur ? H0H0 H1H1 H0H0  H1H1  Réalité Décision

19 Probabilités & Statistiques Théorie des tests 19 Déroulement d’un test 1.On fixe H 0. 2.On définit une région critique (rejet de H 0 ) à partir d’un score S : rejet de H 0 si S ≥ seuil 3.On fixe  qui détermine seuil tel que : P(S ≥ seuil / H 0 ) =  4.On décide, et si on conserve H 0, on regarde 

20 Probabilités & Statistiques Théorie des tests 20 Retour sur le choix de H 0  Seul  est ma î tris é.  Exemple PROD :  Situation 1 : grosses séries de moyenne qualité : Risque majeur : arrêter la production à tort.  = P(arrêt / bien r é gl é ) : H 0 = « bien r é gl é »  Situation 2 : CDC client très strict : Risque majeur : produire de mauvais composants.  = P(production / mal r é gl é ) : H 0 = « mal r é gl é »

21 Probabilités & Statistiques Théorie des tests 21 Dernières remarques   et  varient en sens contraire.  Diminution simultanée de  et  possible en augmentant la taille de l’échantillon.  Critiques :  Il se peut qu’aucune des deux hypothèses ne soit correcte (risques de 3ème espèce !!)  Si on rejette H 0 avec  = 5%, que donnent 4% ? 1% ? …

22 Probabilités & Statistiques Théorie des tests 22 Notion de p-valeur  Test de région critique de la forme : rejet de H 0 si S ≥ seuil  On observe s obs  On évalue la probabilité : p = P(S ≥ s obs / H 0 )  p est appelée p-valeur (p-value)

23 Probabilités & Statistiques Théorie des tests 23 Retour sur l’exemple 1.Cas où = 206,4 : p-valeur = P(N(202, /20)>206,4) = Cas où = 207,9 : p-valeur = P(N(202, /20)>207,9) = Cas où = 205,2 : p-valeur = P(N(202, /20)>205,2) = 0.093

24 Probabilités & Statistiques Théorie des tests 24 = 205,2 p-value = 0.093

25 Probabilités & Statistiques Théorie des tests 25 Perspectives  Lemme de Neyman et Pearson (construction systématique de la région critique).  Tests avec des hypothèses dites composites, par exemple : H : m > 208  Tests non param é triques, par exemple : H : les données proviennent de la loi normale etc…


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