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Logique du Premier Ordre

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Présentation au sujet: "Logique du Premier Ordre"— Transcription de la présentation:

1 Logique du Premier Ordre
Système de Preuve – - 2007/2008 -

2 Plan Méthode des Tableaux sémantiques Méthode de Déduction naturelle

3 Méthode des Tableaux Sémantiques
Rôle: Cette méthode permet de déterminer si une formule est satisfaite. Principe de la méthode: Pour une formule donnée , on effectue une recherche systématique d’un modèle de  avec des règles basées sur la structure des formules. Si l’application de la méthode n’a pas découvert de modèle, c’est que  est non satisfaite. Domaine d’utilisation: Logique propositionnelle (où d’autre méthodes existent: table de vérité et transformation en formules normales,…etc.) Méthode extensible à la logique du premier ordre

4 Méthode des Tableaux Sémantiques
Dans la méthode des tableaux, les formules (sauf les littéraux) sont rangées en deux types  ou : Les formules de type  sont synonymes à des conjonctions Les formules de type  sont synonymes à des disjonctions A chaque formule (de type  ou  ) on associe d’autres formules de la façon suivantes:

5 Méthode des Tableaux Sémantiques
Logique propositionnelle

6 Méthode des Tableaux Sémantiques
Logique propositionnelle

7 Méthode des Tableaux Sémantiques
Modèles A=0 B=0 C=0 B=0 C=1 B=1 C=0 B=1 C=1 Modèles A=0 B=1 C=1 A=1 B=1 C=1

8 Méthode des Tableaux Sémantiques
Extensions des règles  et  pour appliquer la méthode des tableaux sémantiques à la logique du premier ordre ? Règles pour le quantificateur  Règles pour le quantificateur 

9 Méthode des Tableaux Sémantiques
-règle

10 Méthode des Tableaux Sémantiques
Exemple

11 Méthode des Tableaux Sémantiques
-règle

12 Méthode des Tableaux Sémantiques
Exemple

13 Méthode des Tableaux Sémantiques
-règle

14 Méthode des Tableaux Sémantiques
Exemple

15 Méthode des Tableaux Sémantiques
-règle

16 Méthode des Tableaux Sémantiques
Exemple

17 Méthode des Tableaux Sémantiques
Logique du premier ordre

18 Méthode des Tableaux Sémantiques
Logique du premier ordre

19 Méthode des Tableaux Sémantiques
Problème: En général l’ensemble des formules associées à une formule universelle (i.e : du type x , x ) est infini. L’application de la méthode des tableaux sémantiques est plus complexe en logique du premier ordre qu’en logique propositionnelle. Prouver qu’une formule du premier ordre est non satisfaite peut être un problème non résoluble par la méthode des tableaux sémantiques. Les formules existentielles (x , x ) sont plus faciles à traiter: il suffit de substituer la variable x par une nouvelle constante a qui n’apparaît pas dans la branche considérée.

20 Méthode des Tableaux Sémantiques
Exemple satisfaite

21 Méthode des Tableaux Sémantiques
Exemple Application incorrecte de la méthode Non satisfaite

22 Méthode des Tableaux Sémantiques
Exemple Etude de la Validité de la formule:

23 Méthode des Tableaux Sémantiques

24 Méthode des Tableaux Sémantiques
modèle

25 Méthode des Tableaux Sémantiques
modèle Domaine={1,2} p(x): x est pair q(x): x est impair

26 Méthode des Tableaux Sémantiques
Exemple Etude de la Validité de la formule:

27 Méthode des Tableaux Sémantiques

28 Méthode des Tableaux Sémantiques

29 Méthode des Tableaux Sémantiques
L’ordre d’application des règles dans la méthode des tableaux sémantiques: En logique propositionnelle, l’ordre d’application des règles dans la méthode des tableaux sémantiques n’a pas d’importance. En revanche, en logique des prédicats , l’ordre est important:

30 Méthode des Tableaux Sémantiques
Appliquez les règles pour la logique propositionnelle, 2. S’il y a encore des nœuds sans littéraux complémentaires dans l’arbre après (1), appliquez les règles existentielles (x ,  ) en introduisant une seule constante pour chaque application. 3. S’il y a encore des nœuds sans littéraux complémentaires après (2),appliquez autant de fois que possible les règles universelles (x ,  ). Pour chaque formule analysée, il y a deux cas : – s’il y a des occurrences de constantes sur le chemin qui remonte jusqu’à la racine de l’arbre, introduisez toutes ces constantes une seule fois chacune ; – si l’on ne trouve aucune occurrence de constante sur le chemin, introduisez une nouvelle constante. 4. S’il y a encore des noeuds sans littéraux complémentaires, aller à (1) et ré-appliquez l’algorithme, jusqu’à ce que l’arbre ne change plus. Le tableau est alors fini, et certains chemins restent sans littéraux complémentaires. Ces chemins, permettent de construire des modèles

31 Méthode des Tableaux Sémantiques
Exemple  Non satisfaite

32 Méthode des Tableaux Sémantiques
Exemple  Non satisfaite

33 Plan Méthode des Tableaux sémantiques Méthode de Déduction naturelle

34 Méthode de Déduction Naturelle
Rôle: Cette méthode permet d’établir une démonstration pour prouver qu’une formule  est conséquence d’un ensemble de formules  Principe de la méthode: Une preuve par déduction du séquent S est une suite de séquents S1,S2,..Sn / Sn=S et pour tout i=1..n on a : Si est un axiome ou Si est obtenu par l’application d’une règle d’inférence sur certains des séquents S1,S2,…Si-1 Domaine d’utilisation: Logique propositionnelle Méthode extensible à la logique du premier ordre

35 Méthode de Déduction Naturelle
Axiomes Logique propositionnelle

36 Méthode de Déduction Naturelle
Règles d’inférence Logique propositionnelle

37 Méthode de Déduction Naturelle
Nous allons simplement compléter les axiomes et les règles de déduction des connecteurs propositionnels par des axiomes et des règles spécifiques de la logique du premier ordre

38 Méthode de Déduction Naturelle
Les Axiomes Logique du premier ordre

39 Méthode de Déduction Naturelle
Règles d’inférence Logique du premier ordre En plus des règles d'inférence de la logique propositionnelle nous avons 4 autres règles relatives à l'introduction et l'élimination des quantificateurs

40 Méthode de Déduction Naturelle
* Règle d’élimination du  (instantiation) Si une propriété est vérifiée pour tous les objets, elle l'est pour chacun en particulier, d'où la règle : où [t/x] désigne la substitution de la variable x par le terme t Remarque: la substitution de x par t doit être une substitution correcte

41 Méthode de Déduction Naturelle
Démonstration de la règle d'inférence: e  I x  e pour tout terme t  I [t/x]  I x  tout modèle de  est un modèle de x  S (S I==  SI==x ) or SI==x  [x ]S =1  adomaine(S) [[a/x]]S =1  [[t/x]]S=1  S I==[t/x] S (SI==  S I==[t/x])   I[t/x]

42 Méthode de Déduction Naturelle
Exemple sur e Tous les étudiants sont intelligents, Mohamed est un étudiant donc Mohamed est intelligent

43 Méthode de Déduction Naturelle

44 Méthode de Déduction Naturelle
* Règle d’introduction du  Comment montrer une conclusion de la forme x ? Il suffit de produire un témoin de cette existence, d'où la règle

45 Méthode de Déduction Naturelle
Démonstration de la règle d'inférence i I [t/x] i pour tout terme t I x   I [t/x]  tout modèle de  est un modèle de [t/x]  S (S I==  SI==[t/x]) or SI==[t/x]  [[t/x] ]S =1  V adomaine(S) [[a/x]]S V [[t/x] ]S =1  V adomaine(S) [[a/x]]S =1 car t domaine(S)  S I==x  S (SI==  S I==x)   Ix

46 Méthode de Déduction Naturelle
Exemple sur i Si quelqu'un connaît le code alors le offre peut être ouvert. Mohamed connaît le code. donc le coffre peut être ouvert.

47 Méthode de Déduction Naturelle

48 Méthode de Déduction Naturelle
Autre exemple sur i et e 

49 Méthode de Déduction Naturelle
* Règle d’introduction du  (règle de généralisation) Remarque

50 Méthode de Déduction Naturelle
Démonstration de la règle d'inférence i  I  i x non libre dans   I x   I   tout modèle de  est un modèle de   S (S I==  SI==) or tout modèle de  est un modèle de x car x liée dans  S (SI==  S I==x)   Ix 

51 Méthode de Déduction Naturelle
Exemple sur i Tous les amis de Ali sont amis de Mohamed. Tout le monde est ami de Ali. Donc tout le monde est ami de Mohamed.

52 Méthode de Déduction Naturelle

53 Méthode de Déduction Naturelle
* Règle d’élimination du  Remarque

54 Méthode de Déduction Naturelle
Exemple sur  e Tous les amis de Ali sont intelligents. Ali a au moins un ami. Il y a au moins une personne intelligente

55 Méthode de Déduction Naturelle

56 Méthode de Déduction Naturelle la règle dérivée d'introduction de 
Logique du premier ordre Règles Dérivées RD i la règle dérivée d'introduction de  x non libre dans  et 2 la règle dérivée d'introduction de  RD i x non libre dans  et 1

57 Méthode de Déduction Naturelle la règle dérivée d'introduction de 
Démonstration des Règles Dérivées la règle dérivée d'introduction de  1 hypothèse  , x1 ,2 1 AP sur 1 , x1 ,2  axiome , x1 ,2  1 MT MT (2,3) , x1 ,2  x i (4) (x liée dans  ,x1 et 2) , x1 ,2 1[x0/x] e (5) , x1 ,2  x axiome , x1 ,2, 1[x0/x]  1[x0/x] axiome , x1 ,2  1[x0/x] e (7,8) x0 liée dans  ,x1 et 2 , x1 ,2 1[x0/x] 1[x0/x] i (9,6) , x   e (10)   x1 e (11)

58 Méthode de Déduction Naturelle la règle dérivée d'introduction de 
Démonstration des Règles Dérivées la règle dérivée d'introduction de   1 hypothèse , 1   e sur (1) , 1  x i sur (2) x non libre dans , 1  1x i sur (3)

59 Méthode de Déduction Naturelle
Exemples de déduction Exemple-1 xy  yx l'égalité est symétrique 1- xy  xy  (x=xyx) axiome de substitution ((z): zx) 2- xy  xy axiome 3- xy  xx(yx) MP (1,2) 4- xy  xx axiome identité 5- xy  yx MP(3,4)

60 Méthode de Déduction Naturelle
Exemples de déduction Exemple-2  x=y x=z y=z xy xz xyxz axiome xy xz xy e xy xz xy(xyxzyyyz) axiome de sub F(t)= (ty  tz) xy xz xyxzyyyz MP(3,2) xy xz yyyz MP(4,1) xy xz yz e2 sur 5

61 Méthode de Déduction Naturelle
Exemples de déduction Exemple-3  x( y p(y)p(x) ) 1- y p(y) y p(y) axiome 2- y p(y)  p(x) e [x/y] sur 1  y p(y) p(x) i sur 2  x(y p(y) p(x)) i sur 3


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